Likning for en kule

Vi skal nå utrede en formel som beskriver en kule med sentrum $S$ og radius $r$. La sentrum av kulen, $S$, være gitt ved $S=(x_0,y_0,z_0)$. La $P=(x,y,z)$ være et vilkårlig punkt på kulen. Da er $\overrightarrow{SP}=[x-x_0,y-y_0,z-z_0]$. Siden radiusen til kulen er $r$, må dette være avstanden mellom punktene $S$ og $P$, alstå lengden til vektoren $\overrightarrow{SP}$. Vi har at $$\left|\overrightarrow{SP}\right|=\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2}=r.$$ Opphøyer vi begge sider i andre, får vi formelen $$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=r^2.$$

Eksempel 1

En kule med radius $4$ har sentrum i punktet $(2,3,-1)$. Da kan vi finne likningen for kulen:

$(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(x-(-1){)}^2=(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(x+1{)}^2$ 

Med andre ord er likningen for kulen gitt ved $$(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(x+1{)}^2=16.$$

La oss nå se på hvordan vi finner sentrum og radius av en kule som vi kjenner likningen til. I likningen av en kule finner vi kvadratene på formen $(x-b{)}^2$ og dermed kan vi forvente at vi må vite hvordan vi fullfører kvadratet for å løse denne type oppgaver.

Eksempel 2

Vi er gitt en kule med likningen $$x^2+y^2+z^2+3x-2y-9z=9$$ og ønsker å finne sentrum og radius til kulen. Vi skriver uttrykket som $$(x^2+3x)+(y^2-2y)+(z^2-9z)=9$$ og fullfører alle tre kvadratene. Da får vi

$(x^2+3x+(\frac{3}{2}{)}^2)-(\frac{3}{2}{)}^2+(y^2-2y+1)-1+$ 

$$(z^2-9z+(\frac{9}{2}{)}^2)-(\frac{9}{2}{)}^2=9.$$ Vi skriver dette om til $$(x+\frac{3}{2}{)}^2-(\frac{3}{2}{)}^2+(y-1{)}^2-1+(z-\frac{9}{2}{)}^2-{\frac{9}{2}}^2=9.$$ Flytter vi de tre tallene som ikke er med i kvadratene over på høyresiden får vi $$(x+\frac{3}{2}{)}^2+(y-1{)}^2+(z-\frac{9}{2}{)}^2=32,5.$$ Da kan vi konkludere med at kulen har sentrum i punktet $S=(-\frac{3}{2},1,\frac{9}{2})$ og har radius $r=\sqrt{32,5}\approx 5,7.$