Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

REA3022 2015 Høst

Del 1
Del 2
Eksamensinformasjon

Eksamenstid:
5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 3 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:
Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Del 1 har 9 oppgaver. Del 2 har 4 oppgaver.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, kan en alternativ metode gi lav/noe uttelling.

Bruk av digitale verktøy som graftegner og CAS skal dokumenteres med utskrift eller gjennom en IKT-basert eksamen.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

viser regneferdigheter og matematisk forståelse
gjennomfører logiske resonnementer
ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
forklarer framgangsmåter og begrunner svar
skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger
vurderer om svar er rimelige

Andre opplysninger:
Kilder for bilder, tegninger osv.:

Alle grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (5 poeng) Nettkode: E-4D51

Deriver funksjonene

a)

$f (x) = 3 x^{2} + 5 x - 2$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi ser et polynom som skal deriveres. Her trenger vi formlene $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ , $(k \cdot f)^{'} = k \cdot f^{'}$ og $(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$ .

$f^{'} (x) = (3 x^{2} + 5 x - 2)^{'} = 3 \cdot 2 x + 5 \cdot 1 + 0 = 6 x + 5$

Svar: $f^{'} (x) = 6 x + 5$

Mer om

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

For flere forklaringer og eksempler på derivasjon, se artikkelen Derivasjonsregler.

b)

$g (x) = 3 \cdot {(x^{2} - 2)}^{4}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Funksjonen $g (x)$ er en samensatt funksjon. Vi ser at $u (x) = x^{2} - 2$ befinner seg inne i $3 u^{4}$ . Vi kaller $g (u)$ den ytre funksjonen og $u (x)$ kjernen eller den indre funksjonen. Det er kjerneregelen som gjelder!

Siden vi vet hvordan vi kan derivere $u (x) = x^{2} - 2$ og $g (u) = 3 u^{4}$ , $(x^{2} - 2)^{'} = 2 x$ og $(3 u^{4})^{'} = 3 \cdot 4 u^{3} = 12 u^{3}$ , begynner vi med å skrive $g (x) = 3 \cdot (x^{2} - 2)^{4} = 3 (u (x))^{4} = g (u (x))$ Ved å benytte kjerneregelen for derivasjon, som sier at $g (u (x)))^{'} = u^{'} (x) g^{'} (u)$ finner vi da at $g^{'} (x) = u^{'} (x) g^{'} (u) = (x^{2} - 2)^{'} (3 u^{4})^{'} = 2 x \cdot (12 u^{3}) = 2 x \cdot 12 (x^{2} - 2)^{3} = 24 x (x^{2} - 2)^{3}$

Svar: $g^{'} (x) = 24 x (x^{2} - 2)^{3}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

For flere forklaringer og eksempler på derivasjon, se artikkelen Kjerneregelen.

c)

$h (x) = x \cdot \ln (x^{2} + 3)$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi ser at $h$ er produktet av to funksjoner, $x$ og $ln (x^{2} + 3)$ , så produktregelen kan vi få bruk for $(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$ $x$ vet hvordan vi deriverer, men vi må også derivere $ln (x^{2} + 3)$ . Her ser vi at uttrykket er på formen $ln u$ , der $u = x^{2} + 3$ , så kjerneregelen kan brukes.

Vi setter $u = x$ og $v = ln (x^{2} + 3)$ , da blir $\begin{matrix} h^{'} (x) = (x \cdot ln (x^{2} + 3))^{'} = (u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'} \\ = (x)^{'} \cdot ln (x^{2} + 3) + x \cdot (ln (x^{2} + 3))^{'} = ln (x^{2} + 3) + x \cdot (ln (x^{2} + 3))^{'} \end{matrix}$ Det gjenstår å regne ut $(ln (x^{2} + 3))^{'}$ . Hvis vi setter $u (x) = x^{2} + 3$ og bruker kjerneregelen, så blir utrykket $(ln (u (x)))^{'} = u^{'} (x) \frac{1}{u (x)} = (x^{2} + 3)^{'} \frac{1}{x^{2} + 3} = \frac{2 x}{x^{2} + 3}$ Når vi vet dette får vi $\begin{matrix} h^{'} (x) = ln (x^{2} + 3) + x \cdot (ln (x^{2} + 3))^{'} \\ = ln (x^{2} + 3) + x \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 3} \\ = ln (x^{2} + 3) + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3} \end{matrix}$

Svar: $h^{'} (x) = ln (x^{2} + 3) + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

Eksempel: log₁₀(1000) = 3 ettersom 10³ = 1000.

logaritme

For flere forklaringer og eksempler på derivasjon, se artikkelen Å derivere sammensatte uttrykk.

Oppgave 2 (3 poeng) Nettkode: E-4D55

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = x \cdot e^{- x}, D_{f} = ℝ$

Tegn fortegnslinjen til $f' (x)$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

For å tegne fortegnslinjen til $f^{'} (x)$ , må vi først derivere $f$ , så faktorisere $f^{'} (x)$ . I et fortegnskjema vil vi faktorisere uttrykket i faktorer som vi har en oversikt over hvor er positive og negative.

Vi ser at $f$ er produktet av to funksjoner, $x$ og $e^{- x}$ , så vi bruker produktregelen med $u = x$ og $v = e^{- x}$ . $\begin{matrix} f^{'} (x) = (x e^{- x})^{'} = (u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'} \\ = (x)^{'} \cdot e^{- x} + x \cdot (e^{- x})^{'} = e^{- x} + x \cdot (e^{- x})^{'} \end{matrix}$ For å regne ut $(e^{- x})^{'}$ , kan vi bruke kjerneregelen, men vi kan også bruke regelen $(e^{k x})^{'} = k e^{k x}$ . Så $(e^{- x})^{'} = (e^{- 1 \cdot x})^{'} = - 1 \cdot e^{- 1 \cdot x} = - e^{- x}$ Setter vi alt dette sammen får vi nå $\begin{matrix} f^{'} (x) = e^{- x} + x \cdot (e^{- x})^{'} = e^{- x} + x \cdot (- e^{- x}) \\ = e^{- x} - x e^{- x} = (1 - x) e^{- x} \end{matrix}$ Merk at $e^{- x}$ er positiv for alle verdier av $x$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

For flere forklaringer og eksempler på fortegnsskjema, se artikkelen Fortegnslinja 1.

Oppgave 3 (5 poeng) Nettkode: E-4D57

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - k x + 6, D_{f} = ℝ$

a)

Bestem $k$ slik at divisjonen $f (x) : (x - 1)$ går opp.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

At divisjonen $f (x) : (x - 1)$ går opp, betyr at $\frac{f (x)}{x - 1} = g (x)$ , for et polynom $g$ . Ganger vi med $(x - 1)$ på begge sider, får vi $f (x) = (x - 1) g (x)$ Setter vi så $x = 1$ , ser vi at $f (1) = 0$ .

At divisjonen $f (x) : (x - 1)$ går opp, betyr at $f (1) = 0$ . $\begin{matrix} f (1) = 0 \\ 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - k \cdot 1 + 6 = 0 \\ 5 - k = 0 \\ k = 5 \end{matrix}$

Svar: Hvis divisjonen $f (x) : (x - 1)$ går opp, er $k = 5$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

Divisjon

Divisjon er en regneart som er den omvendte operasjonen av multiplikasjon.

Eksempel: $6 : 2 = 3$ fordi $2 \cdot 3 = 6$ .

divisjon

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

For flere forklaringer og eksempler på polynomdivisjon, se artikkelen Nullpunktsetningen - når går divisjonen opp?.

b)

I resten av oppgaven bruker vi denne k-verdien.

Faktoriser $f (x)$ i lineære faktorer.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Lineære faktorer er utrykk på formen $a x + b$ . Siden $f$ er et tredjegradspolynom, og $f (x) = (x - 1) g (x)$ , kan vi dele $f$ på $(x - 1)$ . Da får vi et andregradspolynom, som kan faktoriseres med abc-formelen.

Vi starter med å dele $f$ på $(x - 1)$ .

Å faktorisere $x^{2} - x - 6$ gjør vi, ved å finne nullpunktene $\begin{matrix} x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \\ x_{1} = \frac{1 + 5}{2} = 3 og x_{2} = \frac{1 - 5}{2} = - 2 \end{matrix}$ Derfor er $x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ , og $f$ kan faktoriseres $f (x) = (x + 2) (x - 1) (x - 3)$

Svar: $f (x) = (x + 2) (x - 1) (x - 3)$

Mer om:

Denne oppgaven er om

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formelen

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkt

For flere forklaringer og eksempler på polynomdivisjon, se artikkelen Flere eksempler på polynomdivisjon.

c)

Løs ulikheten $f (x) \geq 0$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Et fortegnsskjema viser oss akkurat hvor $f$ er positiv, negativ og lik $0$ . Og siden vi har faktorisert $f$ i lineære faktorer, har vi alt vi trenger.

Fortegnsskjemaet til $f$ ser slik ut:

Vi ser at $f$ er større eller lik $0$ i intervallet $[- 2, 1] \cup [3, \to ⟩$ , så vi har løsningen;

Svar: $L = [- 2, 1] \cup [3, \to)$

Mer om:

Denne oppgaven er om ulikhet,

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

Intervall

Et intervall er det samme som et tallområde. Tallene 4, 5, 6 og 7 ligger i intervallet 4–7 (fire til sju).

Dersom vi ikke har sagt noe annet, lar vi øvre og nedre grense høre med til intervallet.

intervall

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

For flere forklaringer og eksempler på ulikheter, se artikkelen Ulikheter av høyere grad.

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4D5B

Skriv så enkelt som mulig

$\lg (a^{2} \cdot b^{3}) + \lg (\frac{1}{b^{2}}) - \lg (\frac{b}{a})$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi ser at uttrykket er satt sammen av logaritmer, så det første vi trenger er logaritmereglene

1. $\lg x^{n} = n \lg x$

2. $lg (x \cdot y) = lg x + lg y$

3. $lg (\frac{x}{y}) = lg x - lg y$

Når det står at vi skal skrive uttrykket så enkelt som mulig, betyr det at svaret er på formen $A lg a \pm B lg b$ for heltall $A$ og $B$ .

Vi kan ta for oss de tre leddene $lg (a^{2} \cdot b^{3})$ , $lg (\frac{1}{b^{2}})$ og $lg (\frac{b}{a})$ hver for seg

* $\begin{matrix} \lg (a^{2} \cdot b^{3}) = \lg a^{2} + \lg b^{3} = 2 \lg a + 3 \lg b & (2) + (1) \end{matrix}$

* $\lg (\frac{1}{b^{2}}) = \lg 1 - \lg b^{2} = 0 - 2 \lg b = - 2 \lg b (3) + (1)$

* $\lg (\frac{b}{a}) = \lg b - \lg a (3)$

Tallene i parentes på enden forteller hvilken logaritmeregel vi brukte.

Til slutt setter vi alt sammen $\begin{matrix} lg (a^{2} \cdot b^{3}) + lg (\frac{1}{b^{2}}) - lg (\frac{b}{a}) \\ = (2 lg a + 3 lg b) + (- 2 lg b) - (lg b - lg a) \\ = 2 lg a + 3 lg b - 2 lg b - lg b + lg a \\ = 3 lg a \end{matrix}$

Svar: $3 \lg a$

Mer om

Denne oppgaven er om

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

Eksempel: log₁₀(1000) = 3 ettersom 10³ = 1000.

logaritmer

For flere forklaringer og eksempler på logaritmer, se artikkelen Mer om logaritmer.

Oppgave 5 (7 poeng) Nettkode: E-4D5D

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = - x^{4} + 4 x^{3}, x \in ⟨- 2, 4⟩$

a)

Bestem eventuelle nullpunkter til $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi ser at $f$ er et fjerdegradspolynom. Vanligvis er det vanskelig å finne nullpunktene til et fjerdegradspolynom for hånd. Heldigvis kan $f$ faktoriseres. Husk at hvis $p (x) = (x - x_{1}) (x - x_{2}) \dots (x - x_{n})$ så er $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ nullpunktene til $p$ .

Det neste vi må tenke på er at nullpunktene ligger innenfor definisjonsområdet til $f$ , som i dette tilfellet er $⟨ - 2, 4 ⟩$ .

$f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} = x^{3} (- x + 4)$ Derfor blir likningen for nullpunktene til $f$

$f (x) = 0$

$x^{3} (- x + 4) = 0$

$x^{3} = 0 og - x + 4 = 0$

$x = 0 og x = 4$

Siden $4$ ikke ligger i definisjonsområdet, $⟨ - 2, 4 ⟩$ , er det eneste nullpunktet til $f$ der $x = 0$

Svar: $f$ har ett nullpunkt, $x = 0$

Mer om

Denne oppgaven er om

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkt

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

For flere forklaringer og eksempler på funksjoner, se artikkelen Kritiske punkter.

b)

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

I stasjonære punkter (topp-, bunn- og terrassepunkt) på grafen til $f$ , hverken stiger eller synker grafen. Derfor har vi $f^{'} (x) = 0$

For å få fullstendig oversikt over hvilke punkter som er topp-, bunn- og terrassepunkter, burde vi tegne opp et fortegnsskjema til $f^{'}$ .

Vi starter med å derivere $f$

$f^{'} (x) = (- x^{4} + 4 x^{3})^{'} = - 4 x^{3} + 4 \cdot 3 x^{2} = - 4 x^{3} + 12 x^{2} = - 4 x \cdot x (x - 3)$ Vi tegner opp fortegnsskjemaet til $f^{'}$

Vi ser at $f$ vokser fram til $x = 0$ , der har $f$ et terrassepunkt. Videre stiger $f$ til $x = 3$ , hvor $f$ har et toppunkt, hvorpå $f$ synker.

Svar: $f$ har toppunktet $(3, 27)$ og ingen bunnpunkter.

Mer om

Denne oppgaven er om

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

topppunkt

Terassepunkt

Et terassepunkt for en funksjon $f (x)$ er et stasjonært punkt $a$ (et punkt der den deriverte er null), som verken er et topp- eller bunnpunkt.

terassepunkt

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er mindre enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

bunnpunkt

Fortegnsskjema

Et fortegnsskjema er en grafisk framstilling av hvordan fortegnet til ulike faktorer i et uttrykk endrer seg med x.

fortegnsskjema

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

For flere forklaringer og eksempler på ekstremalpunkter, se artikkelen Topp- og bunnpunkter.

c)

Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vendepunkter er der en funksjon går fra konveks til konkav, eller fra konkav til konveks. Spesielt vet vi at i vendepunkter er $f^{''} (x) = 0$ .

Vi vil løse likningen $f^{''} (x) = 0$ , så først må vi regne ut $f^{''}$ $\begin{matrix} f^{''} (x) = (f^{'} (x))^{'} \\ = (- 4 x^{3} + 12 x^{2})^{'} = - 4 \cdot 3 x^{2} + 12 \cdot 2 x \\ = - 12 x^{2} + 24 x = - 12 x (x - 2) \end{matrix}$ Vi kan nå løse likningen $$\begin{aligned} &f^{\prime \prime}(x)=0\\ &-12x(x-2)=0\\ &-12x = 0 \text{ eller } x-2=0\\ &x=0 \text{ eller } x=2\\\end{aligned}$$ Når den annenderiverte er positiv, er funksjonen konveks. Når den annenderiverte er negativ, er den konkav. I vendepunktene skifter den fortegn. For å vite når funksjonen er konkav eller konveks, tegner vi et fortegnsskjema til $f^{''}$ :

Svar: $f$ har følgende vendepunkter

1. Konkav-konveks: $(0, f (0)) = (0, 0)$

2. Konveks-konkav: $(2, f (2)) = (2, 16)$

Mer om

Denne oppgaven er om

Konkav

La $f (x)$ være en kontinuerlig funksjon. I de intervallene der grafen til åpner seg nedover, sier vi at $f (x)$ er konkav. En kontinuerlig, deriverbar funksjon $f$ er konkav på et interval $[a, b]$ hvis $f'' (x)$ har negativt fortegn for alle $x$ i intervallet.

konkav

Konveks

La $f (x)$ være en kontinuerlig funksjon. I de intervallene der grafen til $f (x)$ åpner seg oppover , sier vi at $f (x)$ er konveks. En kontinuerlig, deriverbar funksjon er konveks på et interval [a,b] hvis $f'' (x)$ har positivt fortegn for alle $x$ i intervallet.

konveks

Vendepunkt

Et vendepunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $x = a$ , der funksjonen bytter mellom å være konveks og konkav. I et vendepunkt skifter den annenderiverte $f'' (x)$ fortegn.

vendepunkt

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Fortegnsskjema

Et fortegnsskjema er en grafisk framstilling av hvordan fortegnet til ulike faktorer i et uttrykk endrer seg med x.

fortegnsskjema

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

For flere forklaringer og eksempler på vendepunkter, se artikkelen Vendepunkt og vendetangent.

d)

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Tanker

Nå har vi en del informasjon som vi kan bruke til å lage en god skisse av grafen til $f$

1. Terrassepunkt: $(0, f (0)) = (0, 0)$

2. Toppunkt: $(3, f (3)) = (3, 27)$

3. Vendepunkt: Konkav-konveks: $(0, f (0)) = (0, 0)$

4. Vendepunkt: Konveks-konkav: $(2, f (2)) = (2, 16)$

5. Grafen skal skisseres innenfor definisjonsområdet.

6. Grafen nærmer seg nullpunkt for $x = 4$ , selv om $x = 4$ er utenfor definisjonsområdet.

Svar:

Mer om

Denne oppgaven er om

Terassepunkt

Et terassepunkt for en funksjon $f (x)$ er et stasjonært punkt $a$ (et punkt der den deriverte er null), som verken er et topp- eller bunnpunkt.

terassepunkt

Vendepunkt

Et vendepunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $x = a$ , der funksjonen bytter mellom å være konveks og konkav. I et vendepunkt skifter den annenderiverte $f'' (x)$ fortegn.

vendepunkt

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

topppunkt

Graf

En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

graf

Definisjonsmengde

En funksjon tar verdier fra en bestemt mengde, og denne mengden kalles definisjonsmengden til funksjonen.

Eksempel:

$f (x) = \frac{1}{x} f o r x \in (0, \infty)$

har definisjonsmengde $(0, \infty)$ . Merk at funksjonen ikke kan være definert i $x = 0$ fordi vi ikke kan dele på $0$ .

definisjonsområde

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkt

For flere forklaringer og eksempler på funksjonsdrøfting, se artikkelen Krumningsegenskaper.

Oppgave 6 (3 poeng) Nettkode: E-4D5J

Skissen viser en sirkel med sentrum i $S$ . Punktene $A$ , $B$ , $C$ og $D$ ligger på sirkelen.

$B D$ er en diameter.

Vi setter $∠ B D C = 50^{\circ}$ , $∠ B A C = u$ og $∠ C B D = v$ .

Bruk et geometrisk resonnement til å bestemme størrelsen på vinklene $u$ og $v$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Siden vinklene ligger på den samme sirkelen, kan man si hvor store de er utifra hvor stor sirkelbue de spenner. Dette kaller vi for periferivinkler. Spesielt har vi at en periferivinkel er halvparten så stor som sentralvinkelen.

$u = ∠ B A C$ utspenner sirkelbuen mellom $B$ og $C$ , og det samme gjør $∠ B D C$ = $50^{\circ}$ . Av periferivinkler må disse være like store $u = ∠ BAC = ∠ BDC = 50^{\circ}$
Merk at $v + ∠ B D C + ∠ B C D$ = $180^{\circ}$ (vinkelsummen i en trekant er $180^{\circ}$ ). Så vi får at $v = 180^{\circ} - 50^{\circ} - ∠$ BCD.

Videre har vi at sentralvinkelen til $∠ B C D$ , er vinkelen $∠ B S D$ = $180^{\circ}$ . Siden periferivinkelen er havlparten så stor som sentralvinkelen, konkluderer vi med at $∠ B C D =$ $90^{\circ}$ . Derfor får vi $v = 180^{\circ} - 50^{\circ} - ∠ BCD = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 90^{\circ} = 40^{\circ}$

Svar: $u = 50^{\circ}$ og $v = 40^{\circ}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Vinkel

En vinkel er en geometrisk figur satt sammen av to rette linjer med samme startpunkt. Vinkler måles i grader.

vinkel

Vinkelsum

Summen av alle vinklene i en mangekant.

Vinkelsummen i en trekant er alltid 180 grader og vinkelsummen i en firkant er alltid 360 grader.

vinkelsummen i en trekant

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

Sirkel

Sirkel brukes i to betydninger:

1) Selve sirkellinjen som er den krumme linjen som går gjennom punktene som har samme avstand fra et fast punkt, nemlig sentrum i sirkelen. Dette er det samme som sirkelen sin omkrets.

2) Flaten som sirkellinjen begrenser.

Areal: $A = π r^{2}$
Omkrets: $O = 2 π r$

sirkel

For flere forklaringer og eksempler på vinkler, se artikkelen Tom forteller om vinkler og vinkelmål.

Oppgave 7 (4 poeng) Nettkode: E-4D5L

På en skole er 60 % av elevene jenter. 70 % av jentene og 55 % av guttene har blå øyne. Vi trekker ut en tilfeldig valgt elev ved skolen.

a)

Bestem sannsynligheten for at eleven har blå øyne.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Ut i fra informasjonen i oppgaveteksten kan vi trekke noen sluttningner

1. $40 %$ av elevene er gutter.

2. $30 %$ av jentene har ikke blå øyne.

3. $45 %$ av guttene har ikke blå øyne.

Et valgtre gir oss en god oversikt over situasjonen.

Vi definerer hendelsene:

$J$ : eleven er jente

$\overline{J}$ : eleven er ikke en jente

$B$ : eleven har blå øyne

$\bar{B}$ : eleven har ikke blå øyne

Loven om total sannsynlighet gir

$P (B) = P (J) \cdot P (B |J) + P (\overline{J}) \cdot P (B |\overline{J})$

$= 0, 6 \cdot 0, 7 + 0, 4 \cdot 0, 55 = 0, 42 + 0, 22 = 0, 64$

Alternativ løsning

Lag en krysstabell.

Svar: Sannsynligheten for at eleven har blå øyne er $0, 64 = 64 %$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.

Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.

Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.

Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.

sannsynlighet

Valgtre

Gir oss oversikt over alle mulige kombinasjoner av utfall for en gitt hendelse.

Valgtre er det samme som utfallstre.

utfallstre

Multiplikasjonsregelen

Sannsynligheten for at flere bestemte uavhengige hendelser inntreffer etter hverandre er lik produktet av sannsynlighetene for hver enkel hendelse.

Eksempel: sannsynligheten for å få to seksere ved å kaste en terning to ganger er: $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

multiplikasjonsregel

For flere forklaringer og eksempler på sannsynlighet, se artikkelen Multiplikasjonsregel.

b)

Eleven som er trukket ut, har ikke blå øyne. Bestem sannsynligheten for at eleven er en gutt.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Dette er betinget sansynlighet. Vi skal finne sannsynligheten for at en elev ikke er en jente, gitt at eleven ikke har blå øyne, altså $P (\overline{J} |\overline{B})$ Ved betinget sannsynlighet er det nyttig å ha Bayes’ setning i bakhodet $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

For å regne ut $P (\overline{J} |\overline{B})$ , bruker vi Bayes’ setning:

$P (\overline{J} |\overline{B}) = \frac{P (\overline{J}) \cdot P (\overline{B} |\overline{J})}{P (\overline{B})}$

$= \frac{0, 4 \cdot (1 - 0, 55)}{1 - 0, 64} = \frac{0, 4 \cdot 0, 45}{0, 36} = 0, 4 \cdot \frac{5}{4} = 0, 5$

$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0, 64 = 0, 36$

Alternativ løsning

Lag en krysstabell.

Vi leser svaret nesten rett ut av tabellen. Totalt $36 %$ av elevene har ikke blå øyne, $15 %$ er gutter og $18 %$ er jenter, altså er
$P (\overline{J} |\overline{B}) = 0, 5 = 50 %$

Svar: $P (\overline{J} |\overset{__}{B}) = 0, 5$

Mer om

Denne oppgaven er om

Bayes' setning

Bayes' setning sier at $P (A | B) = \frac{P (B | A) P (A)}{P (B)} .$

Bayes' setning

Sannsynlighet

sannsynlighet

Snitt

Snittet av to mengder A og B er en ny mengde $A \cap B$ som består av alle elementer som forekommer både i A og B.

Eksempel:

$A = {2, 4, 5, 18} o g B = {1, 2, 4, 24}$

$A \cap B = {2, 4}$

snitt

For flere forklaringer og eksempler på sannsynlighet, se artikkelen Bayes-setningen.

Oppgave 8 (5 poeng) Nettkode: E-4D5O

a)

Konstruer en $Δ A B C$ slik at $A B = 10, 0$ cm, $B C = 7, 0$ cm og $A C = 11, 0$ cm.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi vet de tre sidelengdene, så vi trenger en linjal. Videre trenger vi en passer for å kunne markere lengdene med sirkelbuer.

Framgangsmåte

Tegn en linje, og marker punktet $A$ , og mål $10$ cm og marker $B$
Mål opp $7$ cm på passeren, og sett passerspissen i $B$ og marker en sirkelbue omtrent der $C$ skal være.
Mål opp $11$ cm på passeren, og sett passerspissen i $A$ og marker en sirkelbue omtrent der $C$ skal være.
Punktet der de to sirkelbuene skjærer hverandre markerer vi som $C$
Trekk linjestykkene $B C$ og $A C$

1. og 2.

3. og 4.

Mer om

Denne oppgaven er om

Linje

En rett linje som vanligvis kalles linje, er en rett strek som har en posisjon og retning. En linje fortsetter uendelig i begge retninger.

linje

Sirkelbue

Er en sammenhengende del av sirkellinjen.

sirkelbue

For flere forklaringer og eksempler på konstruksjon, se artikkelen Konstruksjon av figurer.

b)

En skjæringssetning sier at halveringslinjene til de tre vinklene i trekanten skjærer hverandre i ett punkt.

Demonstrer denne setningen ved å konstruere halveringslinjene til vinklene i $Δ A B C$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi skal halvere hver av vinklene i trekanten og finne punkt $S$ som er skjæringspunkt mellom halveringslinjene. Slik halverer vi en vinkel

1. Tegn en sirkelbue med sentrum i vinkelspissen som treffer vinkelbeina i $M$ og $N$

2. Tegn en stor nok sirkel med sentrum $M$ , og en med lik radius i $N$

3. Disse sirklene treffer hverandre i to punkter $P$ og $Q$

4. Trekk linjen gjennom $P$ og $Q$ . Denne linjen halverer vinkelen

Samme prosedyre følges for de to andre hjørnene i trekanten.

Mer om

Denne oppgaven er om

Skjæringspunkt

Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.

skjæringspunkt

Vinkel

En vinkel er en geometrisk figur satt sammen av to rette linjer med samme startpunkt. Vinkler måles i grader.

vinkel

Sirkelbue

Er en sammenhengende del av sirkellinjen.

sirkelbue

For flere forklaringer og eksempler på geometri, se artikkelen Konstruksjon av figurer.

c)

Halveringslinjene skjærer hverandre i punktet $S$ .

Konstruer normalene fra $S$ ned på hver av sidekantene i $Δ A B C$ . Fotpunktene til normalene kaller vi $D$ , $E$ og $F$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi skal konstruere normalene fra $S$ ned på hver av sidekantene i $Δ A B C$ . Slik konstruerer vi normalen fra $S$ ned på $B C$ .

1. Tegn en sirkelbue med sentrum i $S$ som treffer $B C$ i $R$ og $T$

2. Tegn en stor nok sirkel med sentrum $R$ , og en med lik radius i $T$

3. Disse sirklene treffer hverandre i to punkter $R$ og $T$

4. Trekk linjen gjennom $R$ og $T$ . Denne linjen er normalen fra $S$ ned på $B C$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Sirkelbue

Er en sammenhengende del av sirkellinjen.

sirkelbue

Normal

En linje som står 90 grader på en annen linje.

normal

Punkt

I geometrien tegnes punkt som en prikk eller et kryss. Den knyttes til en fast posisjon og har ingen utstrekning. Et punkt har en stor bokstav som navn, for eksempel A eller B.

punkt

For flere forklaringer og eksempler på geometri, se artikkelen Et punkt og en linje.

d)

Forklar at $S D = S E = S F$ . Konstruer den innskrevne sirkelen i $Δ A B C$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

Siden vi har trukket halveringslinjene i hvert av hjørnene til trekanten har vi parvis like vinkler

* $∠ F A S = ∠ E A S$

* $∠ F B S = ∠ D B S$

* $∠ D C S = ∠ E C S$

$Δ A B C$ delt inn i $6$ mindre trekanter, som parvis deler hypotenuser.

Vi skal vise at $F S = E S$ (tilsvarende argument gjelder for $F S = D S$ og $E S = D S$ ).
For $Δ A F S$ , og $Δ A E S$ stemmer følgende

* $∠ F A S = ∠ E A S$

* $∠ A F S = ∠ A E S = 90^{ο}$

* $∠ A S F = 180^{ο} - ∠ F A S - ∠ A F S = 180^{ο} - ∠ E A S - ∠ A E S = ∠ A S E$

* hypotenusen er like lang i begge trekanter (=linjestykke $A S$ )

Vi konkluderer med at disse trekantene er kongruente, og følgelig er $F S = E S$

Den innskrevne sirkelen i $Δ A B C$ , konstruerer vi ved å tegne sirkelen med sentrum i $S$ , og radius lik $F S = E S = D S$ . Merk at sirkelen tangerer hver av sidekantene fordi $F S$ , $E S$ og $D S$ står vinkelrett på henholdsvis $A B$ , $A C$ og $B C$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Hypotenus

Den siden som er motstående til den rette vinkelen i en rettvinklet trekant. De andre to sidene kalles kateter.

hypotenus

Kongruente figurer

To figurer er kongruente dersom alle sider og alle vinkler er parvis like store. To kongruente figurer vil kunne dekke hverandre fullstendig om de plasseres oppå hverandre, det vil si at to figurer er kongruente når de har lik form og størrelse.

kongruente figurer

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

Kongruens

Brukes både i algebra og i geometri.

I geometri: om figurer, for eksempel trekanter, som har parvis like vinkler og sider.

I algebra: om tall, for eksempel i regning modulo, et tall k om to tall som har samme rest etter divisjon med k.

kongruens

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangent

For flere forklaringer og eksempler på kongruens, se artikkelen Formlikhet og kongruens.

Oppgave 9 (2 poeng) Nettkode: E-4D5T

Løs likningen

$\lg {(x + 2)}^{2} = \lg x^{4}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi ser at likningen er en logaritmelikning. Husk at vi ikke kan ta logaritmen av noe negativt eller $0$ og derfor har vi begrensning for $x \neq - 2$ og $x \neq 0$ .

Vi kan begynne med å fjerne logaritmen på begge sider $\begin{matrix} lg (x + 2)^{2} = lg x^{4} \\ 10^{lg (x + 2)^{2}} = 10^{lg x^{4}} \\ (x + 2)^{2} = x^{4} \end{matrix}$ Det vi har nå er en fjerdegradslikning, men heldigvis kan vi løse dette ved å ta kvadratroten på begge sider $\begin{matrix} \sqrt{(x + 2)^{2}} = \pm \sqrt{x^{4}} \\ x + 2 = \pm x^{2} \end{matrix}$ Derfor har vi to likninger

$x + 2 = x^{2}$
$x + 2 = - x^{2}$

Begge disse er andregradslikninger, som vi kan løse med abc-formelen. De tar dem for oss hver for seg:

1. Likningen kan skrives $x^{2} - x - 2 = 0$ og har derfor løsningene

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

$x_{1} = \frac{1 + 3}{2} = 2 og x_{2} = \frac{1 - 3}{2} = - 1$

Vi har de to løsningene $x = 2$ og $x = - 1$ , og vi kan sjekke at begge disse er gyldige løsninger ved å sette de inn i den opprinnelige likningen.

2. Likningen kan skrives $x^{2} + x + 2 = 0$ og har derfor løsningene $\begin{matrix} x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{1 \pm \sqrt{- 7}}{2} \end{matrix}$ Denne likningen har ingen løsninger fordi vi ikke kan regne ut $\sqrt{- 7}$ .

Vi konkluderer med at de eneste løsningene er $x = 2$ og $x = - 1$ .

Svar: Likningen har løsninger $x = 2$ og $x = - 1$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

Eksempel: log₁₀(1000) = 3 ettersom 10³ = 1000.

logaritme

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formelen

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

For flere forklaringer og eksempler logaritmer, se artikkelen Logaritmelikninger.

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (5 poeng) Nettkode: E-4D5V

I 1960 var folketallet på jorden 3,0 milliarder. I 2013 var folketallet 7,1 milliarder. En god modell for utviklingen av folketallet er funksjonen $f$ gitt ved

$f (t) = c \cdot e^{k \cdot t}$

der $c$ og $k$ er konstanter og tiden $t$ er antall år etter 1960.

a)

Bestem konstantene $c$ og $k$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi har fått oppgitt to punkter på grafen. Hvis vi bruker dette kan vi få to likninger med de to ukjente $c$ og $k$ . Dessuten får vi bruk for at i $1960$ av $t = 0$ , og i $2013$ var $t = 53$ ( $53$ år etter $1960$ ).

Vi har fått oppgitt at

$f (0) = 3, 0 \cdot 10^{9}$
$f (53) = 7, 1 \cdot 10^{9}$

1. Dette gir oss $f (0) = c \cdot e^{k \cdot 0} = c = 3, 0 \cdot 10^{9}$ Så $c = 3, 0 \cdot 10^{9}$ .

2. Vi setter nå $t = 53$ inn i funksjonen

$f (53) = c \cdot e^{k \cdot 53} = 3, 0 \cdot 10^{9} \cdot e^{k \cdot 53} = 7, 1 \cdot 10^{9}$

Altså, vi har en likning der $k$ er ukjent.

$\begin{matrix} \frac{3, 0 \cdot 10^{9} \cdot e^{k \cdot 53}}{3, 0 \cdot 10^{9}} = \frac{7, 1 \cdot 10^{9}}{3, 0 \cdot 10^{9}} \\ ln (e^{53 k}) = ln (\frac{7, 1}{3}) \\ 53 k = ln 7, 1 - ln 3 \\ k = \frac{ln 7, 1 - ln 3}{53} \approx 0, 0163 \end{matrix}$

Svar: $c = 3, 0 \cdot 10^{9}$ og $k = 0, 0163$

Mer om

Denne oppgaven er om

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

For flere forklaringer og eksempler eksponentiallikninger, se artikkelen Eksponentiallikninger.

b)

Når vil folketallet passere 10 milliarder ifølge denne modellen?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi har nå en modell $f (t) = 3, 0 \cdot 10^{9} \cdot e^{0, 0163 t}$ for folketallet etter $t$ år etter $1960$ . For å få en oversikt over hvordan befolkningen vokser, tegner vi opp grafen til $f$ for så å finne hvilken $t$ -verdi som gir oss $10$ milliarder.

Vi kan løse dette som en likning eller løse det grafisk.

Likning:

Vi ser etter den $t$ -verdien som gir oss $10$ milliarder mennesker. Det gir oss likningen

$\begin{matrix} f (t) = 10 \cdot 10^{9} \\ \frac{3, 0 \cdot 10^{9} \cdot e^{0, 0163 t}}{3, 0 \cdot 10^{9}} = \frac{10 \cdot 10^{9}}{3, 0 \cdot 10^{9}} \\ e^{0, 0163 t} = \frac{10}{3} \\ ln (e^{0, 0163 t}) = ln (\frac{10}{3}) \\ \frac{0, 0163 t}{0, 0163} = \frac{ln 10 - ln 3}{0, 0163} & t = \frac{ln 10 - ln 3}{0, 0163} \approx 74 \end{matrix}$

$74$ år etter $1960$ tilsvarer år ( $1960 + 74 = 2034$ ) år $2034$ .

Grafisk:

For å se hvor befolkningen går forbi $10$ milliarder, tegner vi opp linja $y = 10 \cdot 10^{9}$ , og markerer skjæringspunktet mellom denne linja og $f$ .

Vi merker oss koordinatene til dette kryssningspunktet $A (74, 10 \cdot 10^{9})$ , altså $t = 74$ , som tilsvarer på $2034$ .

Svar: Folketallet passere $10$ milliarder i år $2034$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Skjæringspunkt

skjæringspunkt

Linje

En rett linje som vanligvis kalles linje, er en rett strek som har en posisjon og retning. En linje fortsetter uendelig i begge retninger.

linje

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

Eksempel: log₁₀(1000) = 3 ettersom 10³ = 1000.

logaritme

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

For flere forklaringer og eksempler likninger, se artikkelen Grafisk løsning av likninger.

c)

Forklar at folketallet stiger med en fast prosent hvert år ifølge modellen.

Bestem denne faste, årlige prosenten.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Hvis en funksjon stiger med en fast prosent hvert år, kan man skrive funksjonen på formen $f (t) = v_{0} \cdot (1 + \frac{p}{100})^{t}$ Der $p$ er prosenten funksjonen øker med, og $1 + \frac{p}{100}$ er vekstfarten til funksjonen.
Dette er en eksponentiell funksjon, og siden vår funksjon også er det, kan vi gjøre om funksjonen til å være på denne formen.

En annen måte å tilnærme seg problemet på er å se på hvor mye $f$ økte fra $t = 0$ til $t = 1$ , fra $t = 1$ til $t = 2$ , fra $t = 2$ til $t = 3$ , og så videre. For å finne ut det, regner vi ut
$\frac{f (1)}{f (0)}, \frac{f (2)}{f (1)}, \frac{f (3)}{f (2)}, . . .$
Hvis alle disse verdiene er det samme, vet vi at $f$ øker med en fast prosent hvert år. Å finne ut dette blir det samme som å sjekke at $\frac{f (t + 1)}{f (t)}$ ikke avhenger av året $t$ .

Vi bruker den andre fremgangsmåten gitt over. Vi regner ut

$\begin{matrix} \frac{f (t + 1)}{f (t)} \\ = \frac{3, 0 \cdot 10^{9} \cdot e^{0, 0163 (t + 1)}}{3, 0 \cdot 10^{9} \cdot e^{0, 0163 t}} \\ = \frac{e^{0, 0163 (t + 1)}}{e^{0, 0163 t}} \\ = e^{0, 0163 (t + 1) - 0, 0163 t} \\ = e^{0, 0163} \approx 1, 016 \end{matrix}$

Som vi ser avhenger ikke dette forholdet av hvilket år det er. Og $f (t + 1) = 1, 016 \cdot f (t)$ Altså øker det med $1, 6 %$ .

Svar: Den faste årlige befolkningsveksten er på $1, 6 %$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

Divisjon

Divisjon er en regneart som er den omvendte operasjonen av multiplikasjon.

Eksempel: $6 : 2 = 3$ fordi $2 \cdot 3 = 6$ .

divisjon

For flere forklaringer og eksempler eksponentialfunksjoner, se artikkelen Eksempel: Antall bakterier i en gryte.

Oppgave 2 (6 poeng) Nettkode: E-4D5Z

I et koordinatsystem er punktene $A (- 1, 0)$ , $B (7, - 1)$ og $C (5, 8)$ gitt.

a)

Bestem $\vec{C B}$ , $\vec{C A}$ og $∠ A C B$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Hvis vi har punktene $P (x_{1}, y_{1})$ og $Q (x_{2}, y_{2})$ så er $\vec{PQ} = [x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}]$ Videre spør oppgaven oss om vinkelen mellom to vektorer, og da kan vi friske opp litt.

Husk at denne oppgaven kan løses med CAS, men vi velger vise deg løsnignen under. Hvis vi har de to vektorene $\vec{a} = [a_{1}, a_{2}]$ og $\vec{b} = [b_{1}, b_{2}]$ , som begge har utgangspunkt i det samme punktet, utspenner de en trekant, der den siste siden er vektoren $\vec{a} - \vec{b} = [a_{1} - b_{1}, a_{2} - b_{2}]$ , se figuren under

Kaller vi vinkelen imellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ for $v$ , får vi fra cosinussetningen

$|\vec{a} - \vec{b}| = {|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos (v)$

${(\sqrt{{(a_{1} - b_{1})}^{2} + {(a_{2} - b_{2})}^{2}})}^{2} =$

$= {(\sqrt{{(a_{1})}^{2} + {(a_{2})}^{2}})}^{2} + {(\sqrt{{(b_{1})}^{2} + {(b_{2})}^{2}})}^{2} - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos (v)$

$2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos (v) = {(a_{1})}^{2} + {(a_{2})}^{2} + {(b_{1})}^{2} + {(b_{2})}^{2} - {(a_{1} - b_{1})}^{2} - {(a_{2} - b_{2})}^{2}$

$2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos (v) = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + b_{1}^{2} + b_{2}^{2} - a_{1}^{2} + 2 a_{1} b_{1} - b_{1}^{2} - a_{2}^{2} + 2 a_{2} b_{2} - b_{2}^{2}$

$2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos (v) = 2 a_{1} b_{1} + 2 a_{2} b_{2}$

$|\vec{a}| |\vec{b}| \cos (v) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$

$|\vec{a}| |\vec{b}| \cos (v) = \vec{a} \cdot \vec{b}$

Nå har vi en sammenheng mellom to vektorer, og vinkelen imellom dem.

$\vec{CB} = [7 - 5, - 1 - 8] = [2, - 9]$

$\vec{CA} = [- 1 - 5, 0 - 8] = [- 6, - 8]$

$∠ A C B$ er vinkelen mellom de to vektorene $\vec{CB}$ og $\vec{CA}$

Vi bruker formelen over for å regne ut vinkelen, vi lar $v = ∠ A C B$ . $\begin{matrix} | \vec{CB} | | \vec{CA} | cos v = \vec{CB} \cdot \vec{CA} \\ | [2, - 9] | | [- 6, - 8] | cos v = [2, - 9] \cdot [- 6, - 8] \\ \sqrt{2^{2} + (- 9)^{2}} \sqrt{(- 6)^{2} + (- 8)^{2}} \cdot cos v = 2 \cdot (- 6) + (- 9) \cdot (- 8) \\ \sqrt{85} \sqrt{100} \cdot cos v = - 12 + 72 \\ \frac{10 \sqrt{85} \cdot cos v}{10 \sqrt{85}} = \frac{60}{10 \sqrt{85}} \\ v = {cos}^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{85}}) \approx 49, 4^{\circ} \end{matrix}$ Vinkelen $∠ A C B$ = $49, 4^{\circ}$

Svar: $\vec{CB} = [2, - 9]$ , $\vec{CA} = [- 6, - 8]$ og $∠ A C B$ = $49, 4^{\circ}$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektor

Vinkel

En vinkel er en geometrisk figur satt sammen av to rette linjer med samme startpunkt. Vinkler måles i grader.

vinkel

Trigonometri

Læren om forholdet mellom vinkler og sider i en trekant. De trigonometriske funksjonene sinus og cosinus er de viktigste redskapene i denne teorien.

trigonometri

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Vinkelen mellom to vektorer.

b)

Bestem arealet til $Δ A B C$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi skal finne arealet i en trekant, og fra trigonometrien vet vi at arealsetningen kan brukes $T = \frac{1}{2} \cdot p \cdot q \cdot sin v$

Vi vet allerede at $∠ A C B$ = $49, 4^{\circ}$ , så det gjenstår å regne ut lengden av vektorene $\vec{CB} = [2, - 9]$ og $\vec{CA} = [- 6, - 8]$ .

$|\vec{CB}| = | [2, - 9] | = \sqrt{2^{2} + (- 9)^{2}} = \sqrt{85}$

$|\vec{CA}| = | [- 6, - 8] | = \sqrt{(- 6)^{2} + (- 8)^{2}} = \sqrt{100} = 10$

Derfor får vi et uttrykk for arealet $\begin{matrix} T = \frac{1}{2} \cdot |\vec{CB}| \cdot |\vec{CA}| \cdot sin v \\ = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{85} \cdot 10 \cdot sin 49, 4^{\circ} = 35 \end{matrix}$

Svar: Arealet til $Δ A C B$ er $35$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Trigonometri

Læren om forholdet mellom vinkler og sider i en trekant. De trigonometriske funksjonene sinus og cosinus er de viktigste redskapene i denne teorien.

trigonometri

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektor

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Lengden til en vektor.

c)

Bruk vektorregning til å bestemme koordinatene til et punkt $E$ på $x$ -aksen slik at $\vec{C E} ⊥ \vec{A B}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

At $E$ ligger på $x$ -aksen, må bety at $E$ er på formen $(x, 0)$ , fordi alle punkter på $x$ -aksen har $y$ -verdi lik $0$ . Når to vektorer står vinkelrett på hverandre betyr det at skalarproduktet er lik $0$ .

Vi starter med at $E$ er på formen $(x, 0)$ , da får vi
$\vec{CE} = [x - 5, 0 - 8] = [x - 5, - 8]$
Vi trenger også
$\vec{AB} = [7 - (- 1), - 1 - 0] = [8, - 1]$
Til slutt bruker vi at skalarproduktet er lik $0$ $\begin{matrix} \vec{CE} \cdot \vec{AB} = 0 \\ [x - 5, - 8] \cdot [8, - 1] = 0 \\ (x - 5) \cdot 8 + (- 8) \cdot (- 1) = 0 \\ 8 x - 40 + 8 = 0 \\ \frac{8 x}{8} = \frac{32}{8} \\ x = 4 \end{matrix}$

Svar: $E (4, 0)$

Mer om

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektor

Rett vinkel

En rett vinkel er 90 grader og vi skriver 90°. Vi sier da at vinkelbeina står normalt på hverandre.

rett vinkel

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Ortogonale vektorer.

Oppgave 3 (5 poeng) Nettkode: E-4D64

På figuren nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved

$f (x) = 4 - 0, 125 x^{3}, 0 < x < 2 \sqrt[3]{4}$

Rektangelet $O A B C$ er laget slik at $B$ ligger på grafen til $f$ .

a)

Vis at arealet $G$ til rektangelet kan skrives som

$G (x) = 4 x - 0, 125 x^{4}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Formelen for arealet av et rektangel er lik lengde $\cdot$ bredde. Hvis vi kan finne et uttrykk for både lengden og bredden til rektangelet, kan vi multiplisere disse to uttrykkene sammen for å få et uttrykk for arealet.

Lengden av rektangelet er lik lengden fra $O$ til $A$ , som er lik $x - 0 = x$ . Bredden er lik lengden fra $C$ til $O$ , som er lik $f (x) - 0 = f (x)$ . Derfor blir arealet (lengde $\cdot$ bredde) $G (x) = x \cdot f (x) = x (4 - 0, 125 x^{3}) = 4 x - 0, 125 x^{4}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Rektangel

Et rektangel er en firkant der sidene er parvis like lange og alle vinklene er 90°.

Areal: $A = a b$

Omkrets: $O = 2 a + 2 b$

rektangel

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

For flere forklaringer og eksempler på figurer, se artikkelen Et rektangel.

b)

Bestem $x$ slik at rektangelet får areal lik 5,0.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

$G (x)$ er en funksjon som forteller oss arealet, hvis vi forteller den $x$ . Vi lurer på $x$ slik at rektangelet får areal lik $G (x) = 5$ .

Likningen vi får ser slik ut $\begin{matrix} G (x) = 5 \\ 4 x - 0, 125 x^{4} = 5 \end{matrix}$ Dette er en fjerdegradslikning, som vi trenger hjelp med å løse. Her kan vi ta ibruk CAS.

Vi løser likningen $4 x - 0, 125 x^{4} = 5$ , og passer på at løsningene ligger mellom $0$ og $2 \sqrt[3]{4} \approx 3, 17$

Vi leser av de to løsningene $x = 1, 36$ og $x = 2, 53$ .

Svar: $x = 1, 36$ og $x = 2, 53$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

For flere forklaringer og eksempler på polynomer, se artikkelen Definisjon av et polynom.

c)

Bestem det største arealet rektangelet kan ha.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Tanker

Dette kan vi gjøre på to måter. Ved utregning, og grafisk.

Vi er ute etter toppunktet på grafen til $G$ , i intervallet $⟨ 0, 2 \sqrt[3]{4} ⟩$ .

Ved regning betyr dette at vi leter etter der $G^{'} (x) = 0$ , så da må vi først derivere funksjonen, og deretter løse likningen $G^{'} (x) = 0$ .

Grafisk betyr det at vi tegner opp grafen til $G (x)$ med riktig definisjonsmengde, og markerer toppunnktet.

Ved regning:

Vi starter med å derivere $G$ $G^{'} (x) = (4 x - 0, 125 x^{4})^{'} = 4 - 0, 125 \cdot 4 x^{3} = 4 - 0, 5 x^{3}$ Deretter løser vi likningen $\begin{matrix} G^{'} (x) = 0 \\ 4 - 0, 5 x^{3} = 0 \\ \frac{0, 5 x^{3}}{0, 5} = \frac{4}{0, 5} \\ \sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{8} \\ x = 2 \end{matrix}$ Dette betyr at $G$ har et ekstremalpunkt i $x = 2$ . Merk at dette er et toppunkt fordi $G$ går mot $0$ i endepunktene, og er positiv ellers.

Det største arealet rektangelet kan ha er derfor $G (2) = 4 \cdot 2 - 0, 125 \cdot 2^{4} = 8 - 0, 125 \cdot 16 = 8 - 2 = 6$

Grafisk:

Vi tegner opp $G$ med graftegner med kommandoen

Så gir vi nytt navn til funksjonen: $G$
Til slutt finner vi toppunktet med kommandoen

Vi leser av toppunktet $(2, 6)$ , og konkluderer med at det største arealet rektangelet kan ha er $6$ .

Svar: Det største arealet rektangelet kan ha er $6$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Graf

graf

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkt

For flere forklaringer og eksempler på ekstremalpunkter, se artikkelen Topp- og bunnpunkter.

Oppgave 4 (8 poeng) Nettkode: E-4D68

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 9 x + 28, D_{f} = ℝ$

a)

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi bruker GeoGebra for å tegne grafen. Husk å merkere aksene.

En linje skjærer grafen til $f$ i punktene $(- 3, - 8)$ og $(2, 2)$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Graf

graf

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

For flere forklaringer og eksempler på grafer, se artikkelen Grafen til en funksjon.

b)

En linje skjærer grafen til $f$ i punktene $(- 3, - 8)$ og $(2, 2)$ .

Bestem det tredje skjæringspunktet mellom grafen til $f$ og linjen. Hva blir summen av

$x$ -koordinatene til de tre skjæringspunktene?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Dette kan vi løse grafisk.

1. Marker punktene $(- 3, - 8)$ og $(2, 2)$

2. Trekk linja mellom punktene

3. Marker skjæringspunktet mellom linja og $f$

4. Les av koordinatet til skjæringspunktet

Vi leser av $C (5, 8)$ .

Summen av $x$ -koordinatene til de tre skjæringspunktene blir $- 3 + 2 + 5 = 4$

Svar: $C (5, 8)$ og summen av $x$ -koordinatene til de tre skjæringspunktene er lik $4$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Skjæringspunkt

skjæringspunkt

Linje

En rett linje som vanligvis kalles linje, er en rett strek som har en posisjon og retning. En linje fortsetter uendelig i begge retninger.

linje

Graf

graf

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

For flere forklaringer og eksempler på grafer, se artikkelen Grafisk løsning av likninger.

c)

Funksjonen $g$ er gitt ved

$g (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$

En linje $l$ går gjennom punktene $(s, g (s))$ og $(t, g (t))$ .

Bruk CAS til å bestemme likningen for linjen $l$ , uttrykt ved $s$ , $t$ , $a$ , $b$ og $c$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Siden vi vet at linjen $ℓ$ går igjennom punktene ( $s, g (s)$ ) og ( $t, g (t)$ ), vet vi at den har stigningstall $\frac{△ y}{△ x} = \frac{g (t) - g (s)}{t - s}$ For å finne konstantleddet til $ℓ$ , bruker vi at $ℓ$ går igjennom punktet ( $s, g (s)$ ), og ettpunktsformelen $\begin{matrix} y - y_{0} = a (x - x_{0}) \\ y - g (s) = \frac{g (t) - g (s)}{t - s} (x - s) \\ y = \frac{g (t) - g (s)}{t - s} (x - s) + g (s) \end{matrix}$

Vi starter med å definere $g (x)$ i CAS

Vi ser at likningen for linjen $ℓ$ , uttrykt ved $s$ , $t$ , $a$ , $b$ og $c$ er gitt ved

$y = - s t^{2} - s^{2} t + s^{2} x + t^{2} x - a s t + a s x + a t x + s t x + b x + c$

$= (s^{2} + t^{2} + a s + a t + s t + b) x + (- s t^{2} - s^{2} t - a s t + c)$

Svar: Likningen for linjen $ℓ$ , uttrykt ved $s$ , $t$ , $a$ , $b$ og $c$ er gitt ved $y = (s^{2} + t^{2} + a s + a t + s t + b) x + (- s t^{2} - s^{2} t - a s t + c)$

Mer om

Denne oppgaven er om

Linje

En rett linje som vanligvis kalles linje, er en rett strek som har en posisjon og retning. En linje fortsetter uendelig i begge retninger.

linje

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineærfunksjon

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

For flere forklaringer og eksempler på lineære likninger, se artikkelen Lineære likninger.

d)

Bruk CAS til å bestemme $x$ -koordinaten til det tredje skjæringspunktet mellom grafen til $g$ og linjen $l$ . Bestem summen av $x$ -koordinatene til de tre skjæringspunktene.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

Hvis vi kaller stigningstallet for $α$ og konstantleddet for $β$ i likningen til $ℓ$ som vi fant over, er det å finne skjæringspunktene mellom linja og $f$ , det samme som å løse likningssettet ${\begin{matrix} y = x^{3} + a x^{2} + b x + c \\ y = α x + β \end{matrix}$ Av dette får vi $α x + β = x^{3} + a x^{2} + b x + c$

Som over, så skriver vi for ordens skyld $α$ for stigningstallet og $β$ for konstantleddet i likningen til $ℓ$ . Vi skal nå løse likningen $$\alpha x + \beta=x^3+ax^2+bx+c$$ Dette kan vi få til i CAS ved å kopiere uttrykket vi fant i c) ( $y = - s t^{2} - s^{2} t + s^{2} x + t^{2} x - a s t + a s x + a t x + s t x + b x + c$ ), og sette høyresiden lik $g (x)$ . Deretter trykker vi på Løs ( $x =$ )

Vi ser at vi ender opp med de tre løsningene
${𝐱 = 𝐬, 𝐱 = 𝐭, 𝐱 = - 𝐚 - 𝐬 - 𝐭}$
Legger vi disse sammen får vi $s + t + (- a - s - t) = - a$

Svar: Summen av $x$ -koordinatene til de tre skjæringspunktene er $- a$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Skjæringspunkt

skjæringspunkt

Graf

graf

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

For flere forklaringer og eksempler på grafer, se artikkelen Hvorfor ser grafen ut som den gjør?.

REA3022 2015 Høst

Del 1

Del 2

Eksamensinformasjon

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (5 poeng) Nettkode: E-4D51

a)

Løsningsforslag a)

Derivasjon

Polynom

b)

Løsningsforslag b)

Derivasjon

Polynom

c)

Løsningsforslag c)

Derivasjon

Logaritme

Oppgave 2 (3 poeng) Nettkode: E-4D55

Løsningsforslag

Derivasjon

Eksponentialfunksjon

Oppgave 3 (5 poeng) Nettkode: E-4D57

a)

Løsningsforslag a)

Polynom

Divisjon

Ligning

b)

Løsningsforslag b)

abc-formelen

Polynom

Nullpunkt

c)

Løsningsforslag c)

Ligning

Intervall

Funksjon

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4D5B

Løsningsforslag

Logaritme

Oppgave 5 (7 poeng) Nettkode: E-4D5D

a)

Løsningsforslag a)

Nullpunkt

Polynom

Ligning

b)

Løsningsforslag b)

Toppunkt

Terassepunkt

Bunnpunkt

Fortegnsskjema

Polynom

c)

Løsningsforslag c)

Konkav

Konveks

Vendepunkt

Derivasjon

Fortegnsskjema

Polynom

d)

Løsningsforslag d)

Terassepunkt

Vendepunkt

Toppunkt

Graf

Definisjonsmengde

Nullpunkt

Oppgave 6 (3 poeng) Nettkode: E-4D5J

Løsningsforslag

Vinkel

Vinkelsum

Trekant

Sirkel

Oppgave 7 (4 poeng) Nettkode: E-4D5L

a)

Løsningsforslag a)

Alternativ løsning