Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

MAT1011 2014 Vår

Del 1
Del 2
Eksamensinformasjon

Eksamenstid:

5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:

Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:

Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Du skal svare på alle oppgavene.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

viser regneferdigheter og matematisk forståelse
gjennomfører logiske resonnementer
ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
vurderer om svar er rimelige
forklarer framgangsmåter og begrunner svar
skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger

Andre opplysninger:

Kilder for bilder, tegninger osv.

Vindstyrke: (http://www.vindportalen.no/, 5.07.2016)
Tegninger, grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (1 poeng) Nettkode: E-4AOP

En hustegning har målestokk $1 : 50$

På tegningen er en dør plassert $6 mm$ feil.

Hvor stor vil denne feilen bli i virkeligheten når huset bygges?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

Målestokk

Målestokken angir hva en måleenhet på for eksempel kartet svarer til i terrenget.

Eksempel:
Et kart har målestokken 1 : 25000 (leses: en til tjuefemtusen)

Dette betyr for eksempel at:

-	1 cm på kartet tilsvarer 25000 cm i terrenget (25000 cm = 250 m)
-	1 dm på kartet tilsvarer 25000 dm i terrenget
-	4 cm på kartet er 25000 · 4 cm i terrenget (25000 · 4 cm = 100000 cm = 1000m = 1 km).

Eller mer generelt:
1 bestemt måleenhet på kartet er 25000 slike måleenheter i terrenget.

Målestokken

sier oss hvor mange

Lengdeenhet

Måleenheten for lengde er meter med forkortelsen m. Andre lengdemål avledet av meter er: kilometer (km), desimeter (dm), centimeter (cm) og millimeter (mm).

lengdeenheter

én lengdeenhet på tegningen er i virkeligheten. I vårt tilfelle er

1 mm

lik

50 mm

Målestokken er $1 : 50$ . Derfor er 1 mm på tegningen lik $50$ mm i virkeligheten. På tegningen er døren plassert $6$ mm feil, og i virkeligheten er feilen $50 \cdot 6$ mm. Vi vet at $5 \cdot 6 = 30$ , og dermed er $10 \cdot 5 \cdot 6 = 50 \cdot 6 = 300$ , så døren er plassert $300$ mm feil. Det er det samme som $30$ cm.

Svar: $300$ mm eller $30$ cm.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Målestokk

Målestokken angir hva en måleenhet på for eksempel kartet svarer til i terrenget.

Eksempel:
Et kart har målestokken 1 : 25000 (leses: en til tjuefemtusen)

Dette betyr for eksempel at:

-	1 cm på kartet tilsvarer 25000 cm i terrenget (25000 cm = 250 m)
-	1 dm på kartet tilsvarer 25000 dm i terrenget
-	4 cm på kartet er 25000 · 4 cm i terrenget (25000 · 4 cm = 100000 cm = 1000m = 1 km).

Eller mer generelt:
1 bestemt måleenhet på kartet er 25000 slike måleenheter i terrenget.

målestokk

Lengdeenhet

Måleenheten for lengde er meter med forkortelsen m. Andre lengdemål avledet av meter er: kilometer (km), desimeter (dm), centimeter (cm) og millimeter (mm).

lengdeenhet

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Målestokk og Lengdeenheter.

For å øve mer, se oppgavesettet om målestokk i Treningsleieren.

Oppgave 2 (1 poeng) Nettkode: E-4AOR

I en tank er det 617 L olje. Du skal fylle oljen på kanner. I hver kanne er det plass til 15,3 L.

Gjør overslag og finn ut omtrent hvor mange kanner du trenger.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

Vi ser på

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

forholdet

mellom mengde olje og hvor mye det er plass til i hver kanne. Når vi

Divisjon

Divisjon er en regneart som er den omvendte operasjonen av multiplikasjon.

Eksempel: $6 : 2 = 3$ fordi $2 \cdot 3 = 6$ .

dividerer

, er det lurt å runde alt enten opp eller ned.

Vi kan runde $617$ L ned til $600 L$ . Vi runder $15, 3 L$ ned til $15 L$ . Vi skal se på forholdet mellom de to, og da kan vi runde mer jo høyere tallet er, så å runde av 17 i 617 og $0, 3$ i $15, 3$ virker ganske fornuftig. Antall kanner vi trenger er

$\frac{total mengde olje}{plass per kanne}$

I overslaget vårt trenger vi $\frac{600}{15}$ kanner. Dette kan vi regne ut for hånd, men det slipper vi hvis vi gjør noe lurt.

Vi vet at:

$2 \cdot 15 = 30$

$2 \cdot 30 = 60$ , og

$60 \cdot 10 = 600$ .

Dette betyr at vi kan skrive 600 som

$600 = 60 \cdot 10 = 30 \cdot 2 \cdot 10 = 15 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10,$

og da kan vi forkorte de to 15-tallene i brøken vår. Dermed trenger vi cirka

$\frac{15 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10}{15} = 2 \cdot 2 \cdot 10 = 40$ kanner.

Svar: Cirka 40 kanner.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Overslag

Brukes for å vite omtrent hvor mye noe vil koste eller hvor stort noe er. Overslag utføres ofte i hodet og tallene som inngår i regnestykket rundes av. Det finnes regler for avrunding, slik at forskjellen mellom nøyaktig svar og overslaget ikke blir for stort.

Fordi svaret ikke er nøyaktig, erstattes likhetstegnet med tegnet for tilnærmet lik $\approx$ .

Eksempel: $167 + 79 + 282 \approx 200 + 100 + 300 = 600$

overslag

Orakelet vårt gir deg en forklaring og eksempel på overslag i Overslag, avrunding og avbetaling. For flere eksempler og forklaringer på forholdsregning se artikkelen Målingsforhold i lynkurset Målestokk og forholdsregning.

Hvis du trenger å øve mer på overslag, finner du et oppgavesett om overslag i Treningsleir.

Oppgave 3 (3 poeng) Nettkode: E-4AOT

a)

Løs likningen

$\frac{(x + 4) \cdot 3}{2} = 9$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

På venstre side av likhetstegnet, ser vi et rotete uttrykket med $x$ . La oss først forenkle det før vi samler alt med $x$ på én side og uttrykk uten på den andre.

Venstresiden er rotete, så la oss få bort brøken. Husk at i en likning må vi gjøre det samme på begge sider av likhetstegnet. Vi multipliserer med $2$ :

$\frac{(x + 4) \cdot 3}{2} \cdot 2 = 9 \cdot 2$

Forkort $2$ på venstresiden og multipliserer ut på høyresiden:

$(x + 4) \cdot 3 = 18$

Løs opp parentesen (husk å multiplisere begge ledd i parantesen):

$3 x + 12 = 18$

Trekk $12$ fra begge sider av likhetstegnet:

$3 x + 12 - 12 = 18 - 12$

$3 x = 6$

For å få $x$ alene på venstresiden, divider med $3$ på begge sider av likhetstegnet:

$\frac{3 x}{3} = \frac{6}{3}$

$x = 2$

Svar: $x = 2$ .

Alternativ løsning:

Vi kunne multiplisert med 2 på begge sider av likhetstegnet, men vi velger i stedet å dividere på alt som multipliseres med $(x + 4)$ , nemlig $\frac{3}{2}$ . Å dividere med en brøk tilsvarer å multiplisere med den omvendte brøken.

$\begin{matrix} \frac{(x + 4) \cdot 3}{2} \cdot \frac{2}{3} = 9 \cdot \frac{2}{3} \\ x + 4 = \frac{9}{3} \cdot 2 \end{matrix}$ Vi vet at $\frac{9}{3} = 3$ , så høyre side over kan skrives som $3 \cdot 2 = 6$ . Vi vil ha $x$ alene igjen på venstre side, så vi subtraherer 4 fra begge sider. $\begin{matrix} x + 4 - 4 = 6 - 4 \\ x = 2 \end{matrix}$ Dermed kan vi konkludere med at $x = 2$ .

Svar: $x = 2$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om å løse

Lineære ligninger

Ligninger der alle de ukjente opptrer i første grad.

Eksempel: $2 x - 10 + x = x + 20$

lineære likninger

For forklaringer og eksempler se artikkelen Lineære likninger.

For å øve mer, se oppgavesettet om lineære likninger i Treningsleieren.

b)

Et trapes har et areal på 9 cm². Høyden i trapeset er 3 cm, og den ene av de parallelle sidene er 4 cm. Bestem lengden av den andre av de parallelle sidene.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Hva var igjen

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likningen

for

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

arealet

av et

Trapes

Firkant der to sider er parallelle.

Areal = $\frac{(a + b) h}{2}$

trapes

? Ja, den passer perfekt i likningen i forrige oppgave.

La oss først skrive ned aktuelle formler. Arealet $A$ til et trapes med parallelle sider $a$ og $b$ og høyde $h$ , er gitt ved $A = \frac{(a + b) \cdot h}{2} .$ I denne oppgaven er $A = 9 {cm}^{2}$ , $h = 3 cm$ og enten $a$ eller $b$ – vi velger $b$ – er lik $4 cm$ . Setter vi dette inn i likningen over uten betegnelsene, får vi $9 = \frac{(a + 4) \cdot 3}{2} .$ Vi ser at dette er helt den samme likningen vi fikk oppgitt i forrige oppgave, bare med $a$ i stedet for $x$ . Løsningsmetoden er også den samme, så da blir $a$ lik $2 cm$ .

Svar: $2 cm$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Trapes

Firkant der to sider er parallelle.

Areal = $\frac{(a + b) h}{2}$

areal

og en

Lineære ligninger

Ligninger der alle de ukjente opptrer i første grad.

Eksempel: $2 x - 10 + x = x + 20$

lineær likning

For eksempler og forklaringer om lineære likninger se artikkelen Lineære likninger. For eksempler og forklaringer om areal for et trapes, finner du i artikkelen Et trapes i lynkurset Geometri - areal og volum.

For å øve mer, se oppgavesettet om areal i Treningsleieren.

Visste du at:

Her så vi et eksempel på hvordan vi oversetter tekst til matematikk. Vi har et tekstproblem som vi oversetter til matematikk, og løser ved hjelp av matematiske metoder.

Oppgave 4 (1 poeng) Nettkode: E-4AOW

Det bor ca. $7, 2$ milliarder mennesker på jorda. $15 %$ har ikke tilgang til rent vann.

Omtrent hvor mange mennesker har ikke tilgang til rent vann?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

Vi kan gjøre om $15 %$ til

Prosentfaktor

En prosentfaktor er et prosenttall skrevet om til et desimaltall.

Eksempel: 32 % blir skrevet som 0,32 når det skal skrives som en prosentfaktor.

prosentfaktor

Multiplikasjon

Å multiplisere er det samme som gjentatt addisjon, ofte kalt "ganging".

Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.

Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i.

Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12

Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).

multiplisere

med antall mennesker.

Prosentfaktoren til $15 %$ er det samme som $15 : 100 = 0, 15$ . Da er det ca. $7, 2 milliarder \cdot 0, 15$ mennesker som ikke har tilgang på rent vann. Vi regner ut for hånd.

		$^{1}$
		7,	2	$\cdot$	0,	1	5	=	1,	0	8
	3	6	0
	7	2
0	0
1	0	8	0

Dermed er det ca. $1, 08$ milliarder mennesker som ikke har tilgang på rent vann.

Vi kan også gjøre dette i hodet. Husk at $15 % = 10 % + 5 %$ . Skal vi regne ut $10 %$ av noe, er det det samme som å multiplisere med $10$ og dividere med $100$ . Dette er jo det samme som å multiplisere med $0, 10$ . Dette betyr at vi i tallet vi multipliserer med, flytter kommaet én plass til høyre. Dermed er $10 %$ av $7, 2$ milliarder lik $0, 72$ milliarder. Videre er $5 %$ halvparten av dette, altså $\frac{0, 72}{2} = 0, 36$ milliarder. Dermed har vi at $15 %$ av $7, 2$ milliarder er $0, 72 + 0, 36 = 1, 08$ milliarder.

Svar: Ca. $1, 08$ milliarder mennesker.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

Prosentfaktor

En prosentfaktor er et prosenttall skrevet om til et desimaltall.

Eksempel: 32 % blir skrevet som 0,32 når det skal skrives som en prosentfaktor.

prosentfaktor

Multiplikasjon

multiplikasjon

Desimaltall

Desimaltall er tall som inneholder komma.

Eksempel: 2,34 og 18,001

Sifrene som følger etter komma, kalles desimaler.

desimaltall

For flere eksempler og forklaringer se lynkurset Prosent og artikkelen Multiplikasjon av desimaltall i lynkurset Tallregning - de fire regneartene.

For flere oppgaver, se oppgavesettene om multiplikasjon og prosentregning i Treningsleieren.

Visste du at

Prosent og prosentregning nevnes daglig i avisene, på nyheten og i debatter. Dette er et begrep som du vil støte opp i din private økonomi. Er en lønnsøkning på 5% bra nok for deg? Kan du betjene et lån med en rente på 7,5%? Kan du signere en treårs leiekontrakt hvis leien årlig øker med 15%?

Oppgave 5 (2 poeng) Nettkode: E-4AOY

Et år hadde Marit en nominell lønn på 600 000 kroner. Dette tilsvarte en reallønn på 500 000 kroner.

Bestem konsumprisindeksen dette året.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

Når

Konsumprisindeks

Konsumprisindeks (KPI) er en indeks som viser endringer i prisene på varer og tjenester som kjøpes av husholdninger, sammenlignet med et basisår. De varer og tjenester som utgjør det meste av husholdningsbudsjettet, tillegges størst vekt.

(hentet fra http://snl.no/konsumprisindeks)

konsumprisindeks

nevnes, er det viktig å huske hva det betyr. Husk at vi kan bruke formelen som viser sammenhengen mellom indeks, reallønn og

Nominell lønn

Nominell lønn er det vi vanligvis bare kaller lønn.

Om du slår opp i en ordbok finner du følgende om ordene nominell;

nominell
det er to måter å bruke ordet på
1 - som gjelder (bare) i navnet det er han som er lederen, iallfall nominelt
2 - pålydende obligasjonene har en nominell verdi på 1000 kr / nominell inntekt inntekt uttrykt i pengeverdien til enhver tid / nominell rente, til forskjell fra effektiv rente

nominell lønn

Vi har følgende sammenheng mellom konsumprisindeks, reallønn og nominell lønn: $\frac{reallønn}{100} = \frac{nominell lønn}{konsumprisindeks} .$ Vi vil finne konsumprisindeksen, og da kan uttrykket over tolkes som en likning der konsumprisindeksen er ukjent. Derfor lar vi $x$ betegne konsumprisindeksen videre; altså skal vi finne en verdi for $x$ som passer inn i likningen $\frac{reallønn}{100} = \frac{nominell lønn}{x} .$ Vi vet at Marit hadde nominell lønn på 600 000 kroner, som tilsvarte reallønn på 500 000 kroner. Vi fyller inn i likningen over, og får $\frac{500 000}{100} = \frac{600 000}{x} .$ Vi vil gjerne ha $x$ i telleren. Derfor kan vi multiplisere med $x$ begge sider av likningen. $\frac{500 000}{100} \cdot x = \frac{600 000}{x} \cdot x$ Forkort på høyresiden og multipliser begge sider med $100$ . Da har vi at

$500 000 x = 60 000 000$

Her kan vi forkorte (dividere med) $100 000$ begge sider slik at vi har

$5 x = 600$

Dette gir oss $x = \frac{600}{5}$ som er det samme som

$x = \frac{600}{5} = \frac{6 \cdot 100}{5} = \frac{6 \cdot 20 \cdot 5}{5} = 6 \cdot 20 = 120$

Nå har vi funnet ut at 120 er det eneste tallet for $x$ som passer inn i likningen vår; dermed var konsumprisindeksen 120 det året.

Svar: 120.

Mer om:

Oppgaven er om

Konsumprisindeks

(hentet fra http://snl.no/konsumprisindeks)

konsumprisindeks

I Ofte stilte spørsmål forklarer Orakelet hva konsumprisnindeks er.

Mer om konsumprisindeks er under utarbeidelse og kommer snart.

Oppgave 6 (2 poeng) Nettkode: E-4AP0

I ferdigblandet «Run Light» er forholdet mellom ren saft og vann $1 : 9$

Hvor mange liter ren saft går med dersom $500$ personer skal få $0, 2$ L ferdigblandet

«Run Light» hver?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

Først kan vi finne ut hvor mye saft vi skal ha totalt.

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Blandingsforholdet

sier at

\frac{1}{10}

av dette skal være ren saft.

Hvis 500 personer skal ha $0, 2 L$ ferdigblandet saft, så trenger vi totalt $500 L \cdot 0, 2 = 500 L \cdot \frac{1}{5} = 100 L$ ferdigblandet saft. Forholdet mellom ren saft og vann er $1 : 9$ . Det betyr at hvis vi har $1 + 9 = 10$ deler ferdigblannet saft, så er 1 del av disse ren saft, altså en tiendedel. For å få 100 L ferdigblandet saft, trenger vi altså $100 L \cdot \frac{1}{10} = 10 L$ ren saft.

Svar: $10 L$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

forholdsregning

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Målingsforhold.

For å øve mer, se tekstnøtten Saftblanderen.

Oppgave 7 (4 poeng) Nettkode: E-4AP3

Et blomsterbed har form som et parallellogram. Se skissen ovenfor.

a)

Vis ved regning at høyden $h$ i parallellogrammet er 2,0 m.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Parallellogram

Et parallellogram er en firkant med parvis parallelle sider. Vinklene er parvis like store.

parallellogrammer

er de parallelle sidene like lange. Dermed kan vi bruke

Pytagoras læresetning

Pytagoras læresetning sier at:

Arealet av kvadratet utspent av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene utspent av katetene.

Hvis lengden av katetene er a og b, og lengden av hypotenusen er c, har vi denne sammenhengen : $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Setningen kan brukes til å finne lengden til en side i en trekant.

Pytagoras setning

Vi ser at den stiplede linjen markert med $h$ er en

Katet

Side i en rettvinklet trekant. Den rette vinkelen dannes av to linjestykker som kalles kateter.

katet

i en

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklet trekant

, der den andre kateten har lengde

1, 5 m

Hypotenus

Den siden som er motstående til den rette vinkelen i en rettvinklet trekant. De andre to sidene kalles kateter.

Hypotenusen

i trekanten har samme lengde som sin parallelle motpart i parallellogrammet, altså

2, 5 m

. Vi illustrerer dette med en tegning.

Svar:

Vi vet at i en rettvinklet trekant med hypotenus $a$ og kateter $b$ og $c$ , så er $a^{2} = b^{2} + c^{2} .$ Dette er Pytagoras læresetning. I vårt tilfelle er $a = 2, 5 m$ , $b = 1, 5 m$ og $c = h$ . For å vise at $h = 2$ , trenger vi altså bare å løse likningen $2, 5^{2} = 1, 5^{2} + h^{2} .$ Vi regner ut for hånd at $2, 5^{2} = 6, 25$ og at $1, 5^{2} = 2, 25$ . Likningen blir $6, 25 = 2, 25 + h^{2} .$ Vi løser denne:

$\begin{matrix} 6, 25 & = & 2, 25 + h^{2} \\ 6, 25 - 2, 25 & = & h^{2} \\ 4 & = & h^{2} \end{matrix}$

Løsningen er $h = 2$ . Den negative løsningen $h = - 2$ kan ikke være lengden til siden i en trekant, så vi har vist at $h = 2$ .

Mer om:

Hvis du vil vite mer om geometri, se lynkurset Geometri - areal og volum.

Visste du at:

Pytagoras’ læresetning er et av de eldste matematiske resultatene vi vet om, og flere gamle sivilisasjoner har kommet fram til setningen uavhengige av hverandre. Setningen har blitt bevist på mange forskjellige måter; Euklid hadde en meget komplisert framgangsmåte, mens den amerikanske presidenten James Garfield beviste det ved å regne ut arealet av et spesielt trapes. Setningen kan også bevises ved hjelp av figuren under – klarer du det?

Et forslag står nederst i artikkelen Pytagoras' setning.

b)

Du skal legge et lag med 10 cm jord i hele blomsterbedet. Du kjøper jord i sekker. I hver sekk er det 35 L.

Hvor mange sekker trenger du?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Å fylle hele blomsterbedet med et lag på $10 cm$ med jord, tilsvarer å fylle

Prisme

Et prisme er en tredimensjonal figure satt sammen av parallelle, kongruente mangekanter (som topp og bunnflate) og med sideflater som alle er parallellogrammer.

Har et prisme grunnflate G og høyde h, er volumet lik G · h.

prismet

med

Parallellogram

Et parallellogram er en firkant med parvis parallelle sider. Vinklene er parvis like store.

parallellogrammet

som

Flate

I geometri kan en flate beskrives som overflaten til et objekt, for eksempel en terning. En terning har seks sider, det vil si at den har seks sideflater. En flate er en todimensjonal del av rommet. Arealet til en flate er et mål på flaten sin utstrekning.

grunnflate

og høyde

10 cm

. Dermed kan vi finne ut hvor mange sekker vi trenger ved å regne ut

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volumet

til dette prismet. Vi må også huske på at målene til prismet er gitt i meter, mens høyden til laget med jord er gitt i centimeter.

Volumet vi skal fylle med jord, er arealet til blomsterbedet multiplisert med høyden til jordlaget. Arealet til parallellogrammet er grunnlinjen multiplisert med $h$ , som vi vet er $2 m$ fra forrige oppgave. Grunnlinjen er $5 m$ lang, så arealet til parallellogrammet er $10 m^{2}$ . Vi skal multiplisere med høyden til jordlaget, som er $10 cm$ eller $0, 1 m$ . Vi ser at $10 m^{2} \cdot 0, 1 m = 1 m^{3}$ ; dermed trenger vi en kubikkmeter jord for å dekke hele bedet. En kubikkmeter er det samme som 1 000 liter. Siden hver jordsekk har $35 L$ jord, trenger vi $\frac{1000 L}{35 L}$ sekker jord. Vi dividerer for hånd.

	1	0	0	0	:	3	5	=	2	8 $,$	5	...
-		7	0
		3	0	0
-		2	8	0
			2	0	0
				$⋮$

Vi kunne regnet ut flere desimaler, men det eneste vi trenger å vite er at vi trenger mellom 28 og 29 sekker. Det betyr nemlig at vi må ha 29 sekker for å dekke behovet vårt.

Svar: 29 sekker.

Mer om:

Denne oppgven er om

Prisme

prisme

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volum

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Parallellogram

Et parallellogram er en firkant med parvis parallelle sider. Vinklene er parvis like store.

parallellogram

Divisjon

Divisjon er en regneart som er den omvendte operasjonen av multiplikasjon.

Eksempel: $6 : 2 = 3$ fordi $2 \cdot 3 = 6$ .

divisjon

Flere eksempler og forklaringer om areal og volum finner du i artiklene Et parallellogram og Et rett prisme i lynkurset Geometri - areal og volum. For flere eksempler og forklaringer om divisjon se artikkelen Divisjon i lynkurset Tallregning - de fire regneartene.

For å øve mer, se oppgavesettene divisjon og areal og volum i Treningsleieren.

Oppgave 8 (6 poeng) Nettkode: E-4AP6

På et treningssenter har de to ulike prisavtaler.

Avtale 1: Du betaler 160 kroner per måned. I tillegg betaler du 20 kroner hver gang du trener.

Avtale 2: Du betaler 400 kroner per måned. Da kan du trene så mye du vil.

Kari trener på treningssenteret. Hun har valgt avtale 1.

a)

I januar trente hun 8 ganger. I februar trente hun 14 ganger.

Hvor mye måtte hun betale for treningen hver av disse to månedene?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi må regne ut hvor mye alle øktene kostet i hver måned, og legge til månedsprisen.

I januar trente Kari 8 ganger, og siden hun valgte avtale 1 må hun betale 20 kroner for hver av disse gangene. Det blir totalt $8 \cdot 20 kr = 160 kr .$ I tillegg må hun betale månedsprisen på $160 kr$ , så i januar betalte Kari totalt $160 kr + 160 kr = 320 kr$ . Videre trente hun 14 ganger i februar, og da måtte hun betale $14 \cdot 20 kr + 160 kr = 280 kr + 160 kr = 440 kr$ .

Svar: Kari betalte $320 kr$ i januar og $440 kr$ i februar.

Mer om

Denne oppgaven er om tallregning.

For flere eksempler og forklaringer se lynkurset Tallregning - de fire regneartene.

For å øver mer, se oppgavesettet om de fire regneartene i Treningsleieren.

b)

Tegn en graf som viser sammenhengen mellom antall ganger Kari trener en måned, og prisen hun må betale denne måneden.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi kan finne funksjonsuttrykket for prisen, og tegne

Graf

En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

grafen

til denne

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjonen

Hvis $x$ er antall ganger Kari trener i løpet av en måned, så må hun betale $x \cdot 20 kr$ i tillegg til månedsprisen på $160 kr$ . La videre $y$ være den totale prisen i kroner i løpet av en måned. Da er $y = 20 x + 160 .$ Vi skal tegne grafen til denne funksjonen. Likningen er lineær, grafen er en rett linje; dermed holder det å finne to punkter på linjen for å tegne grafen. Hvis vi setter inn $x = 0$ i likningen, får vi $y = 160$ , så $(0, 160)$ er et punkt på linjen; hvis vi setter inn $x = 20$ så får vi $y = 20 \cdot 20 + 160 = 560$ , så $(20, 560)$ er et annet punkt på linjen.

Nå kan vi tegne grafen. Det første vi gjør er å lage koordinatsystemet. Vi er bare interesserte i positive $x$ -verdier, siden man ikke kan trene negative antall ganger. Vi lar $x$ -aksen gå fra 0 til 20, og $y$ -aksen gå fra 0 til 600. Vi husker å sette beskrivende navn på aksene.

Videre tegner vi inn de to punktene vi fant, altså $(0, 160)$ og $(20, 560)$ , og tegner en rett linje (med linjal) mellom dem. Dette er grafen vi er ute etter.

Svar:

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

Lineære ligninger

Ligninger der alle de ukjente opptrer i første grad.

Eksempel: $2 x - 10 + x = x + 20$

lineære likninger

Koordinatsystem

Et koordinatsystem i planet består av to akser, x-aksen og y-aksen. Aksene står vinkelrett på hverandre. x-aksen er horisontal og y-aksen er vertikal. Punktet der aksene krysser kalles for origo. Koordinatsystemet gir oss muligheten til å presentere punkter i planet i form av to tallverdier (x,y). Origo har koordinatene (0,0).

koordinatsystem

Graf

graf

For flere eksempler og forklaringer se Rette linjer (lineære funksjoner) og artikkelen Lineære likninger.

For å øve mer, se oppgavesettet om lineære funksjoner og grafisk fremstilling i Treningsleierene.

c)

Bruk grafen i oppgave b) til å bestemme hvor mye hun må trene for at det skal lønne seg med avtale 2.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Vi kan tegne inn den andre månedsprisen inn i

Koordinatsystem

koordinatsystemet

. Denne er bare en vannrett linje der

y = 400

. Der grafene møtes koster det like mye for avtale 1 og avtale 2.

Vi tegner inn linjen $y = 400$ i koordinatsystemet vårt.

For en gitt $x$ er det den grafen som er øverst som gir dyrest avtale. Vi ser at grafene krysser hverandre i $x = 12$ , så hvis man trener 12 ganger i måneden er det likegyldig hvilken avtale man velger. Hvis man derimot trener mer enn 12 ganger, er grafen til avtale 1 den øverste, og dermed er avtale 1 dyrest. Derfor lønner det seg å velge avtale 2 hvis man trener mer enn 12 ganger i måneden.

Svar: Kari må trene mer enn 12 ganger i måneden for at avtale 2 skal lønne seg.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Graf

graf

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Lineære ligninger

Ligninger der alle de ukjente opptrer i første grad.

Eksempel: $2 x - 10 + x = x + 20$

lineære likninger

Skjæringspunkt

Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.

skjæringspunkt

For flere eksempler og forklaringer se artiklene Grafisk løsning av likninger og Rette linjer (lineære funksjoner).

For å øve mer, se oppgavesettet om skjæringspunkt i Treningsleieren.

Visste du at:

Vi kunne løst oppgaven ved å løse likningen $160 + 20 x = 400$ . Den $x$ -verdien som passer inn her er skjæringspunktet mellom grafene, akkurat som vi fant grafisk over.

d)

La A være antall ganger du trener en måned. La P være prisen per trening.

For hver av avtalene 1 og 2 skal du avgjøre om A og P er

- proporsjonale størrelser
- omvendt proporsjonale størrelser

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker:

Vi må huske at hvis to størrelser er

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

proposjonale

, så er forholdet til tilsvarende størrelser lik. Hvis størrelsene er omvendt proposjonale, så er produktet av tilsvarende størrelser lik.

Vi tar avtale 1 først. Da er prisen $P$ per trening når vi trener $A$ ganger lik månedsprisen dividert med antall treninger, altså $P = \frac{160 + 20 \cdot A}{A},$ eller $P = \frac{120}{A} + 20 .$ Hvis $A = 1$ , er $P = \frac{120}{1} + 20 = 140$ , så $\frac{P}{A} = 140$ . For at størrelsene skulle vært proposjonale, må alle forhold $\frac{P}{A}$ være lik 140, uansett hva $A$ er. Setter vi derimot inn $A = 2$ , får vi $P = 60 + 20 = 80$ , og $\frac{P}{A} = \frac{80}{2} = 40 \neq 140,$ så størrelsene er ikke proposjonale. Vi kunne også konkludert med at størrelsene ikke er proposjonale ut i fra at likningen $P = \frac{120}{A} + 20$ ikke beskriver en rett linje.

For å undersøke om de er omvendt proposjonale, ser vi på produktet i stedet for forholdet, og vi ser at når $A = 1$ så er $A \cdot P = 140$ , og når $A = 2$ så er $A \cdot P = 2 \cdot 80 = 160 \neq 140,$ så størrelsene er heller ikke omvendt proposjonale.

Så tar vi avtale 2. Da har vi at $P = \frac{400}{A} .$ Dette er ikke ligningen til en rett linje, så størrelsene er ikke proposjonale. Videre ser vi at $A \cdot P = A \cdot \frac{400}{A} = 400 .$ Det betyr at produktet $A \cdot P$ er lik 400 uansett hva $A$ er, og dermed er størrelsene omvendt proposjonale.

Svar: I avtale 1 er størrelsene verken proposjonale eller omvendt proposjonale. I avtale 2 er størrelsene omvendt proposjonale.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

proporsjonale størrelser

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Proporsjonalitet.

For å øve mer, se oppgavesettet om proporsjonale funksjoner i Treningsleieren.

Visste du at

Hvis størrelsen $x$ skal være proposjonal med størrelsen $y$ , så må $\frac{y}{x} = a$ være konstant for alle samsvarende verdier av $x$ og $y$ . Hvis man plotter grafen til $y$ mot $x$ , så vil størrelsene være proposjonale hvis og bare hvis grafen er lineær og går gjennom origo (der $x = y = 0$ )! Dette er fordi hvis $x$ går mot 0, så må $y$ også gå mot 0 for å hindre at forholdet deres går mot uendelig.Hvis størrelsen $x$ skal være proposjonal med størrelsen $y$ , så må $\frac{y}{x} = a$ være konstant for alle samsvarende verdier av $x$ og $y$ . Hvis man plotter grafen til $y$ mot $x$ , så vil størrelsene være proposjonale hvis og bare hvis grafen er lineær og går gjennom origo (der $x = y = 0$ )! Dette er fordi hvis $x$ går mot 0, så må $y$ også gå mot 0 for å hindre at forholdet deres går mot uendelig.

Oppgave 9 (4 poeng) Nettkode: E-4APB

I en klasse er det ti jenter og åtte gutter. En dag har seks av jentene og tre av guttene gjort leksene.

a)

Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi lager en

Krysstabell

En krysstabell er en måte å framstille data på. Når tabellen er satt opp, er det enklere å finne den ønskede sannsynligheten.

krysstabell

; på radene har vi kjønn, og kolonnene har vi leksegjøringen. I hver rute skal vi skrive antall elever som passer både med både kolonnen og raden ruten er i.

Det første vi gjør er å sette opp en tom tabell. Den kan se slik ut. Vi kunne byttet om det som står i første kolonne med det som står i første rad. “Lekser”-kolonnen representerer de som har gjort lekser, og “Ikke lekser”-kolonnen representerer de som ikke har gjort lekser.

	Lekser	Ikke lekser	Sum
Jenter
Gutter
Sum

Det neste steget er å fylle ut informasjonen vi har fått direkte i teksten. Det første vi fører inn er at vi ser på totalt 10 jenter og 8 gutter. Dette skal vi skrive i “Sum”-kolonnen.

	Lekser	Ikke lekser	Sum
Jenter			10
Gutter			8
Sum

Videre står det at 6 av jentene har gjort leksene sine, og 3 av guttene. Dette fører vi opp i “Lekser”-kolonnen.

	Lekser	Sum
Jenter	6	10
Gutter	3	8
Sum

Nå har vi ført opp all informasjon i teksten, og vi er ment å regne ut de resterende rutene. Vi starter med den første raden, altså “Lekser”-raden. Der har vi én rute som ikke er fylt ut, nemlig den i “Sum”-raden. Her skal det totale antallet elever som har gjort lekser stå, altså summen av de øvrige tallene i kolonnen. Det blir $3 + 6 = 9$ . Tilsvarende skal det i kolonnen helt til høyre stå $10 + 8 = 18$ .

	Lekser	Sum
Jenter	6	10
Gutter	3	8
Sum	9	18

Til sist fyller vi inn “Ikke lekser”-kolonnen. Av totalt 10 jenter var det 6 som gjorde leksene sine, og det betyr at $10 - 6 = 4$ av jentene ikke gjorde lekser. Tilsvarende var det $8 - 3 = 5$ gutter som ikke gjorde lekser. Dermed var det totalt $4 + 5 = 9$ elever som ikke gjorde leksene den dagen.

	Lekser	Ikke lekser	Sum
Jenter	6	4	10
Gutter	3	5	8
Sum	9	9	18

Svar:

	Lekser	Ikke lekser	Sum
Jenter	6	4	10
Gutter	3	5	8
Sum	9	9	18

Mer om:

Denne oppgaven er om

Krysstabell

En krysstabell er en måte å framstille data på. Når tabellen er satt opp, er det enklere å finne den ønskede sannsynligheten.

krysstabeller

Data

Opplysninger som vi samler inn kalles data.

Data kan for eksempel være 3, 5, 10, 41 og 41, som er alderen i en familie bestående av fem personer. Data kan også være blå, grønn, gul, som er farger på biler.

data

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Gruppering av data i lynkurset Statistikk og artikkelen Venn-diagram og mengdelære i lynkurset Sannsynlighet (del II).

b)

Vi velger tilfeldig to elever som ikke har gjort leksene.

Bestem sannsynligheten for at de to elevene er én gutt og én jente.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Det er to måter å trekke én gutt og én jente på – enten trekker vi først en jente og deretter en gutt, eller motsatt. Vi kan bruke

Addisjonssetningen

Sannsynligheten for unionen av flere hendelser kan regnes ut ved å legge sammen sannsynlighetene for hver enkelt hendelse, og så trekke fra sannsynligheten for alle snitt av hendelsene.

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

addisjonssetningen

og summere

Sannsynlighet

Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.

Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.

Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.

Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.

sannsynligheten

for at hver av disse tingene skjer.

Fra tabellen vår i forrige oppgave, ser vi at det er 4 jenter og 5 gutter som ikke har gjort leksene sine; totalt er det 9. Trekker vi tilfeldig ut én av disse, er sannsynligheten for at vi har trukket en jente lik $\frac{4}{9}$ . I så fall er det 3 jenter og 5 gutter igjen og trekke fra, så neste gang vi trekker er sannsynligheten $\frac{5}{8}$ for at vi trekker en gutt. Dermed blir sannsynligheten for at vi først trekker en jente og deretter en gutt, lik $P (jente, så gutt) = \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{8} .$ Vi regner ut at $\frac{4}{9} \cdot \frac{5}{8} = \frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 8} = \frac{5}{9 \cdot 2} = \frac{5}{18}$ . På helt tilsvarende måte som over, regner vi ut at sannsynligheten for å først trekke en gutt og deretter en jente, er lik $P (jente, så gutt) = \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} .$ Dette produktet er lik $\frac{5}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{18}$ . (Dette er den samme sannsynligheten som før. Er det alltid slik? Se “Visste du at” hvis du vil vite mer.) Sannsynligheten for å trekke nøyaktig én gutt og én jente er summen av de to sannsynlighetene vi har funnet. Nå kan vi legge disse sammen. $P (én jente og én gutt) = \frac{5}{18} + \frac{5}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} .$

Svar: $\frac{5}{9}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

sannsynlighet

Addisjonssetningen

Sannsynligheten for unionen av flere hendelser kan regnes ut ved å legge sammen sannsynlighetene for hver enkelt hendelse, og så trekke fra sannsynligheten for alle snitt av hendelsene.

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

addisjonssetningen

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Addisjonssetningen i lynkurset Sannsynlighet.

For å øve mer, se oppgavesettet om addisjonssetningen i Treningsleieren.

Visste du at:

Sannsynlighetene for at vi først trakk en gutt og deretter en jente, og motsatt, var like. Dette er ikke tilfeldig! Det kommer av at faktorenes rekkefølge i et produkt er likegyldig. La oss si at vi har et utvalg av $N$ objekter (i tilfellet over er $N = 9$ ), hvorav $n$ er av én type (la oss for eksempel si at de er blå), og resten er av en annen (for eksempel at de er røde). Hvis vi trekker to tilfeldige objekter av de $N$ , så er sannsynligheten for at vi først trekker en blå og deretter en rød, lik $\frac{n}{N} \cdot \frac{N - n}{N - 1} .$ På den andre siden er sannsynligheten for at vi først trekker en rød og deretter en blå, lik $\frac{N - n}{N} \cdot \frac{n}{N - 1} = \frac{(N - n) \cdot n}{N \cdot (N - 1)} .$ Fordi faktorenes rekkefølge er likegyldig, altså $(N - n) \cdot n = n \cdot (N - n)$ , er brøken over lik $\frac{n \cdot (N - n)}{N \cdot (N - 1)} = \frac{n}{N} \cdot \frac{N - n}{N - 1} .$ Dette er nøyaktig den samme sannsynligheten som for at vi først trakk en blå og deretter en rød. Vi kan sette inn $N = 9$ og $n = 4$ for å få en tilsvarende situasjon som i oppgaven over.

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (5 poeng) Nettkode: E-4APE

I 1990 kostet 600 g kjøttdeig 31 kroner. I 2012 kostet 350 g kjøttdeig 24 kroner.

a)

Hvor mye kostet ett kilogram kjøttdeig i 1990?

Hvor mye kostet ett kilogram kjøttdeig i 2012?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi må passe på å gjøre gram om til kilogram. Hvis det kostet 31 kroner for 600 gram (eller $0, 6 kg$ ) kjøttdeig, kostet det $\frac{31}{0, 6}$ kroner per kilogram.

I 1990 kostet $600 g = 0, 6 kg$ kjøttdeig 31 kroner. Det gir en pris på $\frac{31 kr}{0, 6 kg} \approx 51, 67 kr / kg,$ altså $51, 67 kr$ per kilogram. I 2012 kostet $350 g = 0, 35 kg$ kjøttdeig $24 kr$ , og vi regner ut prisen per kilogram på akkurat samme måte: $\frac{24 kr}{0, 35 kg} \approx 68, 57 kr / kg .$

Svar: I 1990 var kilosprisen cirka $51, 67 kr$ , og i 2012 var den cirka $68, 57 kr$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om tallregning.

For flere eksempler og forklaringer se lynkurset Tallregning - de fire regneartene.

For å øve mer, se oppgavesettet om de fire regneartene i Treningsleieren.

b)

Hvor mange prosent økte prisen per kilogram fra 1990 til 2012?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi må finne ut hvor mange

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

prisen i 2012 er av prisen i 1990.

Prisen i 2012 er $\frac{68, 57 kr}{51, 67 kr} \approx 1, 327 = 132, 7 %$ av det prisen i 1990 var. Det er en økning på cirka $32, 7 %$ .

Vi kunne også regnet ut dette ved å se på hvor stor endringen i prisen var, og hvor stor andel av prisen i 1990 dette er. Endringen i pris er cirka $68, 57 kr - 51, 67 kr = 16, 9 kr .$ Vi dividerer med prisen i 1990 for å finne ut hvor mange prosent dette er, og får $prisøkning = \frac{16, 9 kr}{51, 67 kr} \approx 32, 7 % .$

Svar: Cirka $32, 7 %$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Regneregler i lynkurset Prosent.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

c)

I 1990 var konsumprisindeksen 83,7.

I 2012 var konsumprisindeksen 131,4.

Hva ville ett kilogram kjøttdeig ha kostet i 2012 dersom prisutviklingen hadde fulgt konsumprisindeksen fra 1990 til 2012?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Denne oppgaven handler om

Konsumprisindeks

(hentet fra http://snl.no/konsumprisindeks)

konsumprisindeksen

, og da skal vi nok bruke formelen som viser sammenhengen mellom indeks og verdi.

Vi har følgende sammenheng mellom konsumprisindeksen og pris, gitt at prisen endrer seg etter konsumprisindeksen. $\frac{pris i 1990}{indeks i 1990} = \frac{pris i 2012}{indeks i 2012} .$ Vi skal nå la prisen i 2012 være ukjent, og fylle inn prisen i 1990 og indeksene i 1990 og 2012. Konsumprisindeksen var henholdsvis $83, 7$ og $131, 4$ . Prisen regnet vi ut i forrige oppgave. Vi setter inn og får $\frac{51, 67 kr}{83, 7} = \frac{pris i 2012}{131, 4} .$ Prisen i 2012 er altså ukjent; vi kunne like gjerne latt $x$ betegne prisen i 2012 og løst ligningen $\frac{51, 67 kr}{83, 7} = \frac{x}{131, 4} .$ Vi vil ha $x$ alene på én side av likhetstegnet, så vi multipliserer med $131, 4$ på hver side, og får $x = \frac{51, 67 kr}{83, 7} \cdot 131, 4 \approx 81, 12 kr .$ Dermed ville kilosprisen på kjøttdeig vært over 10 kroner høyere dersom prisen hadde fulgt konsumprisindeksen.

Svar: Cirka $81, 1 kr$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Konsumprisindeks

(hentet fra http://snl.no/konsumprisindeks)

konsumprisindeksen

I Ofte stilte spørsmål har Orakelet svar på hva konsumprisindeks er.

Mer om konsumprisindeks og utregning av denne kommer snart.

Oppgave 2 (4 poeng) Nettkode: E-4API

I en skål er det åtte hvite og seks røde kuler. Du skal trekke tre kuler tilfeldig.

a)

Systematiser de ulike utfallene i et valgtre.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi lager et

Valgtre

Gir oss oversikt over alle mulige kombinasjoner av utfall for en gitt hendelse.

Valgtre er det samme som utfallstre.

valgtre

Sannsynlighet

Sannsynligheten

for at vi trekker, la oss si, en rød kule, er lik andelen røde kuler i skålen. Vi skal ha tre valg, så vi må passe på å lage god nok plass.

Vi skal trekke tre tilfeldige kuler fra skålen, og starter med det første valget. I skålen er det 8 hvite og 6 røde kuler, og da er det totalt $8 + 6 = 14$ kuler i skålen. Sannsynligheten for å trekke hvit og rød blir henholdsvis $\frac{8}{14}$ og $\frac{6}{14}$ . Vi kunne forkortet disse brøkene til $\frac{4}{7}$ og $\frac{3}{7}$ , men vi velger å la det stå uforkortet for å kunne se det store bildet til slutt.

Neste gang vi trekker, er det bare 13 kuler igjen i skålen. Hvis vi trakk en hvit kule først, er vi på den øverste kanten i valgtreet over, og da er det 7 hvite og 6 røde kuler igjen. Dermed blir sannsynligheten for å trekke hvit og rød henholdsvis $\frac{7}{13}$ og $\frac{6}{13}$ . Hvis den første kulen vi trakk var rød, hadde sannsynlighetene vært $\frac{8}{13}$ og $\frac{5}{13}$ .

Når vi har trukket to kuler er det bare 12 kuler igjen i skålen. I hver av endepunktene i treet over må vi finne ut hvor mange røde og hvite kuler det er igjen. Ta for eksempel den øverste grenen av treet, der vi har trukket to hvite kuler. Da er det 6 hvite og 6 røde kuler igjen, og sannsynligheten for å trekke disse blir henholdsvis $\frac{6}{12}$ og $\frac{6}{12}$ . Vi gjør det samme for de andre valgene. Etter det er vi ferdige. Svaret er under.

Svar:

Mer om:

Denne oppgaven er om

Valgtre

Gir oss oversikt over alle mulige kombinasjoner av utfall for en gitt hendelse.

Valgtre er det samme som utfallstre.

valgtre

Sannsynlighet

sannsynlighet

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Utfallstre i lynkurset Sannsynlighet (del I).

For å øve mer, se oppgavesettet om utfallsrom i Treningsleieren.

b)

Bestem sannsynligheten for at du trekker to hvite og én rød kule. Marker hvordan du finner løsningen i valgtreet i oppgave a).

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi kan bruke

Valgtre

Gir oss oversikt over alle mulige kombinasjoner av utfall for en gitt hendelse.

Valgtre er det samme som utfallstre.

valgtreet

vårt. Vi må finne alle måtene vi kan trekke ut to hvite og én rød på.

Hvert valg i valgtreet representerer en farge på kulene. I valgtreet under har vi skrevet ned hvilke kuler man står igjen med til slutt i hver av sluttvalgene; H betyr en hvit kule og R betyr en rød.

Vi har markert (i rødt) de tre valgene som gir to hvite og én rød kule, nemlig HHR, HRH og RHH. Vi må regne ut sannsynligheten for at hver av disse skjer, og summere opp for å finne den totale sannsynligheten. Valgtreet er satt opp slik at det er lett å finne sannsynligheten for sluttresultatene – bare velg et sluttresultat, og multipliser sannsynlighetene for at nøyaktig disse valgene skulle bli tatt. Vi tar før eksempel sannsynligheten for HHR, altså først trekke to hvite og deretter en rød. Sannsynligheten for å først trekke hvit er $\frac{8}{14}$ , og sannsynligheten for å trekke hvit igjen er i så fall $\frac{7}{13}$ . Til slutt er sansynligheten for å trekke en rød lik $\frac{6}{12}$ , og dermed er sannsynlighetene for at alle disse tre tingene inntreffer, lik $P (HHR) = \frac{8}{14} \cdot \frac{7}{13} \cdot \frac{6}{12} = \frac{2}{13} .$ Tilsvarende er sannsynlighetene for å trekke HRH og RHH henholdsvis $\begin{matrix} P (HRH) & = \frac{8}{14} \cdot \frac{6}{13} \cdot \frac{7}{12} = \frac{2}{13} og \\ P (HHR) & = \frac{6}{14} \cdot \frac{8}{13} \cdot \frac{7}{12} = \frac{2}{13} . \end{matrix}$ Vi summerer opp, og finner at sannsynligheten for å trekke to hvite og én rød kule er $\frac{2}{13} + \frac{2}{13} + \frac{2}{13} = \frac{6}{13} .$

Svar: $\frac{6}{13}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Valgtre

Gir oss oversikt over alle mulige kombinasjoner av utfall for en gitt hendelse.

Valgtre er det samme som utfallstre.

Valgtre (utfallstre)

Sannsynlighet

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Utfallstre i lynkurset Sannsynlighet (del I).

For å øve mer, se oppgavesettet om utfallsrom i Treningsleieren.

Visste du at:

Igjen var det lik sannsynlighet for alle de forskjellige mulighetene å trekke ut to hvite og én rød kule på. Dette er fremdeles fordi faktorenes rekkefølge er likegyldig, akkurat som i oppgave 9 b) i Del 1.

Oppgave 3 (7 poeng) Nettkode: E-4APM

Vi bruker funksjonen $f$ gitt ved

$f (x) = - 0, 002 x^{3} + 0, 06 x^{2} - 0, 2 x + 2, 0 \leq x \leq 24$

som en modell for vindstyrken $f (x)$ m/s ved en målestasjon $x$ timer etter midnatt 18. mai 2014.

a)

Tegn grafen til $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi bruker

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

for å tegn en

Graf

graf

Vi skal tegne grafen til en funksjon på et gitt intervall (intervallet fra og med 0 til og med 24). Da bruker vi følgende funksjon i Geogebra.

Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]

Vi skriver derfor det følgende i “Skriv inn”-boksen.

Funksjon[-0.002x^3 + 0.06x^2 - 0.2x + 2, 0, 24]

Det er lurt å stille inn Geogebra til å vise tre desimaler for å se det fulle funksjonsuttrykket i algebrafeltet. Det gjør vi ved å gå på Avrunding i Instillinger-menyen og velge “3 desimaler”. Resultatet ser vi under. Vi må også dra aksene slik at vi ser hele grafen. Vi må også huske på å sette inn beskrivende navn på aksene. Resultatet er vist under.

Svar:

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Graf

graf

For flere forklaringer om grafer og funksjoner se lynkursene Funksjoner (del I) og Funksjoner (del II).

Lynkurset om GeoGebra er under utarbeidelse og kommer snart.

b)

Hva var vindstyrken klokken 09.45 ifølge modellen?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

Funksjonen

f

tar inn antall timer etter midnatt, og gir ut igjen hvor høy vindstyrken var ved dette tidspunktet. Derfor må vi finne ut hvor mange timer etter midnatt 09.45 er, og sette inn det vi får i formelen vår. Pass på; 09.45 er ikke

9, 45

timer etter midnatt!

Vi vet at 09.00 er ni timer etter midnatt. Tre kvarter er dessuten tre fjerdedeler av en time, så 09.45 må være $9 + \frac{3}{4} = 9, 75$ timer etter midnatt. Vindstyrken klokken 09.45 er derfor gitt ved $f (9, 75)$ . Dette kan vi regne ut med kalkulator ved å se at

$f (9, 75) =$

$- 0, 002 \cdot 9, 75^{3} + 0, 06 \cdot 9, 75^{2} - 0, 2 \cdot 9, 75 + 2 = 3, 9,$

men vi har allerede laget funksjonen $f$ i Geogebra, og alt vi trenger å gjøre er å skrive

f(9.75)

i “Skriv inn”-feltet, og vi får at svaret er lik $3, 9 m/s$ .

Svar: $3, 9 m/s$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

Funksjon

Graf

For flere forklaringer om grafer og funksjoner se lynkursene Funksjoner (del I) og Funksjoner (del II).

Lynkurset om GeoGebra er under utarbeidelse og kommer snart.

c)

Når var vindstyrken minst, og når var den størst, ifølge modellen?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Vindstyrken er størst og minst der

Graf

grafen

har henholdsvis

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkt

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er mindre enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

bunnpunkt

. Dette er

Ekstremalpunkter

Ekstremalpunkter er en samlebetegnelse på topp- og bunnpunkter.

ekstremalpunkter

, og i

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

kan vi lett finne ekstremalpunkter.

For å finne ekstremalpunktene i Geogebra, bruker vi Ekstremalpunkt-funksjonen. Vi skriver følgende i “Skriv inn”-feltet.

Ekstremalpunkt[f]

Resultatet er vist under.

Nå har vi fått koordinatene til ekstremalpunktene. Bunnpunktet er $(1.835, 1.823)$ og toppunktet er $(18.165, 6.177)$ . Vi ser på grafen at disse punktene har henholdsvis minst og størst $y$ -koordinat av alle punktene på grafen. Det betyr at $1, 835$ timer etter midnatt var vindstyrken lavest, og $18, 165$ timer etter midnatt var den høyest. Vi vil gjerne konvertere dette om til klokkeslett. Vi har at $0, 835 t \cdot 60 min/t \approx 50 min$ og $0, 165 t \cdot 60 min/t \approx 10 min,$ så $1, 835$ timer etter midnatt er klokken cirka 01.50 og $18, 165$ timer etter midnatt var klokken cirka 18.10.

Svar: Vindstyrken var lavest kl. 01.50 ( $1, 835$ timer etter midnatt), og den var høyest kl. 18.10 ( $18, 165$ timer etter midnatt).

Mer om:

Denne oppgaven er om

Graf

grafen

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkt

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er mindre enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

bunnpunkt

Ekstremalpunkter

Ekstremalpunkter er en samlebetegnelse på topp- og bunnpunkter.

ekstremalpunkter

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Topp- og bunnpunkt i lynkurset Funksjonsdrøfting. For mer om funksjoner og deres grafer se lynkurset Funksjoner (del II).

For å øve mer, se oppgavesettet om ekstremalpunkter i Treningsleieren.

d)

Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom vindstyrke og betegnelse.

I hvilke tidsrom i løpet av dette døgnet var det lett bris ifølge modellen?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker:

Lett bris er når vindstyrken er mellom $3, 4 m/s$ og $5, 4 m/s$ , og vi må finne ut når vindstyrken var mellom disse to. Dette kan vi gjøre grafisk i

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

Vi lager to nye linjer der $y = 3, 4$ og $y = 5, 4$ i Geogebra-filen vår. Det gjør vi ved å skrive

y = 3.4

y = 5.4

i “Skriv inn”-boksen. Der grafen til $f$ er mellom disse to linjene, er det lett bris. Vi finner alle skjæringspunktene til $f$ og de to linjene ved å klikke på dem. Resultatet er vist under.

Skjæringspunktene er $(8.483, 3.4)$ , $(13.767, 5.4)$ og $(21.877, 5.4)$ . Vi ser at grafen til $f$ er mellom linjene hvis vi ser på $x$ -verdier mellom de to første skjæringspunktene, og hvis vi ser på $x$ -verdier etter det siste skjæringspunktet. Det betyr at vi har lett bris når $8, 483 \leq x \leq 13, 767$ og når $x > 21, 877$ . Vi konverterer dette til klokkeslett som i forrige oppgave, og får at det er lett bris mellom 08.29 og 13.46, og fra 21.53 til midnatt. Under ser vi området med lett bris markert i blått på $x$ -aksen.

Svar: Det er lett bris mellom 08.29 og 13.46 ( $8, 483 \leq x \leq 13, 767$ ) og etter 21.53 $(x \geq 21, 877)$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Graf

graf

Skjæringspunkt

skjæringspunkt

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Grafisk løsning av likninger og for mer om funksjoner og deres grafer se lynkurset Funksjonsdrøfting.

For å øve mer, se oppgavesettet om skjæringspunkt i Treningsleieren.

Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4APS

Når du skal arbeide i stige, er det viktig at du setter stigen slik at den står stødig.

Hans og Grete bruker « 4 : 11 -regelen» når de setter opp stiger.

4 : 11 -regelen

Forholdet mellom hvor langt fra veggen en stige står (AB), og hvor høyt opp på veggen stigen når (AC), skal være 4 : 11 .

Se skissen over.

a)

Hans setter opp en stige slik at den står 80 cm fra en vegg.

Hvor høyt opp på veggen vil stigen nå?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi bruker 4:11-regelen. Det vil si at hvis stigen er 4

Lengdeenhet

Måleenheten for lengde er meter med forkortelsen m. Andre lengdemål avledet av meter er: kilometer (km), desimeter (dm), centimeter (cm) og millimeter (mm).

lengdeenheter

fra veggen, så skal den være 11 lengdeenheter opp på veggen.

Stigen står $80 cm$ fra en vegg. Hvis vi sier at dette er 4 lengdeenheter, så må 1 lengdeenhet være $\frac{80 cm}{4} = 20 cm$ . Vi skal ha stigen 11 slike lengdeenheter opp på veggen. Vi multipliserer opp og får $20 cm \cdot 11 = 220 cm .$ Vi kan sjekke svaret vårt ved å se på forholdet mellom avstanden fra veggen og hvor høyt stigen står: $\frac{80 cm}{220 cm} = \frac{4}{11} .$ Det er det riktige forholdet vi skal ha.

Svar: $220 cm$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

forhold

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

For flere eksempler og forklaringer om forholdsregning se artikkelen Målingsforhold og for brøkregning se lynkurset Brøk.

b)

Grete har en stige på 5 m.

Hvor langt opp på veggen vil stigen nå?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi kan bruke

Pytagoras læresetning

for å finne et uttrykk for sidene. Vi må la

Katet

Side i en rettvinklet trekant. Den rette vinkelen dannes av to linjestykker som kalles kateter.

katetene

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekanten

som dannes av stigen, bakken og veggen være ukjente.

Stigen utgjør hypotenusen i den rettvinklede trekanten definert av stigen, bakken og veggen. Vi vet foreløpig ikke hvor lange katetene er, men vi vet at lengden skal stå i forholdet $4 : 11$ til høyden. Det betyr at hvis stigen er $4 x$ meter fra veggen, for et eller annet tall $x$ , så er stigen $11 x$ meter opp på veggen. Dette kan vi sette opp som i den følgende figuren. Lengdene er i meter, men vi unnlater å skrive det for enkelhetens skyld.

Pytagoras læresetning sier oss at i en rettvinklet trekant med hypotenus $a$ og kateter $b$ og $c$ , så er $a^{2} = b^{2} + c^{2} .$ I vårt tilfelle er $a = 5$ , $b = 4 x$ og $c = 11 x$ . Vi setter dette inn i ligningen over, og får $5^{2} = (4 x)^{2} + (11 x)^{2},$ eller $25 = 16 x^{2} + 121 x^{2} .$ Vi kan trekke sammen høyre side. $25 = 137 x^{2} .$ Stigen står $11 x$ meter opp på veggen, så hvis vi kan finne et tall $x$ som passer inn i denne ligningen, så kan vi multiplisere med 11 og vi har løst oppgaven. Altså må vi løse ligningen over. Vi vil ha $x^{2}$ alene på en side, så vi dividerer med 137 på begge sider. Da får vi $x^{2} = \frac{25}{137} .$ Så tar vi kvadratroten av begge sider, og får at $x = \sqrt{\frac{25}{137}} \approx 0, 43 .$ Dermed vil Gretes stige nå cirka $11 \cdot 0, 43 m = 4, 73 m$ opp på veggen.

Vi kunne også ha brukt formlikhet til å løse oppgaven. Vi må observere at trekanten som stigen til Grete danner, er formlik med trekanten som Hans’ stige danner. Lengden til Hans’ stige er $\sqrt{(2, 2 m)^{2} + (0, 8 m)^{2}} \approx 2, 34 m$ . La $h$ være høyden Gretes stige når. Siden forholdene mellom tilsvarende sider i formlike trekanter er konstant, så vil $\frac{h}{2, 2} = \frac{5}{2, 34},$ og dermed er $h = \frac{5}{2, 34} \cdot 2, 2 \approx 4, 7,$ akkurat som før.

Svar: Cirka $4, 73 m$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Pytagoras læresetning

Katet

Side i en rettvinklet trekant. Den rette vinkelen dannes av to linjestykker som kalles kateter.

katetene

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekanten

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Pytagoras læresetning i lynkurset Geometri - areal og volum. Hvis du vil vite mer om likninger se lynkurset Likninger med én ukjent.

For å øve mer, se oppgavesettet om Pytagoras læresetning i Treningsleieren.

Oppgave 5 (5 poeng) Nettkode: E-4APV

Prisen på en vare er satt opp 10 % fem ganger. Opprinnelig kostet varen 246 kroner.

a)

Hvor mye koster varen nå?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Det kan være fristene å tenke at varen er satt opp $5 \cdot 10 % = 50 %$ , slik at svaret er $246 kr \cdot 1, 5$ , men dette er ikke riktig. Det er fordi $10 %$ av den opprinnelige prisen er lavere enn $10 %$ av en oppsatt pris.

Hver gang varen er satt opp $10 %$ , så er den nye prisen $110 %$ av den gamle. For å finne ut hva $110 %$ av noe er, multipliserer vi med vekstfaktoren $1, 1$ . Etter varen er satt opp $10 %$ én gang, vil prisen være $246 kr \cdot 1, 1 = 270, 6 kr .$ Varen skal settes opp 5 ganger, og det tilsvarer å multiplisere med vekstfaktoren 5 ganger. Dermed blir sluttprisen på varen lik $246 kr \cdot 1, 1 \cdot 1, 1 \cdot 1, 1 \cdot 1, 1 \cdot 1, 1 = 246 kr \cdot 1, 1^{5} \approx 396 kr .$

Svar: Cirka $396 kr$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Prosent av hva da? i lynkurset Prosent.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

b)

Hvor mange prosent er prisen totalt satt opp?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Nå skal vi finne hvor mange

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

den nye prisen er av den gamle.

Den nye prisen på varen er cirka $396 kr$ , eller nøyaktig $246 kr \cdot 1, 1^{5}$ , mens den opprinnelige prisen var på $246 kr$ . Det er en økning på $\frac{246 kr \cdot 1, 1^{5}}{246 kr} = 1, 1^{5} \approx 1, 61 = 161 % .$ Her regner vi i prosent av den opprinnelige prisen, og hvis en vare har gått fra til å koste $100 %$ til $161 %$ , så har prisen økt med $61 %$ .

Svar: Cirka $61 %$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

Prosent

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Regneregler i lynkurset Prosent.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

c)

Prisen på en annen vare er også satt opp 10 % fem ganger. Nå koster varen 550 kroner.

Hva kostet denne varen opprinnelig?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Vi kan bruke den samme metoden som i de to foregående oppgavene, bare andre veien.

La $x$ være antall kroner varen opprinnelig kostet. Varen ble satt opp $10 %$ fem ganger, så akkurat som i a) vil den nye prisen være $x \cdot 1, 1^{5}$ . På den andre siden vet vi allerede at varen koster $550 kr$ , og det betyr at $x \cdot 1, 1^{5} = 550 .$ Nå har vi funnet en ligning der varens opprinnelige pris er den ukjente. Løser vi ligningen, finner vi den opprinnelige prisen. Vi vil ha $x$ alene på én side av likhetstegnet, så vi dividerer med $1, 1^{5}$ på begge sider av likhetstegnet, og får $\begin{matrix} \frac{x \cdot 1, 1^{5}}{1, 1^{5}} = \frac{550}{1, 1^{5}}, \\ x = \frac{550}{1, 1^{5}} . \end{matrix}$ Dermed er $x = \frac{550}{1, 1^{5}} \approx 341, 51$ , så varens opprinnelige pris var cirka $342 kr$ .

Svar: Cirka $342 kr$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

Prosent

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Regneregler i lynkurset Prosent. Hvis du vil vite mer om likninger og hvordan man løser dem, se artikklen Lineære likninger i lynkurset Likninger med én ukjent.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

Oppgave 6 (5 poeng) Nettkode: E-4AQ0

Ellinor er student. Hun arbeider ved siden av studiene.

I 2013 arbeidet hun 346 timer. Hun hadde en timelønn på 135 kroner.

Ellinor hadde frikort i 2013. Beløpsgrensen uten skattetrekk var 39 950 kroner. Hun leverte ikke nytt skattekort til arbeidsgiveren da fribeløpet var brukt opp, og det ble derfor trukket 50 % skatt av inntekten som oversteg fribeløpet.

a)

Hvor mye betalte Ellinor i skatt i 2013?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Ellinor må betale $50 %$

Skatt

Skatt er en avgift som stat og kommune pålegger den enkelte borger å betale.

skatt

av den lønnen som overgår fribeløpet.

Ellinor arbeidet i 346 timer med timeslønn på $135 kr$ . Før skatt gir dette en lønn på $346 timer \cdot 135 kr / time = 46 710 kr .$ Fribeløpet, altså beløpet Ellinor kan tjene uten å betale skatt, var $39 950 kr$ . Derfor trenger hun bare å betale skatt av de resterende pengene, altså $46 710 kr - 39 950 kr = 6 760 kr .$ Siden Ellinor ikke leverte skattekort etter fribeløpet var brukt opp, må hun betale $50 %$ skatt av dette. Det blir $6 760 kr \cdot 50 % = 3 380 kr,$ så hun betalte $3 380 kr$ i skatt.

Svar: Ellinor betalte $3 380 kr$ i skatt.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

Skatt

Skatt er en avgift som stat og kommune pålegger den enkelte borger å betale.

skatt

For flere eksempler og forklaringer se lynkurset Prosent. Lynkurset om lønnsutregning er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

b)

Nedenfor ser du hvor mye Ellinor fikk utbetalt fra Lånekassen i 2013, og hvilke utgifter hun hadde.

Sett opp en oversikt som viser Ellinors totale inntekter og utgifter i 2013.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Her er det lurt å sette opp en tabell, for eksempel i Excel.

Vi velger å sette opp oversikten i form av en tabell. Den første tabellen viser inntekter. Ellinor mottar penger fra Lånekassen, og lønn. Vi setter opp tabellen vi skal fylle ut.

Inntekter
Studielån
Lønn
sum

Først regner vi ut studielånet hennes. I august og januar mottar Ellinor $18 880 kr$ , og i åtte andre måneder mottar hun $7 080 kr$ . Det er totalt $18 880 kr \cdot 2 + 7 080 kr \cdot 8 = 94 400 kr .$ Deretter regner vi ut lønnen. Ellinor tjente brutto $46 710 kr$ , og skatten var på $3 380 kr$ . Netto lønn er derfor $46 710 kr - 3 380 kr = 43 330 kr .$ Total inntekt er dermed $94 400 kr + 43 330 kr = 137 730 kr$ . Dette fyller vi inn i tabellen vår.

Inntekter
Studielån	$94 400 kr$
Lønn	$43 330 kr$
sum	$137 730 kr$

Videre setter vi opp oversikten for utgifter. Vi må huske på å legge til reiseutgiftene på $10 000 kr$ .

Utgifter
Hybel
Mat og drikke
Klær og sko
Reise
Andre utgifter
Sum

Utgiftene som er like hver måned, kan vi multiplisere opp med 12 for å finne årsutgiften. Reiseutgiftene er på $10 000 kr$ totalt.

Utgifter
Hybel	$48 000 kr$
Mat og drikke	$36 000 kr$
Klær og sko	$14 400 kr$
Reise	$10 000 kr$
Andre utgifter	$25 200 kr$
Sum	$133 600 kr$

Til slutt setter vi opp en oversikt over den totale balansen i 2013. Inntektene var på $137 730 kr$ og utgiftene på $133 600 kr$ , og det gir $137 730 kr - 133 600 kr = 4 130 kr$ i overskudd.

Totalt
Inntekter	$137 730 kr$
Utgifter	$133 600 kr$
Overskudd	$4 130 kr$

Vi kan også gjøre alle beregningene i et regneark. Et forslag er vist under.

Svar:

Inntekter
Studielån	$94 400 kr$
Lønn	$43 330 kr$
sum	$137 730 kr$

Utgifter
Hybel	$48 000 kr$
Mat og drikke	$36 000 kr$
Klær og sko	$14 400 kr$
Reise	$10 000 kr$
Andre utgifter	$25 200 kr$
Sum	$133 600 kr$

Totalt
Inntekter	$137 730 kr$
Utgifter	$133600 kr$
Overskudd	$4 130 kr$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Budsjett

Budsjett er en oppstilling over forventede inntekter og utgifter over en bestemt periode.

budsjett

Lynkurs om budsjett er under utarbeidelse og kommer snart.

Oppgave 7 (6 poeng) Nettkode: E-4AQ4

Eva lager blomsterpotter. Blomsterpottene har form som sylindre. Eva følger denne regelen når hun lager pottene:

«Summen av omkretsen og høyden skal være 50 cm.»

Eva vil lage en blomsterpotte som er 15 cm høy.

a)

Bestem volumet av denne blomsterpotten dersom Eva følger regelen ovenfor.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Ved hjelp av regelen kan vi finne

Omkrets

Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.

Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.

omkretsen

til blomsterpotten, og da kan vi regne ut

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volumet

Høyden til blomsterpotten addert med omkretsen skal være $50 cm$ , og siden høyden er $15 cm$ må omkretsen være $50 cm - 15 cm = 35 cm .$

Volumet $V$ til en sylinder med høyde $h$ og radius $r$ , er gitt ved $V = π r^{2} \cdot h$ . Vi vet allerede at høyden $h$ er lik $15 cm$ , og vi vil finne $r$ . Vi vet foreløpig ikke hva $r$ er, men vi vet at bunnen i blomsterpotten danner en sirkel med omkrets $35 cm$ . Videre vet vi at omkretsen til en sirkel med radius $r$ er gitt ved $2 π r$ . Dermed har vi at $35 cm = 2 π r .$ Radien $r$ finner vi altså ved å løse ligningen over; det vil si å finne et tall for $r$ som passer inn i ligningen. Vi vil ha $r$ alene på én side av likhetstegnet, så vi dividerer med $2 π$ på begge sider, og får $\begin{matrix} \frac{35 cm}{2 π} = \frac{2 π r}{2 π}, \\ r = \frac{35 cm}{2 π} . \end{matrix}$ Vi taster inn på kalkulatoren og får at $r \approx 5, 57 cm$ . Dermed er volumet til blomsterpotten lik $V = π r^{2} \cdot h \approx π \cdot (5, 57 cm)^{2} \cdot 15 cm \approx 1 462 {cm}^{3},$ eller $1, 462$ liter.

Svar: Cirka $1 462 {cm}^{3} = 1, 462$ liter.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Sylinder

En sylinder er en tredimensjonal figur. En vanlig sylinder er satt sammen av to identiske sirkler og et rektangel.

sylinder

Omkrets

Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.

Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.

omkretsen

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volumet

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen En sylinder i lynkurset Geometri - areal og volum.

For å øve mer, se oppgavesettet om volum i Treningsleieren.

b)

Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved

$f (x) = 50 - 2 π x$

$g (x) = π x^{2} (50 - 2 π x)$

Forklar hva de to funksjonene uttrykker om sammenhengen mellom blomsterpottenes radius, høyde og volum.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi burde se etter kjente formler i uttrykkene for $f$ og $g$ . For eksempel vet vi at formelen for

Omkrets

Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.

Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.

omkretsen

av en sirkel med

Radius

Radius er en rett linje fra sentrum av en sirkel eller kule og ut til sirkellinja eller kulens overflate. Radius sin lengde er den samme, uansett hvor på sirkelen eller kulen du måler.

radius

r

2 π r

, og det ligner på leddet

2 π x

i uttrykket for

f (x)

Vi starter med funksjonen $f$ . Vi skal forklare hvilken sammenheng $f (x)$ har med blomsterpottens størrelser. Fra forrige oppgave vet vi at hvis blomsterpotten har radius $r$ (og dermed omkrets $2 π r$ ), så har den høyde lik $50 - 2 π r$ . Gitt en eller annen radius $r$ som blomsterpotten skal ha, må altså høyden være $50 - 2 π r$ . Det er nøyaktig det vi får når vi setter inn $x = r$ i formelen for $f (x)$ . Derfor uttrykker $f (x)$ sammenhengen mellom blomsterpottens radius og høyde: Hvis $x$ er radien i cm, så er $f (x)$ høyden i cm.

Vi fortsetter med funksjonen $g$ . Som i forrige oppgave er det lurt å tolke $x$ -en som blomsterpottens radius. Gitt dette, så er pottens høyde lik $50 - 2 π x$ , akkurat som over. Arealet til grunnflaten er videre $π x^{2}$ , og hvis vi multipliserer pottens grunnflate med høyden, får vi volumet til blomsterpotten. Derfor er volumet gitt ved $π x^{2} \cdot (50 - 2 π x)$ , og dette er nøyaktig uttrykket til funksjonen $g$ . Med andre ord: Hvis $x$ er pottens radius i cm, så er $g (x)$ pottens volum i cm³.

Svar: Hvis $x$ er en blomsterpottes radius, så er $f (x)$ pottens høyde og $g (x)$ pottens volum.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Sylinder

En sylinder er en tredimensjonal figur. En vanlig sylinder er satt sammen av to identiske sirkler og et rektangel.

Sylinder

Omkrets

Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.

Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.

Omkrets

Høyde

Lengden av et linjestykke som står normalt på ei linje eller en flate.

høyde

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

Volum

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen En sylinder i lynkurset Geometri - areal og volum. For mer om funksjoner og hvordan lese av graf se Hvorfor ser grafen ut som den gjør?

c)

Ovenfor har vi tegnet grafene til funksjonene $f$ og $g$ .

På hver graf har vi markert to punkter.

Hva kan du si om blomsterpottene som lages etter regelen ovenfor, ut fra grafene og de markerte punktene?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Punktene på

Graf

grafene

, for eksempel

(5.3, 16.6)

i den første grafen, viser at

f (5, 3) = 16, 6

. Vi bruker svarene våre fra forrige oppgave til å tolke punktene.

I den første grafen ser vi at $f (5, 3) = 16, 6$ og $f (8) = 0$ . Fra forrige oppgave, så vet vi at hvis $x$ er radien til en blomsterpotte, så er $f (x)$ høyden. I dette tilfellet betyr det at hvis vi har en blomsterpotte med radius $5, 3 cm$ , så er potten $f (5, 3) = 16, 6 cm$ høy. Tilsvarende har vi at hvis vi lager en potte med radius $8 cm$ , så må pottens høyde bli $f (8) = 0 cm$ . Dette går ikke, så hvis vi følger den gitte regelen, så kan vi ikke lage blomsterpotter som har radius større eller lik $8 cm$ .

Den andre grafen er grafen til $g$ , og den sier at $g (5, 3) = 1 473, 7$ og at $g (8) = 0$ . Som før vet vi at hvis $x$ er en blomsterpottes radius, så er $g (x)$ blomsterpottens volum, så en blomsterpotte med radius $5, 3 cm$ gir et volum på $1 473, 7 {cm}^{3} \approx 1, 47 L$ . Blomsterpotten har den samme radien som gir høyde $16, 6 cm$ over. Det er denne radien som gir størst volum på blomsterpotten; det ser vi fordi punktet $(5.3, 1473.7)$ er et toppunkt til grafen. Til sist får vi fra punktet $(8.0, 0)$ at en blomsterpotte med radius $8 cm$ har volum på $0 {cm}^{3}$ , som ikke er overraskende, siden vi over fant ut at en slik blomsterpotte må ha $0 cm$ i høyde også.

Svar: En blomsterpotte med radius $5, 3 cm$ vil ha høyde $16, 6 cm$ og volum $1 473, 7 {cm}^{3} \approx 1, 47 L$ . Hvis vi følger regelen er det ikke mulig å lage en blomsterpotte med radius større eller lik $8 cm$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Graf

graf

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkt

For mer om funksjoner og hvordan lese av graf se Hvorfor ser grafen ut som den gjør?

MAT1011 2014 Vår

Del 1

Del 2

Eksamensinformasjon

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (1 poeng) Nettkode: E-4AOP

Løsningsforslag

Målestokk

Lengdeenhet

Målestokk

Lengdeenhet

Oppgave 2 (1 poeng) Nettkode: E-4AOR

Løsningsforslag

Proporsjon

Divisjon

Overslag

Oppgave 3 (3 poeng) Nettkode: E-4AOT

a)

Løsningsforslag a)

Alternativ løsning:

Lineære ligninger

b)

Løsningsforslag b)

Ligning

Areal

Trapes

Trapes

Lineære ligninger

Oppgave 4 (1 poeng) Nettkode: E-4AOW

Løsningsforslag

Prosentfaktor

Multiplikasjon

Prosent

Prosentfaktor

Multiplikasjon

Desimaltall

Oppgave 5 (2 poeng) Nettkode: E-4AOY

Løsningsforslag

Konsumprisindeks

Nominell lønn

Konsumprisindeks

Oppgave 6 (2 poeng) Nettkode: E-4AP0

Løsningsforslag

Proporsjon

Proporsjon

Oppgave 7 (4 poeng) Nettkode: E-4AP3

a)

Løsningsforslag a)

Parallellogram

Pytagoras læresetning

Katet

Rettvinklet trekant

Hypotenus

b)

Løsningsforslag b)

Prisme

Parallellogram

Flate

Volum

Prisme

Volum

Areal

Parallellogram

Divisjon

Oppgave 8 (6 poeng) Nettkode: E-4AP6

a)

Løsningsforslag a)

b)

Løsningsforslag b)

Graf

Funksjon

Funksjon

Lineære funksjoner

Lineære ligninger

Koordinatsystem

Graf

c)

Løsningsforslag c)

Koordinatsystem

Graf