Vinkelen mellom to vektorer

Ettersom vektorer har retning, kan vi beregne vinkelen mellom vektorer. Hvordan beregner vi vinkelen mellom vektorene?

REgel

La $θ$ være vinkelen mellom $\vec{u} og \vec{v}$ , med $0 \leq θ \leq 180^{\circ}$ (eller $0 \leq θ \leq π$ om vi bruker radianer). Da gjelder følgende sammenheng:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos (θ) eller \cos (θ) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Regelen følger av cosinussetningen og regnereglene for vektorer. Ved hjelp av regelen får vi cosinus til vinkelen $θ$ . Vi trenger derfor i de fleste tilfeller en kalkulator med den inverse cosinusfunksjonen, $\cos^{- 1} ()$ for å beregne vinkelen.

Eksempel

Vi vil beregne vinkelen mellom $\vec{u} = [3, 3]$ og $\vec{v} = [- 1, 4]$ .

$\cos (θ) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{3 \cdot (- 1) + 3 \cdot 4}{\sqrt{3^{2} + 3^{2}} \sqrt{{(- 1)}^{2} + 4^{2}}} = \frac{9}{\sqrt{18} \sqrt{17}} \approx 0, 514496$

Den inverse (omvendte) cosinusfunksjonen gir oss vinkelen: $θ = \cos^{- 1} (0, 514496) \approx {59, 04}^{\circ}$ eller ca. 1,03 radianer.

Vinkelen mellom to vektorer

Eksempel

Lynkurs 11.-13.trinn

Vektorer

Består av: