Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Vendepunkt og vendetangent

Et vendepunkt er punktet der grafen til funksjonen skifter fra å være konveks til å bli konkav (eller omvendt). Dette er også punktet der stigningen skifter fra å øke til å minke (eller omvendt), altså vendepunktet er topp- eller bunnpunkt til den deriverte.

 

Vendepunkter og vendetangenter

La f være

Kontinuerlig funksjon

En kontinuerlig funksjon er en sammenhengende graf, det vil si at grafen danner en sammenhengende kurve.

kontinuerlig
i x=a. Dersom krumningen til f skifter i x=a, fra konveks til konkav, eller omvendt, sier vi at grafen til f har et vendepunkt i punktet a, fa Tangenten til grafen i et vendepunkt kalles ofte en vendetangent til grafen.

På samme måte som at vi finner topp- og bunnpunktene ved å se på de

Kritisk punkt

De kritiske punktene til en funksjon f(x) for xa,b er

1. Punkter der f'(x)=0.

2. Punkter der f'(x) ikke er definert.

3. Endepunktene til intervallet, a og b.

kritiske punktene
til fx, er vendepunktene blant de kritiske punktene til f'x. Vendepunktene er de punktene der veksthastigheten til grafen, altså f'x, er på sitt største eller minste.

Teorem

La f være kontinuerlig i et punkt a. Dersom den annenderiverte f''x skifter fortegn i a, er a et vendepunkt for grafen til funksjonen.

For å finne vendepunkter i praksis, lager vi fortegnslinja til den annenderiverte f''x. Ut i fra den kan man lese av direkte hvor vendepunktene til grafen er. Prosessen er helt parallell med å finne ekstremalpunkter. Det er verdt å merke seg at mange grafer ikke har noen vendepunkter i det hele tatt. Det enkleste eksemplet på en graf som har et vendepunkt, er dette:

Eksempel

Oppgave. Bestem vendepunktene til grafen til f(x)=x3.
Løsning. Vi deriverer to ganger:

f(x)=3x2, og

f(x)=6x.

Fortegnslinja til 6x kan du prøve å tegne opp: Den avslører at krumningen til f skifter fortegn i punktet x=0. Vi vet da at krumningen til f skifter fra konkav til konveks i punktet, og grafen har et vendepunkt i punktet x=0.

Å finne vendetangenten:

For å finne vendetangenten finner vi først

Tangent

En tangent til en kurve i et punkt er en linje som går gjennom punktet, men bare akkurat rører kurven der.

tangenten
til en funksjon i et punkt. Vi regner ut tangenten ved likningen under:

La fx være to ganger deriverbar i et punkt x=c. Tangenten tx,  til f  i punktet c,fc  er da gitt ved:

            tx=f'cx-c+fc.

Hvis c i tillegg er et vendepunkt for funksjonen, er tx vendetangenten. Du kan lese mer om å finne tangenten til en kurve i artikkelen "Ettpunktformelen og likning for tangentlinjen" som du finner til høyre.

Eksempel

Oppgave. Finn vendepunktene og vendetangentene til grafen til funksjonen f(x)=136x416x3+2.
Løsning. Fra fortegnslinja til f'' under ser vi at krumningen til f skifter i punktene x=0 og x=3. Grafen har derfor to vendepunkter, nemlig (0,f(0))=(0,2) og (3,f(3))=(3,14).


Vi finner vendetangentene ved å bruke formelen over.

Vi finner først den deriverte f'x=19x3-12x2.

Vi ser først på punktet 0,f0:

Her er f'0=0 og dermed får vi

tx=f'cx-c+fc=0x-0+2=2

for c=0.

Vi ser nå på 3,f3=3,-14:

Her er f'3=-32 og vi får:

tx=f'cx-c+fc=-32x-3+-14=-32+174

for c=3.

 
Figuren under viser grafen med de to vendetangentene. Legg merke til hvordan vendetangentene krysser grafen akkurat i tangeringspunktet.