Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Likning for en kule

Vi skal nå utrede en formel som beskriver en kule med sentrum S og radius r. La sentrum av kulen, S, være gitt ved S=(x0,y0,z0). La P=(x,y,z) være et vilkårlig punkt på kulen. Da er SP=[xx0,yy0,zz0]. Siden radiusen til kulen er r, må dette være avstanden mellom punktene S og P, alstå lengden til vektoren SP. Vi har at |SP|=(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=r. Opphøyer vi begge sider i andre, får vi formelen (xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=r2.

Likning for en kule

La sentrum av kulen, S, være gitt ved S=(x0,y0,z0). La radius være lik r. Da er likningen for kulen lik

(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=r2.

 

Eksempel 1

En kule med radius 4 har sentrum i punktet (2,3,1). Da kan vi finne likningen for kulen:

(x2)2+(y3)2+(x(1))2=(x2)2+(y3)2+(x+1)2 

Med andre ord er likningen for kulen gitt ved (x2)2+(y3)2+(x+1)2=16.

La oss nå se på hvordan vi finner sentrum og radius av en kule som vi kjenner likningen til. I likningen av en kule finner vi kvadratene på formen (xb)2 og dermed kan vi forvente at vi må vite hvordan vi fullfører kvadratet for å løse denne type oppgaver.

Eksempel 2

Vi er gitt en kule med likningen x2+y2+z2+3x2y9z=9 og ønsker å finne sentrum og radius til kulen. Vi skriver uttrykket som (x2+3x)+(y22y)+(z29z)=9 og fullfører alle tre kvadratene. Da får vi

(x2+3x+(32)2)(32)2+(y22y+1)1+ 

(z29z+(92)2)(92)2=9. Vi skriver dette om til (x+32)2(32)2+(y1)21+(z92)2922=9. Flytter vi de tre tallene som ikke er med i kvadratene over på høyresiden får vi (x+32)2+(y1)2+(z92)2=32,5. Da kan vi konkludere med at kulen har sentrum i punktet S=(32,1,92) og har radius r=32,55,7.

Del på Facebook

Del på Facebook

Hopp over bunnteksten