Enhetsvektor og normalisering

Hva er en enhetsvektor?

Definisjon

En enhetsvektor er en vektor som har lengde/norm 1.

Eksempel 1

Vi skal vise at $\vec{u} = [\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}]$ er en enhetsvektor. Vi beregner normen:

$|\vec{u}| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1$

Ettersom $\vec{u}$ har norm 1, er det en enhetsvektor.

Normalisering

NORMALISERING

Gitt en vektor $\vec{u}$ , kan vi alltid finne enhetsvektoren i samme retning. $\frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}$ er en vektor med samme retning som $\vec{u}$ , og som alltid har lengde/norm $1$ (så lenge $\vec{u} \neq \vec{0}$ ). Vi dividerer altså vektoren med vektorens egen norm. Dette kaller vi å normalisere vektoren $\vec{u}$ .

Eksempel 2

Vi skal finne enhetsvektoren i samme retning til vektoren $\vec{u} = [0, 3]$

Normen til $\vec{u}$ er $|\vec{u}| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{0^{2} + 3^{2}} = \sqrt{9} = 3$

Enhetsvektoren vi søker blir dermed

$\vec{u} = \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} = \frac{1}{3} [0, 3] = [0, 1]$

Eksempel 3

Vi skal finne enhetsvektoren i samme retning til vektoren $\vec{u} = [2, 4, 2, 1]$ .

Normen til $\vec{u}$ er

$|\vec{u}| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{2^{2} + 4^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{25} = 5$

Enhetsvektoren vi søker blir dermed

$\vec{u} = \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} = \frac{1}{5} [2, 4, 2, 1] = [\frac{2}{5}, \frac{4}{5}, \frac{2}{5}, \frac{1}{5}]$

Enhetsvektorene langs aksene i $ℝ^{3}$

Enhetsvektorene som ligger i positiv retning langs $x -, y - og z - aksen$ i $ℝ^{3}$ har fått egne navn:

$\vec{i} = [1, 0, 0]$

$\vec{j} = [0, 1, 0]$

$\vec{k} = [0, 0, 1]$

Alle vektorer i $ℝ^{3}$ kan ganske enkelt uttrykkes som en sum av disse tre enhetsvektorene.

Eksempel 4

$[- 3, 7, 2] = - 3 \vec{i} + 7 \vec{j} + 2 \vec{k}$

Eksempel 5

$[0, 0, - 9] = - 9 \vec{k}$

Del på Facebook

Del på Facebook

Enhetsvektor og normalisering

Eksempel 1

Normalisering

Eksempel 2

Eksempel 3

Enhetsvektorene langs aksene i $ℝ^{3}$

Eksempel 4

Eksempel 5

Lynkurs 11.-13.trinn

Vektorer

Består av:

Enhetsvektor og normalisering

Eksempel 1

Normalisering

Eksempel 2

Eksempel 3

Enhetsvektorene langs aksene i ℝ3

Eksempel 4

Eksempel 5

Lynkurs 11.-13.trinn

Vektorer

Består av:

Enhetsvektorene langs aksene i $ℝ^{3}$