Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Projeksjon

Hva er projeksjon og hvordan finner vi den?

Eksempel 1

Tenk deg at du trekker et leketog etter en snor. Toget må følge et rettlinjet spor fra origo til punktet 4,4, det beveger seg altså langs posisjonsvektoren u=4,4. Kraften du trekker med, kan representeres som en vektor F, men du holder snoren litt skeivt, slik at kraftvektoren ikke er helt parallell med togets bevegelse u. Vi har F=2,1. Vi er interessert i å vite hvor stort bidrag trekkraften din gir i togets retning.

Sett ovenfra: Leketoget må følge sporet (stiplet linje). Du trekker med en kraft F ⃗=[2,1]. Projeksjonen p ⃗ angir den delen (komponenten) av trekkraften som bidrar i togets retning.

For å finne dette bidraget skal vi finne projeksjonen av F langs u. Det er en vektor som er parallell med u.

PROJEKSJON

La u og v være vektorer fra samme rom. Projeksjonen av u langs v er vektoren

p=uvvvv=uvv2v

 

Eksempel 1 fortsetter

Nå kan vi finne vektoren som beskriver bidraget fra trekkraften din i togets retning:

p=Fuuuu=2,14,44,44,44,4=8+416+164,4=12324,4=32,32

Dette er komponenten av kraftvektoren som går i samme retning som toget.

 

Eksempel 2

Vi skal finne projeksjonen p av vektoren 0,10 på vektoren 2,4.

p=0,102,42,42,42,4=0+404+162,4=22,4=4,8 

 

Eksempel 3

Vi skal finne projeksjonen av vektoren 1,7,-3 på enhetsvektoren i y-retningen, j=0,1,0.

p=1,7,-30,1,00,1,00,1,00,1,0=0+7+00+1+00,1,0=70,1,0=0,7,0=7j

Vi fikk ut y-koordinaten til vektoren. Dette gjelder også generelt.

 

PROJEKSJON PÅ EN ENHETSVEKTOR

Projeksjonen av en vilkårlig vektor på en av enhetsvektorene i, j eller k gir oss bare komponenten langs den aktuelle aksen.

 

Eksempel 4

Vi skal finne projeksjonen av vektoren u=-3,5,2 på vektoren v=4,0,6.

p=-3,5,24,0,64,0,64,0,64,0,6=-12+0+1216+0+364,0,6=04,0,6=0

Overrasket? Projeksjonen er nullvektoren, fordi u ikke har noen komponent i retning v. Og dette skyldes at vektorene u og v er ortogonale, det vil si de står vinkelrett på hverandre. Ettersom de er ortogonale, er prikkproduktet av de to vektorene 0, og projeksjonen er nullvektoren 0.

 

Del på Facebook

Del på Facebook

Hopp over bunnteksten