Ortogonale vektorer

Hva er ortogonale vektorer?

To ortogonale vektorer står normalt eller vinkelrett på hverandre.

Vi skal finne vinkelen mellom det to vektorene $\vec{u} = [1, - 1, 0]$ og $\vec{v} = [2, 2, 3]$ . Da er

$\cos (θ) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{1 \cdot 2 + (- 1) \cdot 2 + 0 \cdot 3}{\sqrt{1 + 1} \sqrt{4 + 4 + 9}} = 0$

Altså er $θ = \frac{π}{2} eller 90^{\circ}$ .

GENERELT GJELDER:

To vektorer $\vec{u} og \vec{v}$ er ortogonale dersom $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ . Vi skriver $\vec{u} ⊥ \vec{v} .$
To vektorer $\vec{u} og \vec{v}$ er parallelle dersom det fins en konstant $k$ slik at $\vec{u} = k \vec{v} .$ Vi skriver $\vec{u} ∥ \vec{v} .$

Dette medfører et aldri så lite paradoks:

FOR NULLVEKTOREN GJELDER:

Nullvektoren er ortogonal til alle vektorer, fordi $\vec{u} \cdot \vec{0} = 0$ for alle vektorer $\vec{u} .$
Nullvektoren er parallell med alle vektorer, ettersom $\vec{0} = 0 \vec{u}$ for alle vektorer $\vec{u}$ .

Undersøk om $[- 3, 5, 2]$ er ortogonal eller parallell til vektorene $[6, - 10, - 4]$ og $[4, 0, 6]$ .

Fordi $[6, - 10, - 4] = - 2 [- 3, 5, 2]$ , er altså disse to vektorene parallelle (men motsatt rettet).

Fordi $[- 3, 5, 2] \cdot [4, 0, 6] = (- 3) \cdot 4 + 5 \cdot 0 + 2 \cdot 6 = 0$ , er disse to vektorene ortogonale til hverandre.