Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Krumningsegenskaper

Nå skal vi se på hvilken vei grafen til en funksjon bøyer seg. Dette kalles å analysere funksjonens krumningsegenskaper.

De matematiske uttrykkene vi skal bruke om dette, er konveks og konkav:

Konveks og konkav

La f være en kontinuerlig funksjon. I de intervallene der grafen til f åpner seg oppover (som på figuren under), sier vi at f er konveks. I de intervallene der grafen åpner seg nedover (som på figuren under), sier vi at f er konkav.

Vi ønsker å finne krumningsegenskapene ved regning. Ikke minst ønsker vi å finne punktet der grafen skifter mellom å være konveks og konkav. Dette punktet kaller vi vendepunktet.

Akkurat som den deriverte er utslagsgivende for monotoniegenskapene til f, er det den annenderiverte som avgjør krumningen til f:

Teorem

Anta at f er to ganger deriverbar på intervallet a,b. Da har vi at

 f''(x)0 for alle xa,b f er konveks i a,b.

 f''(x)0 for alle xa,b f er konkav i a,b.

Punktet der den annenderiverte skifter fortegn kaller vi vendepunktet.

Vi finner som regel vendepunktet ved å sette f''x=0.

Huskeregel: Hvis f''x er positiv, får vi et smil :), men hvis f''x er negativ, får vi en sur munn :(.

Eksempel

Oppgave. Finn ut hvor funksjonen f er konveks og konkav, når

 f(x)=136x416x3+2. 

Løsning. Vi begynner med å derivere to ganger:

f'(x)=19x312x2, 

 f''(x)=13x2x. 

Vi bruker teoremet over som forteller oss at krumningen er avhengig av om den annenderiverte f''x er positiv eller negativ. Vi lager derfor fortegnslinja til f''.

Vi faktoriserer utrykket ved å trekke ut x og får

f''x=13x2-x=x13x-1.

Så kan vi enkelt lage fortegnslinja ved å kombinere de to faktorene:

Vi leser av at den annenderiverte er positiv, f''x , på intervallene -,0 og 3,. Grafen er altså konveks i disse intervallene. På intervallet 0, 3 er den annenderiverte negativ, og følgelig er grafen konkav her. Grafen under bekrefter det vi har funnet.

Vendepunktene finner vi nå lett ved å se på fortegnslinja når f''x skifter fortegn. Vi ser at dette skjer i x=0 og x-3, så dette er vendepunktene våre.

Grafen til f(x).