En sylinder

Overflatearealet til en sylinder

Grunnflaten i en sylinder er en sirkel. Vi har to interessante størrelser: radien $r$ i grunnflaten, og sylinderens høyde $h$.

Arealet av bunnen og toppen finner vi ved å bruke formelen for areal av sirkelen. Arealet av bunnen og toppen er lik

$\pi r^2+\pi r^2=2\pi r^2$

For å finne arealet av den buede sideflaten, kan vi tenke at vi bretter denne ut. Da blir denne flaten et rektangel.

Bredden (høyden) i rektangelet er høyden i sylinderen. Vi må finne lengden til rektangelet. Denne lengden er det samme som omkretsen til bunnen av sylinderen. Omkretsen til bunnen er $2\pi r$. Arealet av rektangelet er lik

$2\pi r\cdot h=2\pi rh$

Nå kjenner vi arealet av bunnen, toppen samt den buede sideflaten til sylinderen. Det gjenstår bare å legge disse sammen.

Areal av overflaten = Areal av bunn + topp + vegg

$A=2\pi r^2+2\pi rh$

Da har vi en formel for overflaten til en sylinder hvor vi kjenner grunnflatens radius $r$ og sylinderens høyde $h$. Denne formelen kan vi, hvis vi ønsker det, omforme ved å utnytte at $2\pi r$ er felles faktor i begge leddene:

$A=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r(r+h)$

Dermed sitter vi igjen med enda en formel for arealet av overflaten til en sylinder.

Eksempel 1.

Et sveiseverksted skal lage sylinderformede 50 liters ståltanker med grunnflateradius $20cm$ og høyde $40cm$. En kunde bestiller hundre slike tanker. Tankene skal ha en spesiell overflatebehandling, og verkstedet må derfor vite den totale overflaten.

Vi setter direkte inn i formelen og finner overflaten til en tank:

$A=2\pi r(r+h)=2\pi \cdot 20\cdot \left(20+40\right){\mathrm{cm}}^2\approx 7540{\mathrm{cm}}^2$

Hundre slike sylindere har dermed en overflate på $754000 {\mathrm{cm}}^2=75,4{ \mathrm{m}}^2$.

Volumet av en sylinder

Volumet $V$ regnes ut ved å multiplisere arealet av grunnflaten med høyden i sylinderen:

 $V=G\cdot h=\pi r^2\cdot h$ 

Se for deg at vi fyller sylinderen med kjempe mange og kjempe tynne rektangler. Volumet av et rektangel er lik grunnflaten multiplisert med høyden til rektangelet;

 $V_r=G_r\cdot h$

Jo mindre disse tynne rektanglene er og jo flere det er av dem, desto mer plass tar de i sylinderen. Den samlede grunnflaten til rektanglene utgjør nesten en sirkel. Så da blir volumet av alle de tynne rektanglene arealet av en sirkel multiplisert med høyden;

 $V=A_s\cdot h$ , hvor $A_s=\pi \cdot r^2$.

Da har vi at volumet til en sylinder er;

 $V=A_s\cdot h=G\cdot h=\pi \cdot r^2\cdot h$ 

Eksempel 2.

a) Sebastian skal ut og dykke. Dykkerflasken hans har radius $13 \mathrm{cm}$ og høyde $75 \mathrm{cm}$. Hvor mye luft rommer dykkerflasken?

Vi setter inn i formelen for volum av en sylinder:

 $V=\pi r^2\cdot h=\pi {\left(13 \mathrm{cm}\right)}^2\cdot 75 \mathrm{cm} \approx 39800{ \mathrm{cm}}^3$ 

$1$ liter $=1{ \mathrm{dm}}^3$ , og det er $1000$ kubikkcentimeter i en kubikkdesimeter.

Dykkerflasken til Sebastian rommer $39,8\approx 40$ liter luft.

b) Dykkerflasken til Sebastian er sveiset sammen av $3 \mathrm{mm}$ tykke stålplater. Hvor mange kvadratdesimeter med stålplater ble brukt for å lage dykkerflasken?

Vi setter inn i formelen for overflateareal av en sylinder:

 $A=2\pi r(r+h)$ 

 $A=2\pi \cdot 13 \mathrm{cm}(13+75) \mathrm{cm}=2\pi \cdot 13\cdot 88{ \mathrm{cm}}^2\approx 7180 {\mathrm{cm}}^2$ 

Vi husker at det er $100$ kvadratcentimeter i $1$ kvadratdesimeter.

 $A=71,8{ \mathrm{dm}}^2$ 

Det ble brukt $71,8$ kvadratdesimeter med stålplater for å lage dykkerflasken til Sebastian.