www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Parameterframstilling av en rett linje

Hva er en parameterframstilling? Er det forskjell mellom parameterframstilling i planet og i rommet?

Når vi skal finne en parameterframstilling for en rett linje, kan vi ta utgangspunkt i en

Retningsvektor

Retningsvektor

En linje l  går gjennom punktet Ax0,y0 og er parallell med vektoren v=a,b. Vektoren v kalles for retningsvektoren for linja.

retningsvektor
og et fast punkt på linjen. Vi bruker en ekstra variabel, som oftest t som kalles parameter.

Parameterframstilling for en rett linje I PLANET

En linje l som går gjennom punktet Ax0,y0 og er parallell med vektoren v=a,b, har parameterframstilling

l:x=x0+aty=y0+bt

Vi kaller v en retningsvektor for linja. Legg også merke til at det finnes mange parameterframstillinger for en og samme linje. Det er avhengig av hvilken punkt og retningsvektor vi velger.

Eksempel 1.

La oss sette opp en parameterframstilling for en normal ny - aksen i punktet 0,3. Likningen for

 n er y=3, fordi alle punktene på n har 3 som andrekoordinat, mens førstekoordinat kan være hva som helst. Normalen n har parameterframstillingen som følger

n:x=ty=3

Legg merke til at retningsvektoren er v=1,0 (siden det er normalen på y - aksen). Vi kunne derimot like gjerne ha valgt retningsvektoren v=6,0 og fått følgende parameterframstilling

n:x=6ty=3

Sett inn for eksempel 3fort i den første parameterframstilligen. Vi får punktet 3,3. Hvis vi velger 36 for t i den andre parameterframstillingen, får vi også punktet 3,3.

 

 

Parameterframstilling for en rett linje I ROMMET

En linje l som går gjennom punktet Ax0,y0,z0 og er parallell med vektoren v=a,b,c, har parameterframstilling

l:x=x0+aty=y0+btz=z0+ct

 

Eksempel 2.

Den rette linjen j går gjennom punktene A1,1,0ogB0,1,2.

For å finne parameterframstillingen til linjen, regner vi først ut vektoren AB og bruker denne som retningsvektor.

AB=1-0,1-1,0-2=1,0,-2

Parameterframstillingen for j er

j:x=1-ty=1z=-2tz=8

 

For å finne ut om et punkt ligger på linjen, undersøker om det finnes en verdi av t ved å bruke koordinatene i punktet på venstresiden av likhetene i parameterframstilligen av linjen. La oss se om punktet 5,1,-9 ligger på linjen. Da lar vi x=5. Da er 5=1-togt=-4. Setter vi -4 inn for t i z=-2t, får vi at z=8. Men i punktet er tredjekoordinaten lik -9.

Det finnes ingen verdi av t og derfor er heller ikke punktet på linjen.

 

For å finne et skjæringspunkt mellom xy-planet og linjen, bruker vi at i xy-planet er z-verdien lik null. For at z-verdien skal være lik null, må t være lik null. Dette gir oss x=1og1,1,0 er skjæringspunktet mellom xy-planet og linjen j.

Publisert: 19.04.2016 Endret: 19.04.2016