Prikkprodukt og norm

Hva er prikkproduktet? Hvordan finner vi normen til en vektor?

I prikkproduktet er resultatet et tall (en skalar) og ikke en vektor. Og derfor kalles prikkprodukt ofte også skalarprodukt (må ikke blandes med skalarmultiplikasjon, som betyr å multiplisere en vektor med et reelt tall $k$ ). Legg merke til at prikkoperatoren $\cdot$ , får forskjellig betydning alt etter om den står mellom to vektorer eller to tall.

PRIKKPRODUKT

La $\vec{u} = [x_{1}, y_{1}]$ og $\vec{v} = [x_{2}, y_{2}]$ være to vektorer. Prikkproduktet av $\vec{u}$ og $\vec{v}$ er

$\vec{u} \cdot \vec{v} = [x_{1}, y_{1}] \cdot [x_{2}, y_{2}] = x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2}$

Eksempel 1

$[5, - 2] \cdot [1, 7] = 5 \cdot 1 + (- 2) \cdot 7 = 5 - 14 = - 9$

Eksempel 2

$[0, 1, - 2] \cdot [3, \sqrt{5}, 3] = 0 \cdot 3 + 1 \cdot \sqrt{5} + (- 2) \cdot 3 = 0 + \sqrt{5} - 6 = \sqrt{5} - 6$

Eksempel 3

$[1, 0] \cdot [0, 7] = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 7 = 0$

Hvis prikkproduktet er lik 0, er vektorene ortogonale. For mer informasjon se i høyrespalten Projeksjon.

NORMEN TIL EN VEKTOR

En vektor $\vec{u}$ har både retning og lengde. Lengden kalles ofte norm. Normen til $\vec{u}$ skrives som $|\vec{u}|$ .

$|\vec{u}| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$

Eksempel 4

Vektoren $\vec{v}$ går fra $A til B .$ Avstanden i $x$ -retning fra $A$ til $C$ er $4$ avstanden i $y$ -retning fra $C$ til $B$ er $3$ , og dermed er $\vec{u} = [4, 3]$ . Hva er $|\vec{v}|$ ?

Vektoren $\vec{v}$ tilsvarer jo hypotenusen i den rettvinklede trekanten $A B C$ , og lengden får vi dermed ved hjelp av Pytagoras' teorem:

$|\vec{v}| = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{25} = 5$

Legg så merke til at $\vec{v} \cdot \vec{v} = 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3 = 4^{2} + 3^{2}$ .

Dette gjelder generelt.

Eksempel 5

$|[1, 7]| = \sqrt{1^{2} + 7^{2}} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$

Eksempel 6

$|[5, - 6, \sqrt{3}]| = \sqrt{5^{2} + {(- 6)}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{25 + 36 + 3} = \sqrt{64} = 8$

regler for prikkproduktet

Prikkproduktet er kommutativt: $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
Den distributive lov ("parentesregelen") gjelder: $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$