Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Formlikhet og kongruens

Hva betyr det at to figurer er formlike? Her skal vi se på to eksempler på hvordan vi anvender formlikhet i en praktisk sammenheng. I tillegg tar vi en titt på begrepet kongruens.

To figurer er formlike dersom de har nøyaktig samme form, men ikke nødvendigvis samme størrelse.


I to formlike figurer er forholdet mellom to samsvarende lengder konstant.

 

Eksempel 1.

Vi skal bruke en pinne, et målebånd og sola til å måle høyden på et stort tårn.


Vi har en pinne med høyde h1, som vi plasser loddrett. Så måler vi lengdene l1 og l2 av skyggene som pinnen og tårnet kaster på bakken. La oss si vi fikk l2=30 cm, h1=120 cm og l2=15 m.

Vi ser at vi har to formlike trekanter, og da er forholdet mellom de samsvarende sidene likt:

h2h1=l2l1      

Vi multipliserer med h1 på begge sider av likhetstegnet og får

h2=l2h1l1=151,20,3 m=60 m

Så ved å måle lengden av en pinne og to skygger kan vi regne ut høyden til et 60 meter høyt tårn!

 

For å bruke formlikhet, må vi selvsagt forsikre oss om at figurene virkelig er formlike. For to trekanter er det tilstrekkelig å vise at to av vinklene er parvis like store. Siden vinkelsummen i en trekant alltid er 180ο, må da også den tredje vinkelen være den samme i begge trekantene, og trekantene må ha samme form.

Eksempel 2.

På figuren ser vi tre trekanter: ΔABC, ΔADC og ΔDBC. Disse trekantene er formlike når vi forutsetter at ACB=90ο og at CD er en normal ned på AB.

ΔABC er formlik med ΔADC, fordi A er felles og ACB=ADC=90ο. Da er ABC=ACD, og trekantene formlike.

På samme måte finner vi at ΔABC er formlik med ΔDBC, fordi B er felles og ACB=CDB=90ο.

Siden både ΔADC og ΔDBC er formlike med ΔABC, må også ΔADC og ΔDBC være formlike med hverandre.

Av dette kan vi trekke ut at forholdet mellom AD og DC er likt forholdet mellom CD og DB, altså

ADDC=DCDB

Dette gir oss at ADDB=DCDC.

Dette betyr at i et rektangel med sidelengder AD og DB, er arealet til rektanglet like stort som arealet til kvadratet med sidelengder DC, når C er fremkommet som på figuren foran. Lengden DC kalles mellomproporsjonalen mellom de to andre lengdene.

Generelt for tall:
Hvis tre tall a, b og c er slik at ab=c2, kalles c mellomproporsjonalen mellom a og b.

Kongruens

Hvis vi har to formlike figurer som også er like store, sier vi at figurene er kongruente. Kongruente figurer dekker hverandre helt.


For trekanter kan vi sette opp kriterier som garanterer kongruens. Det betyr at to trekanter er kongruente dersom ett av disse kravene er oppfylt:

    1. Sidene i de to trekantene er parvis like lange.
    2. To sider og den mellomliggende vinkelen er like store.
    3. To vinkler og den mellomliggende siden er parvis like store.

Dette betyr også at hvis ett av kriteriene er oppfylt, kan trekanten konstrueres på én måte. Den er med andre ord entydig bestemt.

Begrep

  • Formlike trekanter

    Formlike trekanter

    To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.

    Eksempel: ΔABCΔDBE, det leses trekant ABC er formlik med trekant DBE.

  • Høyde

    Lengden av et linjestykke som står normalt på ei linje eller en flate.

  • Kongruens

    Brukes både i algebra og i geometri.

    I geometri: om figurer, for eksempel trekanter, som har parvis like vinkler og sider.

    I algebra: om tall, for eksempel i regning modulo, et tall k om to tall som har samme rest etter divisjon med k.

  • Lengde

    Lengde er målet for avstand. Lengden måles langs linjer, både rette og buede. Enheten for lengde er meter, eller andre mål avledet fra meter.

  • Likhetstegn

    Likhetsteget har symbolet "=".

    Likhetstegnet forteller at det som står til venstre for likhetstegnet har samme verdi som det som står til høyre.

    Eksempel: 6+4=52

  • Normal

    Normal

    En linje som står 90 grader på en annen linje.

  • Trekant

    En trekant er figur med tre hjørner (og tre sidekanter). 

  • Vinkel

    En vinkel er en del av planet som er begrenset av to stråler med samme startpunkt. Vinkler måles i grader.