Kryssprodukt av to vektorer

Kryssproduktet av to vektorer har som resultat en ny vektor og derfor kalles det også for vektorproduktet.

Kryssproduktet har flere anvendelser innen fysikken, blant annet i både klassisk mekanikk og elektromagnetisme.

KRYSSPRODUKTET

Kryssproduktet er bare definert for vektorer i $ℝ^{3}$ . Kryssproduktet mellom to vektorer $\vec{u} = [u_{1}, u_{2}, u_{3}] og \vec{v} = [v_{1}, v_{2}, v_{3}]$ er definert som

$\vec{u} \times \vec{v} \overset{d e f}{=} (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}) \vec{i} + (u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}) \vec{j} + (u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}) \vec{k}$

eller

$\vec{u} \times \vec{v} = |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix}| = \vec{i} |\begin{matrix} u_{2} & u_{3} \\ v_{2} & v_{3} \end{matrix}| - \vec{j} |\begin{matrix} u_{1} & u_{3} \\ v_{1} & v_{3} \end{matrix}| + \vec{k} |\begin{matrix} u_{1} & u_{2} \\ v_{1} & v_{2} \end{matrix}|$

Vektoren $\vec{u} \times \vec{v}$ er ortogonal til både $\vec{u} og \vec{v}$ . Vi kan derfor benytte vektorproduktet til å finne en ortogonal vektor til disse.

Eksempel 1

Gitt to vektorer i $ℝ^{3}$ , $\vec{u} = [1, 0, - 3] og \vec{v} = [4, 0, 2]$ skal vi finne vektoren $\vec{u} \times \vec{v}$ .

Vi setter opp vektorene i matrisen:

$\vec{u} \times \vec{v} = |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & - 3 \\ 4 & 0 & 2 \end{matrix}| = \vec{i} |\begin{matrix} 0 & - 3 \\ 0 & 2 \end{matrix}| - \vec{j} |\begin{matrix} 1 & - 3 \\ 4 & 2 \end{matrix}| + \vec{k} |\begin{matrix} 1 & 0 \\ 4 & 0 \end{matrix}|$

$= \vec{i} (0 \cdot 2 - (- 3) \cdot 0) - \vec{j} (1 \cdot 2 - (- 3) \cdot 4) + \vec{k} (1 \cdot 0 - 0 \cdot 4)$

$= 0 \vec{i} - 14 \vec{j} + 0 \vec{k} = - 14 \vec{j} = [0, - 14, 0]$

I eksemplet er i, j og k enhetsvektorer

Anvendelse av kryssprodukt

En av anvendelsene til kryssproduktet er å regne ut arealet til et parallellogram utspent av to (tredimensjonale vektorer).

Regel

Et parallellogram utspent av to vektorer $\vec{u} og \vec{v}$ i $ℝ^{3}$ har areal $|\vec{u} \times \vec{v}|$ .

Eksempel 2

Vi skal finne arealet av parallellogrammet utspent av vektorene $\vec{u} = [3, 1] og \vec{v} = [- 1, 5]$ .

Kryssproduktet er bare definert for vektorer i $ℝ^{3}$ men vi kan tenke oss at disse vektorene ligger i $x y -$ planet i $ℝ^{3}$ , det vil si at $z -$ komponenten er $0$ . Vi kan derfor skrive de som $\vec{u} = [3, 1, 0] og \vec{v} = [- 1, 5, 0]$ .

$A = |\vec{u} \times \vec{v}| = ||\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 1 & 0 \\ - 1 & 5 & 0 \end{matrix}|| = |\vec{i} |\begin{matrix} 1 & 0 \\ 5 & 0 \end{matrix}| - \vec{j} |\begin{matrix} 3 & 0 \\ - 1 & 0 \end{matrix}| + \vec{k} |\begin{matrix} 3 & 1 \\ - 1 & 5 \end{matrix}||$

$= |0 \vec{i} - 0 \vec{j} + (3 \cdot 5 - 1 \cdot (- 1)) \vec{k}| = |16 \vec{k}| = 16$

Kryssprodukt av to vektorer

Eksempel 1

Anvendelse av kryssprodukt

Eksempel 2

Lynkurs 11.-13.trinn

Vektorer

Består av: