Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

REA3022 2013 Høst

Del 1
Del 2
Eksamensinformasjon

Eksamenstid:

5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:
Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Du skal svare på alle oppgavene i Del 1 og Del 2.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

viser regneferdigheter og matematisk forståelse
gjennomfører logiske resonnementer
ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
vurderer om svar er rimelige
forklarer framgangsmåter og begrunner svar
skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger

Andre opplysninger:
Kilder for bilder, tegninger osv.

Alle grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (5 poeng) Nettkode: E-4CVE

Deriver funksjonene

a)

$f (x) = 2 \cdot e^{3 x}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Funksjonen $f (x)$ er en sammensatt funksjon. Vi ser at $u (x) = 3 x$ befinner seg inne i $f (u) = 2 \cdot e^{u}$ . Vi kaller $f (u)$ den ytre funksjonen og $u (x)$ kjernen eller den indre funksjonen. Det er kjerneregelen som gjelder!

Siden vi vet hvordan vi kan derivere $u (x) = 3 x$ og $f (u) = 2 \cdot e^{u}$ , $(3 x)^{'} = 3$ og $(2 \cdot e^{u})^{'} = 2 \cdot e^{u}$ , begynner vi med å skrive $f (x) = 2 \cdot e^{3 x} = 2 \cdot e^{u} = f (u (x))$ Ved å benytte kjerneregelen for derivasjon, som sier at

$(f (u (x)))^{'} = u^{'} (x) f^{'} (u)$

finner vi da at $f^{'} (x) = u^{'} (x) f^{'} (u) = (3 x)^{'} (2 \cdot e^{u})^{'} = 3 \cdot (2 \cdot e^{u}) = 3 \cdot 2 \cdot e^{3 x} = 6 \cdot e^{3 x}$

Svar: $f^{'} (x) = 6 \cdot e^{3 x}$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Flere forklaringer og eksempler på kjerneregelen, se artikkelen Kjerneregelen.

b)

$g (x) = 2 x \cdot \ln (3 x)$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi ser at $g$ er produktet av to funksjoner, $2 x$ og $ln (3 x)$ , så produktregelen kan vi få bruk for $(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$ $2 x$ vet vi hvordan vi deriverer, men vi må også derivere $ln (3 x)$ . Her ser vi at utrykket er på formen $ln u$ , der $u = 3 x$ , så kjerneregelen kan brukes.

Vi setter $u = 2 x$ og $v = ln (3 x)$ , da blir $\begin{matrix} g^{'} (x) = (2 x \cdot ln (3 x))^{'} = (u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'} \\ = (2 x)^{'} \cdot ln (3 x) + 2 x \cdot (ln (3 x))^{'} = 2 \cdot ln (3 x) + 2 x \cdot (ln (3 x))^{'} \end{matrix}$ Det gjenstår å regne ut $(ln (3 x))^{'}$ . Hvis vi setter $u (x) = 3 x$ og bruker kjerneregelen, så blir uttrykket $(ln (u (x)))^{'} = u^{'} (x) \frac{1}{u (x)} = (3 x)^{'} \frac{1}{3 x} = \frac{3}{3 x} = \frac{1}{x}$ Når vi vet dette får vi $\begin{matrix} g^{'} (x) = 2 \cdot ln (3 x) + 2 x \cdot (ln (3 x))^{'} \\ = 2 \cdot ln (3 x) + 2 x \cdot \frac{1}{x} \\ = 2 \cdot ln (3 x) + 2 \end{matrix}$

Svar: $g^{'} (x) = 2 \cdot ln (3 x) + 2$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Flere forklaringer og eksempler på produktregelen, se artikkelen Å derivere sammensatte uttrykk.

c)

$h (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Vi ser at $h (x)$ er en

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

, med

2 x - 1

Teller

Tallet eller uttrykket som står over brøkstreken i en brøk.
Telleren forteller hvor mange brøkdeler som skal telles med.

Eksempel: I brøken $\frac{5}{9}$ , er det 5 som er telleren. 9 kalles nevner.

telleren

, og

x + 1

Nevner

Tallet som står under brøkstreken i en brøk.
Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.

Eksempel : $\frac{3}{7}$ . Tallet 7 er nevneren.

nevneren

. Begge disse utrykkene kan vi derivere. Siden vi skal derivere en brøk, trenger vi brøkregelen

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u^{'} \cdot v - u \cdot v^{'}}{v^{2}}

Vi bruker brøkregelen for derivasjon, med $u = 2 x - 1$ , og $v = x + 1$ . $\begin{matrix} h^{'} (x) & = (\frac{2 x - 1}{x + 1})^{'} = (\frac{u}{v})^{'} = \frac{u^{'} \cdot v - u \cdot v^{'}}{v^{2}} \\ = \frac{(2 x - 1)^{'} \cdot (x + 1) - (2 x - 1) \cdot (x + 1)^{'}}{(x + 1)^{2}} = \frac{2 \cdot (x + 1) - (2 x - 1) \cdot 1}{(x + 1)^{2}} \\ = \frac{3}{(x + 1)^{2}} \end{matrix}$

Svar: $h^{'} (x) = \frac{3}{(x + 1)^{2}}$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Flere forklaringer og eksempler på derivasjon, se artikkelen Derivasjonsregler.

Oppgave 2 (3 poeng) Nettkode: E-4CVI

Polynomfunksjonen $P$ er gitt ved

$P (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$

a)

Vis at divisjonen $P (x) : (x - 1)$ går opp, uten å utføre divisjonen.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

At divisjonen $P (x) : (x - 1)$ går opp, betyr at $\frac{P (x)}{x - 1} = Q (x)$ , for et polynom $Q$ . Multipliserer vi med $(x - 1)$ på begge sider, får vi $P (x) = (x - 1) Q (x)$ Setter vi så $x = 1$ , ser vi at $P (1) = 0$ .

Vi trenger altså å sjekke om $P (1) = 0$ . $P (1) = 1^{3} - 6 \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ Altså kan vi konkludere med at divisjonen går opp.

Svar: Divisjonen går opp siden $P (1) = 0$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkter

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynomer

Flere forklaringer og eksempler på nullpunktsetningen, se artikkelen Nullpunktsetningen - når går divisjonen opp?.

b)

Utfør polynomdivisjonen og løs ulikheten $P (x) \geq 0$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

$P (x)$ er et tredjegradspolynom. Når vi deler det på den lineære faktoren $(x - 1)$ får vi et andregradsutykk. Hvis vi så løser ulikheten $P (x) \geq 0$ , hjelper det å faktorisere $P$ i lineære faktorer. Da kan vi tegne fortegnslinjene til de lineære faktorene, som tilsammen utgjør fortegnsskjemaet til $P$ . For å faktorisere andregradsutrykket vi får, kan vi bruke nullpunktsmetoden.

Vi starter med å utføre polynomdivisjonen.

Videre bruker vi nullpunktsmetoden til å faktorisere $x^{2} - 5 x + 6$ $\begin{matrix} x & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 \cdot a} \\ = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \\ = \frac{5 \pm 1}{2} \\ x_{1} = \frac{5 + 1}{2} x_{2} = \frac{5 - 1}{2} \\ x_{1} = 3 x_{2} = 2 \end{matrix}$ Derfor kan vi faktorisere $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ og derfor
$P (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)$
vi kan tegne opp fortegnssjemaet til $P$

Vi ser at $P$ er større eller lik null fra og med $x = 1$ til og med $x = 2$ og fra og med $x = 3$ og utover. Vi får løsningen $L = [1, 2] \cup [3, \to ⟩$ .

Svar: Polynomdivisjonen gir $P (x) : (x - 1) = x^{2} - 5 x + 6$ og ulikheten $P (x) \geq 0$ har løsning $L = [1, 2] \cup [3, \to ⟩$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Fortegnsskjema

Et fortegnsskjema er en grafisk framstilling av hvordan fortegnet til ulike faktorer i et uttrykk endrer seg med x.

fortegnsskjema

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkter

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynomer

For flere forklaringer og eksempler på fortegnsskjema, se artikkelen Fortegnslinja 1.

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4CVL

I $Δ A B C$ er $A B = 10, 0$ cm og $∠ C = 90^{\circ}$ . Høyden $h$ fra $C$ til $A B$ er $4, 0$ cm.

Konstruer $Δ A B C$ gitt at $B C$ er den lengste kateten. Forklar hva du har gjort.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

Vi ser at $∠$ C= $90^{\circ}$ er motstående vinkel til siden $AB$ . Det betyr at hvis vi tegner en halvsirkel med $AB$ som diameter, vil $C$ ligge på sirkelbuen ifølge Thales setning.

Dette kan vi forklare ved å starte med å trekke linjestykket $CS$ . Fordi $C S = A S = r$ , er $Δ A S C$ likebeint, og derfor $u = ∠ C A S = ∠ A C S$ . Med samme argument har vi at $v = ∠ S B C = ∠ B C S$ .

Fordi vinklene $∠ A S C$ og $∠ C S B$ tilsammen utgjør $180^{\circ}$ har vi $\begin{matrix} (180^{\circ} - 2 u) + (180^{\circ} - 2 v) & = 180^{\circ} \\ 360^{\circ} - 180^{\circ} & = 2 u + 2 v \\ \frac{180^{\circ}}{2} & = \frac{2 (u + v)}{2} \\ u + v & = 90^{\circ} \end{matrix}$ Til slutt ser vi at $∠ C = ∠ ACS + BCS = u + v = 90^{\circ}$

Framgangsmåte:

Tegn en linje, og marker punktene $A$ og $B$ med $10$ cm avstand. Marker også $S$ , midpunktet på $AB$ .
Tegn en halvsirkel med sentrum i $S$ der $AB$ er diameter. På denne halvsirkelen skal $C$ ligge.
At $C$ har avstand $4$ cm til $AB$ kan vi få til ved å konstruere en linje, parallell til $AB$ , med avstand $4$ cm til $AB$ .
Konstruer en $90^{\circ}$ vinkel i $B$ (kan også gjøres i $A$ ) og marker et punkt på vikelbeinet ut fra $AB$ , med avstand $4$ cm.
Kostruer en ny $90^{\circ}$ vinkel i dette punktet og trekk denne linja.
Denne linja treffer sirkelen i to punkter. Markere det punktet som ligger lengst unna $B$ . Kall punktet $C$ .
Trekk linjestykkene $AC$ og $BC$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekanter

Vinkel

En vinkel er en geometrisk figur satt sammen av to rette linjer med samme startpunkt. Vinkler måles i grader.

vinkler

Geometri

Ordet kommer fra gresk og betyr jordmåling. Geometri er den delen av matematikken som handler om egenskaper, form og størrelser til 2D- og 3D-figurer. Geometrien ser på sammenhenger mellom vinkler, sider, sideflater og kanter, som gjør at vi kan utføre ulike beregninger med de ulike figurene.

geometri

Flere forklaringer og eksempler på konstruksjon, se artikkelen Konstruksjon av figurer.

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4CVN

En elev skulle løse en likning og begynte slik:

$2^{3 x - 1} = 2^{2} + 2^{2} + 2^{2} + 2^{2}$

$2^{3 x - 1} = 4 \cdot 2^{2}$

Fullfør løsningen av likningen.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

På venstre side av likningen har vi utrykket $2^{3 x - 1}$ , altså har vi en eksponentiallikning. Vanligvis løser vi eksponentiallikninger ved å ta logaritmen på begge sider av likhetstegnet, på et tidspunkt. Det kan vi gjøre her også. Heldigvis kan vi løse dette mye mer elegant, ved å oppdage at vi har toerpotenser på begge sider!

Vi vet at, at $a^{n} a^{m} = a^{n + m}$ og $\log (a^{n}) = n \cdot \log (a)$ . Med disse kan vi løse likningen.

$\begin{matrix} 2^{3 x - 1} & = 2^{2} + 2^{2} + 2^{2} + 2^{2} \\ ↕ & ↕ \\ 2^{3 x - 1} & = 4 \cdot 2^{2} \\ ↕ & ↕ \\ 2^{3 x - 1} & = 2^{2} \cdot 2^{2} \\ ↕ & ↕ \\ 2^{3 x - 1} & = 2^{2 + 2} \\ ↕ & ↕ \\ 2^{3 x - 1} & = 2^{4} \\ \begin{matrix} ↕ \\ \begin{matrix} \log (2^{3 x - 1}) \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} ↕ \\ (3 x - 1) \log (2) \end{matrix} \\ ↕ \end{matrix} \\ \frac{(3 x - 1) \log (2)}{\log (2)} \end{matrix} \\ ↕ \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} & \begin{matrix} ↕ \\ \begin{matrix} = \log (2^{4}) \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = \begin{matrix} \begin{matrix} ↕ \\ 4 \log (2) \end{matrix} \\ ↕ \end{matrix} \\ = \frac{4 \log (2)}{\log (2)} \end{matrix} \\ ↕ \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \\ 3 x - 1 & = 4 \\ ↕ & ↕ \\ 3 x & = 4 + 1 \\ ↕ & ↕ \\ \frac{3 x}{3} & = \frac{5}{3} \\ ↕ & ↕ \\ x & = \frac{5}{3} \end{matrix}$

Etter mange regneoperasjoner, er vi endelig i mål! Setter vi $x = \frac{5}{3}$ inn i likningen igjen så setter vi svaret på prøve, altså vi skjekker at begge sider av likhetstegnet blir det samme:

Venstreside:

$2^{3 \cdot \frac{5}{3} - 1} = 2^{5 - 1} = 2^{4} = 16$

Høyreside:

$4 \cdot 2^{2} = 4 \cdot 4 = 16$

Begge sider er likt! $x = \frac{5}{3}$ er løsning på likningen.

Svar: $x = \frac{5}{3}$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

Potensiell teori

Teorien om potensialfunksjoner, som er en generalisering av integralfunksjoner i flere variable.

potenser

med

Grunntall

En potens består av et grunntall og en eksponent.

Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ , der 4 er grunntall og 3 er eksponent.

grunntall

Eksponent

En potens er et tall på formen xⁿ, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. n kalles eksponenten.

xⁿ = x · x · x...· x, n ganger

eksponent

Flere forklaringer og eksempler på eksponentiallikninger, se artikkelen Eksponentiallikninger.

Oppgave 5 (4 poeng) Nettkode: E-4CVP

Vi har gitt vektorene $\vec{a} = [1, 3]$ , $\vec{b} = [3, 2]$ og $\vec{c} = [- 1, 2]$ .

a)

Tegn vektorene $\vec{u} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ og $\vec{v} = \vec{b} - 2 \vec{c}$ i et koordinatsystem.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi kan addere vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ ved å la $\vec{b}$ starte der $\vec{a}$ slutter (eller la $\vec{a}$ starte der $\vec{b}$ slutter), for deretter å tegne vektoren $\vec{a} + \vec{b}$ med utgangspunkt i starten av $\vec{a}$ og enden der $\vec{b}$ slutter.

Vi kan også multiplisere en vektor $\vec{a}$ med en skalar (tall) $s \in ℝ \ {0}$ . Hvis $s > 0$ blir $s \vec{a}$ en vektor som er parallell med $\vec{a}$ og med lengde $s$ ganger så lang som lengden til $\vec{a}$ . Hvis $s < 0$ blir $s \vec{a}$ en vektor som er parallell med $\vec{a}$ , med lengde $- s$ ganger så lang som lengden til $\vec{a}$ og som har motsatt retning som $\vec{a}$ .

1) Vi tegner opp vektorene $\vec{a}$ , $\vec{b}$ og $\vec{c}$ i et koordinatsystem.

2) Fordi vi skal tegne opp $\vec{u} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ og $\vec{v} = \vec{b} - 2 \vec{c}$ , trenger vi $2 \vec{b}$ og $- 2 \vec{c}$ (merk at $\vec{v} = \vec{b} - 2 \vec{c} = \vec{b} + (- 2 \vec{c})$ )

Vi legger sammen riktige vektorer og får:

Mer om:

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

Flere forklaringer og eksempler på vektoraddisjon, se artikkelen Addisjon av vektorer.

b)

Avgjør ved regning om $\vec{u} ⊥ \vec{v}$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi vet at to vektorer står vinkelrett på hverandre hvis skalarproduktet (prikkproduktet) er lik 0. Så først må vi regne ut hva vektorene $\vec{u}$ og $\vec{v}$ er, for så å sjekke om skalarproduktet er 0.

Vi regner ut vektorene $\vec{u}$ og $\vec{v}$ $\vec{u} = \vec{a} + 2 \vec{b} = [1, 3] + 2 \cdot [3, 2] = [1, 3] + [6, 4] = [7, 7]$ $\vec{v} = \vec{b} - 2 \vec{c} = [3, 2] - 2 \cdot [- 1, 2] = [3, 2] + [2, - 4] = [5, - 2]$ Så finner vi skalarproduktet $\vec{u} \cdot \vec{v} = [7, 7] \cdot [5, - 2] = 7 \cdot 5 + 7 \cdot (- 2) = 35 - 14 = 21 \neq 0$ Siden skalarproduktet ikke er 0, er heller ikke $\vec{u} ⊥ \vec{v}$ .

Svar: Vektorene står ikke normalt på hverandre.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

Flere forklaringer og eksempler på ortogonale vektorer, se artikkelen Ortogonale vektorer.

Oppgave 6 (5 poeng) Nettkode: E-4CVS

En funksjon $f$ er gitt ved

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2}, D_{f} \in ℝ$

a)

Bestem $f' (x)$ og $f'' (x)$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi ser at $f$ er en polynomfunksjon. Å derivere en polynomfunksjon er enkelt, men man må ha i tankene derivasjonsreglene:

$(x^{n})^{'} = n \cdot x^{n - 1}$
$(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$
$(k \cdot f)^{'} = k \cdot f^{'}$ ,

der $k$ er en konstant.

I tillegge skal vi finne $f^{''} (x)$ , altså den dobbeltderiverte av $f$ . Dette gjøres ved å derivere den deriverte (som vi først skal regne ut).

Vi starter med å regne ut den deriverte av $f$ $\begin{matrix} f^{'} (x) & = (- \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2})^{'} \\ = - \frac{1}{3} \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 x \\ = - x^{2} + 4 x \end{matrix}$ Så skal vi regne ut den dobbeltderiverte av $f$ $\begin{matrix} f^{''} (x) & = (f^{'})^{'} \\ = (- x^{2} + 4 x)^{'} \\ = - 2 x + 4 \end{matrix}$

Svar: $f^{'} (x) = - x^{2} + 4 x$ og $f^{''} (x) = - 2 x + 4$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynomer

Flere forklaringer og eksempler på høyere ordens deriverte, se artikkelen Høyere ordens deriverte.

b)

Bestem koordinatene til eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

I stasjonære punkter (topp-, bunn- og terassepunkter) på grafen til $f$ , hverken stiger eller synker grafen. Derfor har vi $f^{'} (x) = 0$

For å få fullstendig oversikt over hvilke punkter som er topp-, bunn- og terassepunkter, burde vi tegne opp et fortegnssjema til $f^{'}$ .

Vendepunkter er der en funksjon går fra konveks til konkav, eller fra konkav til konveks. Spesielt vet vi at i vendepunkter er $f^{''} (x) = 0$ og at $f ″ (x)$ skifter fortegn i vendepunktet.

For å tegne fortegnssjemaet til $f^{'}$ , må vi først faktorisere $f^{'}$ $\begin{matrix} f^{'} & = - x^{2} + 4 x \\ = x (4 - x) \end{matrix}$ Så når vi tegner opp fortegnssjemaet til $f^{'}$ , må vi tegne fortegnslinjene til $x$ og $4 - x$

Vi ser at $f$ synker fram til $x = 0$ , der har $f$ et bunnpunkt. Videre stiger $f$ til $x = 4$ , hvor $f$ har et toppunkt, hvorpå $f$ synker. Alstå har vi følgende ekstremalpunkter:

Bunnpunkt: $(0, f (0)) = (0, 0)$
Toppunkt: $(4, f (4)) = (4, - \frac{1}{3} \cdot 4^{3} + 2 \cdot 4^{2}) = (4, \frac{32}{3})$

Vi skal nå finne vendepunktet til $f$ . Vi vil løse likningen $f^{''} (x) = 0$ $\begin{matrix} f^{''} (x) & = 0 \\ - 2 x + 4 & = 0 \\ \frac{- 2 x}{- 2} & = \frac{- 4}{- 2} \\ x & = 2 \end{matrix}$ Vi sjekker at $f'' (x)$ skifter fortegn for $x = 2$ og kan konkludere med at vi har et vendepunkt i punktet $(2, f (2)) = (2, - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2^{2}) = (2, \frac{16}{3})$ .

Svar: Vi har følgende punkter:

Bunnpunkt: $(0, 0)$
Toppunkt: $(4, \frac{32}{3})$
Vendepunkt $(2, \frac{16}{3})$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Konkav

La $f (x)$ være en kontinuerlig funksjon. I de intervallene der grafen til åpner seg nedover, sier vi at $f (x)$ er konkav. En kontinuerlig, deriverbar funksjon $f$ er konkav på et interval $[a, b]$ hvis $f'' (x)$ har negativt fortegn for alle $x$ i intervallet.

konkav

Konveks

La $f (x)$ være en kontinuerlig funksjon. I de intervallene der grafen til $f (x)$ åpner seg oppover , sier vi at $f (x)$ er konveks. En kontinuerlig, deriverbar funksjon er konveks på et interval [a,b] hvis $f'' (x)$ har positivt fortegn for alle $x$ i intervallet.

konveks

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

topppunkt

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er mindre enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

bunnpunkt

Vendepunkt

Et vendepunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $x = a$ , der funksjonen bytter mellom å være konveks og konkav. I et vendepunkt skifter den annenderiverte $f'' (x)$ fortegn.

vendepunkt

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Flere forklaringer og eksempler på ekstremalpunkter, se artikkelen Topp- og bunnpunkter.

c)

Lag en skisse av grafen til $f$ . Bruk denne til å avgjøre for hvilke $x$ -verdier $f' (x) > 0$ og samtidig $f'' (x) < 0$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Vi vet nå tre punkter grafen til $f$ går igjennom, og at disse er topp-, bunn- og vendepunkter. Videre kan det være en idé å legge til nullpunktene til $f$ i skissen. Disse finner vi ved å løse likningen $f (x) = 0$ $\begin{matrix} - \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} & = 0 \\ x^{2} (- \frac{1}{3} x + 2) & = 0 \\ x^{2} = 0 eller & - \frac{1}{3} x + 2 = 0 \\ x = 0 eller & x = 6 \end{matrix}$ Altså kan vi tegne inn punktene $(0, 0)$ (som vi allerede kjente) og $(6, 0)$ .

Videre skal vi finne for hvilke $x$ -verdier $f^{'} (x) > 0$ og $f^{''} (x) < 0$ . At $f^{'} (x) > 0$ betyr at grafen til $f$ stiger. At $f^{''} (x) < 0$ betyr at grafen til $f$ er konkav (formet som en opp-ned U).

Vi tegner opp grafen til $f$

Vi ser på grafen at $f^{'} (x) > 0$ , altså at $f$ stiger mellom bunnpunktet til $f$ og toppunktet til $f$ , altså i intervallet $⟨ 0, 4 ⟩$ .
Vi ser på grafen at $f^{''} (x) < 0$ , altså at grafen til $f$ er konkav etter vendepunktet til $f$ , altså i intervallet $⟨ 2, \to ⟩$ .

Svar: Fordi $f^{'} (x) > 0$ i intervallet $⟨ 0, 4 ⟩$ og $f^{''} (x) < 0$ i intervallet $⟨ 2, \to ⟩$ , er $x$ element i $⟨ 2, 4 ⟩$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkt

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er mindre enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

bunnpunkt

Vendepunkt

Et vendepunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $x = a$ , der funksjonen bytter mellom å være konveks og konkav. I et vendepunkt skifter den annenderiverte $f'' (x)$ fortegn.

vendepunkt

Konkav

konkav

Konveks

konveks

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Flere forklaringer og eksempler på vendepunkt, se artikkelen Vendepunkt og vendetangent.

Oppgave 7 (3 poeng) Nettkode: E-4CVW

To sirkler $S_{1}$ og $S_{2}$ er gitt ved

$S_{1} : x^{2} + y^{2} = 25$

$S_{2} : {(x - a)}^{2} + y^{2} = 9$

a)

Tegn sirklene i et koordinatsystem når $a = 6$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

En sirkel med sentrum i $(x_{0}, y_{0})$ og radius $r$ har funksjonsutrykk $(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = r^{2}$ Ut ifra dette kan vi se hvor sentrum til sirklene må være, og hvor store radiusene må være.

Vi kan skrive om sirklene til formen gitt over $\begin{matrix} S_{1} & : (x - 0)^{2} + (y - 0)^{2} = 5^{2} \\ S_{2} & : (x - 6)^{2} + (y - 0)^{2} = 3^{2} \end{matrix}$ Derfor ser vi at

$S_{1}$ har sentrum i punktet $(0, 0)$ og har radius $r = 5$
$S_{2}$ har sentrum i punktet $(6, 0)$ og har radius $r = 3$

Vi kan nå tegne opp de to sirklene i et koordinatsystem.

Svar:

Mer om:

Denne oppgaven er om

Sirkel

Sirkel brukes i to betydninger:

1) Selve sirkellinjen som er den krumme linjen som går gjennom punktene som har samme avstand fra et fast punkt, nemlig sentrum i sirkelen. Dette er det samme som sirkelen sin omkrets.

2) Flaten som sirkellinjen begrenser.

Areal: $A = π r^{2}$
Omkrets: $O = 2 π r$

sirkeler

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

Koordinatsystem

Et koordinatsystem i planet består av to akser, x-aksen og y-aksen. Aksene står vinkelrett på hverandre. x-aksen er horisontal og y-aksen er vertikal. Punktet der aksene krysser kalles for origo. Koordinatsystemet gir oss muligheten til å presentere punkter i planet i form av to tallverdier (x,y). Origo har koordinatene (0,0).

koordinatsystemer

For flere forklaringer og eksempler på likninger, se artikkelen Fra problem til likning.

b)

For hvilke verdier av $a$ vil sirklene tangere hverandre?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Siden likningen til $S_{2}$ er gitt ved $\begin{matrix} S_{2} & : (x - a)^{2} + (y - 0)^{2} = 9 \end{matrix}$ Ser vi at sentrum til $S_{2}$ har koordinatene $(a, 0)$ , altså ligger sentrum av sirkelen på $x$ -aksen.

Siden $S_{2}$ alltid har radius $r = 3$ , og sentrum som ligger på $x$ -aksen, har vi de to mulighetene:

Sirklene tangerer hverandre i punktet $(- 5, 0)$
Sirklene tangerer hverandre i punktet $(5, 0)$

Dersom to sirkeler tangerer hverandre i ett punkt, har vi to muligheter. Enten ligger hele den minste sirkelen inne i den største sirkelen, eller ligger sirklene utenfor hverandre.

Vi har derfor fire muligheter

Vi ser at vi har de fire mulighetene for sentrum av $S_{2}$

$(- 8, 0)$
$(- 2, 0)$
$(2, 0)$
$(8, 0)$

Derfor er de fire verdiene for $a$ , slik at sirklene tangerer hverandre: $a = - 8$ , $a = - 2$ , $a = 2$ og $a = 8$ .

Svar: De fire verdiene for $a$ , slik at sirklene tangerer hverandre: $a = - 8$ , $a = - 2$ , $a = 2$ og $a = 8$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Koordinatsystem

koordinatsystemer

Punkt

I geometrien tegnes punkt som en prikk eller et kryss. Den knyttes til en fast posisjon og har ingen utstrekning. Et punkt har en stor bokstav som navn, for eksempel A eller B.

punkter

Sirkel

Sirkel brukes i to betydninger:

Areal: $A = π r^{2}$
Omkrets: $O = 2 π r$

sirkeler

For flere forklaringer og eksempler på enhetssirkelen, se artikkelen Enhetssirkel.

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng) Nettkode: E-4CW0

Når grafen til en polynomfunksjon tangerer x-aksen i $x = a$ , har funksjonen minst to like (sammenfallende) nullpunkter i $x = a$ .

a)

Grafen til en andregradsfunksjon $f$ er vist på figur 1. Grafen tangerer $x$ -aksen i $x = 2$ .

Forklar at $f (x) = 2 \cdot {(x - 2)}^{2}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi ser at grafen til $f$ tangerer $x$ -aksen i punktet $(2, 0)$ og vi ser at funksjonen går igjennom punktet $(0, 8)$ . Vi vet at andregradsuttrykk kan nullpunktfaktoriseres $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ Men siden det bare er ett nullpunkt betyr det at $x_{1} = x_{2}$ !

På grunn av nullpunktsfaktorisering nevnt over, vet vi at vi kan faktorisere $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a (x - 2)^{2}$ fordi $f$ har bare ett nullpunkt $x_{1} = x_{2} = 2$ . Dessuten vet vi at $f (0) = 8$ , og da kan vi finne $a$ $\begin{matrix} f (0) & = 8 \\ a (0 - 2)^{2} & = 8 \\ 4 a & = 8 \\ a & = 2 \end{matrix}$ Derfor ser vi at at $f (x) = 2 \cdot (x - 2)^{2}$ .

Svar: $f (x) = 2 \cdot {(x - 2)}^{2}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkter

Faktorisering av uttrykk

Med å faktorisere et uttrykk i x mener vi å skrive det som et produkt av lineære faktorer.

Eksempel: $x^{2} + 4 x + 3 = (x + 1) (x + 3)$

faktorisering

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

For flere forklaringer og eksempler på nullpunktsetningen, se artikkelen Nullpunktsetningen - når går divisjonen opp?.

b)

Grafen til en tredjegradsfunksjon $g$ er vist på figur 2. Grafen tangerer $x$ -aksen i $x = 3$ .

Forklar at funksjonsuttrykket til $g$ kan skrives på formen $g (x) = k \cdot {(x - 3)}^{2} \cdot (x + 1)$

Bestem k.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Her kan vi gå fram på flere måter. Vi vet at $g$ kan nullpunktfaktoriseres $g (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3})$ der $a$ er koeffisienten til $x^{3}$ leddet og $x_{1}$ , $x_{2}$ og $x_{3}$ er nullpunktene. Siden vi vet at $x = - 1$ og $x = 3$ er nullpunkter, vet vi at vi kan skrive $g (x) = a (x - (- 1)) (x - 3) (x - x_{3}) = a (x + 1) (x - 3) (x - x_{3})$ og siden $g$ ikke har flere nullpunkter, må $x_{3}$ være enten -1 eller 3. Nå kan vi tegne opp fortegnssjemaene til de to mulighetene, og se at den eneste muligheten som passer er $x_{3} = 3$ .

Men vi kan gjøre oss en observasjon. Hva har disse tre grafene over til felles? Jo! Alle har et nullpunkt som også er et ekstremalpunkt. Så vi tenker oss at vi har en funksjon $f$ som har et nullpunkt i $x = a$ , og vi vet også at $f$ har et ekstremalpunkt $x = a$ . Det betyr at $f (a) = 0$ og $f^{'} (a) = 0$ . At $f (a) = 0$ betyr at vi kan skrive $f (x) = (x - a) \cdot g (x)$ for et polynom $g$ . Men hva skjer hvis vi deriverer $f$ nå? Her må vi bruke produktregelen $\begin{matrix} f^{'} (x) & = ((x - a) \cdot g (x))^{'} \\ = ((x - a))^{'} \cdot g (x) + (x - a) \cdot g (x)^{'} \\ = 1 \cdot g (x) + (x - a) \cdot g (x)^{'} \\ = g (x) + (x - a) \cdot g (x)^{'} \end{matrix}$

Bruker vi nå at $f^{'} (a) = 0$ gir dette $\begin{matrix} f^{'} (a) & = g (a) + (a - a) \cdot g (x)^{'} = 0 \\ g (a) & = 0 \end{matrix}$ Altså har $g$ også $a$ som et nullpunkt! Da kan vi jo skrive om $g (x) = (x - a) h (x)$ for et polynom $h$ . Og til slutt ser vi at $f (x) = (x - a) \cdot g (x) = (x - a) \cdot (x - a) \cdot h (x) = (x - a)^{2} \cdot h (x)$

Med alt dette i bakhodet er oppgaven enkel! Vi ser at $g$ har et nullpunkt i $x = - 1$ , og et nullpunkt i $x = 3$ som også er et bunnpunkt. Derfor vet vi at det er et dobbelt nullpunkt i $x = 3$ , og vi kan skrive funksjonen $g (x) = k \cdot (x - (- 1)) \cdot (x - 3)^{2} = k \cdot (x + 1) \cdot (x - 3)^{2}$ Vi ser også at $g (0) = 9$ $\begin{matrix} g (0) & = k \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 3)^{2} = 9 k = 9 \\ k & = 1 \end{matrix}$

Svar: $k = 1$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkter

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynomer

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

For flere forklaringer og eksempler på derivasjon, se artikkelen Å derivere sammensatte uttrykk.

c)

Grafen til en fjerdegradsfunksjon $h$ er vist på figur 3. Grafen tangerer $x$ -aksen i $x = - 2$ og i $x = 2$ .

Bestem funksjonsuttrykket $h (x)$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Her kan vi bruke samme tankegang som vi forklarte for løsningen over. Vi ser at $h$ har to nullpunkter som også er ekstremalpunkter. Altså er det dobble nullpunkter i begge nullpunktene, og siden $h$ er en fjerdegradsfunksjon har vi alt vi trenger for å beskrive funksjonsuttrykket.

$h$ har dobble nullpunkter i $x = - 2$ og $x = 2$ . Derfor kan vi skrive $h$ på formen $h (x) = k \cdot (x - (- 2))^{2} \cdot (x - 2)^{2} = k \cdot (x + 2)^{2} \cdot (x - 2)^{2}$ Merk at vi nå har et fjerdegradsuttrykk, så $h$ kan ikke ha flere nullpunkter, eller ha nullpunkter av høyere grad. Det gjenstår bare å finne $k$ . Som før bruker vi at $h (0) = 8$ $\begin{matrix} h (0) & = k \cdot (0 + 2)^{2} \cdot (0 - 2)^{2} = 16 k = 8 \\ k & = \frac{1}{2} \end{matrix}$

Svar: $h (x) = \frac{1}{2} \cdot (x + 2)^{2} \cdot (x - 2)^{2}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkter

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynomer

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

For flere forklaringer og eksempler på polynomdivisjon og nullpunktsetningen, se artikkelen Nullpunktsetningen - når går divisjonen opp?.

Oppgave 2 (4 poeng) Nettkode: E-4CW4

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}, D_{f} = ℝ$ \ $\{- 1\}$

a)

Bestem asymptotene til $f$ . Tegn grafen til $f$ med asymptoter.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Funksjonen $f (x)$ er en rasjonal funksjon. Jeg finner $x$ -koordinaten til vertikale asymptoter blant nullpunktene til nevneren. Det er viktig å sjekke at telleren blir ulik 0. Skulle teller og nevner ha noen felles nullpunkter, må jeg faktorisere og forkorte brøken før jeg kan finne vertikale asymptoter. Horisontale asymptoter finner jeg ved å beregne grenseverdien for funksjonen når $x \to \infty$ . Jeg trenger bare å sjekke for horisontal asymptote mot høyre for en rasjonal funksjon, for det vil alltid bli samme horisontale asymptote mot venstre.

Den vertikal asymptoten finner vi der nevneren til funksjonen blir null $\begin{matrix} x + 1 & = 0 \\ x & = - 1 \end{matrix}$

Siden telleren er ulik $0$ for x=−1, blir x=−1 likningen for den vertikale asymptoten.

Den horisontale asymptoten finner vi ved å la $x \to \infty$ $\begin{matrix} \lim_{x \to \infty} f (x) & = \lim_{x \to \infty} \frac{2 x - 1}{x + 1} \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}} \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \\ = \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2 \end{matrix}$ Derfor er likningen til den horisontale asymptoten gitt ved $y = 2$ . Vi tegner opp grafen med asymptotene.

Svar: Den vertikale asymptoten er gitt ved $x = - 1$ og den horisontale asymptoten er gitt ved $y = 2$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Grenseverdi

En uendelig tallfølge a₁, a₂, a₃, ...har grenseverdi A dersom vi kan få a_n så nær A vi vil ved å velge n stor nok.

grenseverdier

For flere forklaringer og eksempler på grenseverdier og asymptoter, se artikkelen Grenseverdier.

b)

Funksjonen $g$ er gitt ved

$g (x) = x - 1, D_{f} = ℝ$

Bestem skjæringspunktene mellom grafene til $f$ og $g$ ved regning.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

At to grafer skjærer hverandre betyr at det er et punkt hvor $y$ -verdiene og $x$ -verdiene er lik hverandre. Altså løser vi likningen $f (x) = g (x)$

Vi løser likningen under forutsetningen av at $x$ er forskjellig fra $0$ . $\begin{matrix} f (x) & = g (x) \\ \frac{2 x - 1}{x + 1} & = x - 1 | \cdot (x + 1) \\ \frac{2 x - 1}{x + 1} \cdot (x + 1) & = (x - 1) \cdot (x + 1) \\ 2 x - 1 & = x^{2} - 1 \\ x^{2} - 2 x & = 0 \\ x (x - 2) & = 0 \\ x = 0 eller & x = 2 \end{matrix}$ Vi vet nå for hvilke $x$ -verdier grafene krysser hverandre. Det neste er nå å finne for hvilke $y$ -verdier grafene krysser hverandre. Fordi i skjæringspunktet har de to grafene lik $y$ -verdi, holder det å regne ut $y$ -verdiene til $g$ , som er lettere å regne ut. $g (0) = 0 - 1 = - 1$ og $g (2) = 2 - 1 = 1$

Svar: Skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og $g$ er punktene $(0, - 1)$ og $(2, 1)$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Skjæringspunkt

Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.

skjæringspunkter

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

Graf

En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

grafer

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

For flere forklaringer og eksempler på likninger og grafer, se artikkelen Grafisk løsning av likninger.

Oppgave 3 (6 poeng) Nettkode: E-4CW8

Figuren til høyre viser grafen til funksjonen $f$ gitt ved

$f (x) = x^{2} + 21, x \in ⟨0, \to⟩$

Rektangelet $P S R Q$ lages slik at $P$ ligger på grafen til $f$ , punktene $S$ og $R$ ligger på $x$ -aksen, og $R$ og $Q$ har førstekoordinat $x = 12$ . Punktet $S$ ligger mellom origo og $R$ .

a)

Forklar at arealet av rektanglet $P S R Q$ kan skrives som

$A (x) = - x^{3} + 12 x^{2} - 21 x + 252, x \in ⟨0, 12⟩$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Formelen for arealet av et rektangel er lik lengde $\cdot$ bredde. Hvis vi kan finne et uttrykk for både lengden og bredden til rektangelet, kan vi multiplisere disse to uttrykkene sammen for å få et uttrykk for arealet.

Lengden av rektangelet er lik lengden fra $S$ til $R$ , som er lik $12 - x$ . Bredden er lik lengden fra $S$ til $P$ , som er lik $f (x) - 0 = f (x)$ . Derfor blir arealet (lengde $\cdot$ bredde) $\begin{matrix} A (x) & = (12 - x) \cdot f (x) = (12 - x) (x^{2} + 21) \\ = 12 x^{2} + 12 \cdot 21 - x^{3} - 21 x \\ = - x^{3} + 12 x^{2} - 21 x + 252 \end{matrix}$ Det gjenstår bare å forklare hvilke $x$ -verdier $A$ kan ta. Vi vet at $x > 0$ , ettersom det er gitt i definisjonen av $f$ . Dessuten kan ikke $x$ overskride $12$ , siden punktet $S$ ligger mellom origo og $R$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Rektangel

Et rektangel er en firkant der sidene er parvis like lange og alle vinklene er 90°.

Areal: $A = a b$

Omkrets: $O = 2 a + 2 b$

rektangler

Punkt

I geometrien tegnes punkt som en prikk eller et kryss. Den knyttes til en fast posisjon og har ingen utstrekning. Et punkt har en stor bokstav som navn, for eksempel A eller B.

punkter

Origo

I et koordinatsystem står to akser vinkelrett på hverandre. Punktet der aksene møtes kalles origo. Origo har koordinatene (0,0).

origo

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

For flere forklaringer og eksempler på grafer og funksjoner, se artikkelen Grafen til en funksjon.

b)

Bestem $A' (x)$ og bruk denne til å bestemme største og minste verdi som arealet av rektanglet kan ha.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

$A$ er et polynom, og å derivere et polynom kan vi! Videre vet vi at når vi skal bestemme største og minste verdi som arealet av rektangelet kan ha, er det det samme som å finne topp- og bunnpunkter til $A$ . Dette kan vi få til ved å tegne et fortegnsskjema til $A^{'}$ . Da finner vi når $A^{'}$ er positiv og negativ, altså når $A$ stiger og synker.

Vi starter med å derivere $A$ $\begin{matrix} A^{'} & = (- x^{3} + 12 x^{2} - 21 x + 252)^{'} \\ = - 3 x^{2} + 12 \cdot 2 x - 21 \\ = - 3 x^{2} + 24 x - 21 \end{matrix}$ For å tegne fortegnsskjema til $A^{'}$ , må vi først faktorisere $A^{'}$ . Da kan vi tegne fortegnslinjene til faktorene som utgjør $A^{'}$ . Siden $A^{'}$ er et andregradsuttrykk, kan vi bruke abc-formelen og nullpunktsfaktorisere $- 3 x^{2} + 24 x - 21 = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

$\begin{matrix} x & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 \cdot a} \\ = \frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 3)} \\ = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 252}}{- 6} \\ = \frac{- 24 \pm \sqrt{324}}{- 6} \\ = \frac{- 24 \pm 18}{- 6} \\ x_{1} = \frac{- 24 + 18}{- 6} x_{2} = \frac{- 24 - 18}{- 6} \\ x_{1} = \frac{- 6}{- 6} = 1 x_{2} = \frac{- 42}{- 6} = 7 \end{matrix}$ Denne utregningen kan du også gjøre digitalt. Derfor kan vi faktorisere $A^{'} (x) = - 3 (x - 1) (x - 7)$ og vi kan tegne opp fortegnsskjemaet

Vi ser at $A^{'}$ er negativ fram til $x = 1$ , altså synker $A$ . Deretter ser vi at $A^{'}$ er positiv fram til $x = 7$ , altså stiger $A$ . Til slutt ser vi at $A^{'}$ er negativ fra og med $x = 7$ , altså synker $A$ . Vi kan konkludere med at $A$ har et bunnpunkt når $x = 1$ og et toppunkt når $x = 7$ .

Derfor har rektangelet størst verdi når $x = 7$ , da er arealet $\begin{matrix} A (7) & = - 7^{3} + 12 \cdot 7^{2} - 21 \cdot 7 + 252 \\ = - 343 + 588 - 147 + 252 \\ = 350 \end{matrix}$ Rektangelet har minst verdi når $x = 1$ , da er arealet $\begin{matrix} A (7) & = - 1^{3} + 12 \cdot 1^{2} - 21 \cdot 1 + 252 \\ = - 1 + 12 - 21 + 252 \\ = 242 \end{matrix}$

Denne fremgangsmåten gir topp- og bunnpunkt på grafen, men den sier ikke hva som skjer når $x$ går mot $12$ . Derfor er det viktig å se på grafen (se under i oppgave c). Den viser at arealet går mot $0$ når $x$ går mot $12$ . Derfor finnes det ingen minste verdi.

Vi må også sjekke hva som skjer når $x$ går mot $0$ . Uttrykket for $A (x)$ viser at $\lim_{x \to 0^{+}} A (x) = 252$ , så arealet er størst når $x = 7$ .

Svar: Den største verdien arealet kan ha er 350, og når $x$ går mot $12$ , går arealet mot $0$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Fortegnsskjema

Et fortegnsskjema er en grafisk framstilling av hvordan fortegnet til ulike faktorer i et uttrykk endrer seg med x.

fortegnslinje

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynomer

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Ekstremalpunkter

Ekstremalpunkter er en samlebetegnelse på topp- og bunnpunkter.

ekstremalpunkter

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formelen

Graf

grafer

For flere forklaringer og eksempler på abc-formelen, se artikkelen abc-formelen.

c)

Tegn grafen til $A$ , og kontroller om svarene dine fra oppgave b) stemmer.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Å tegne grafen til $A$ kan vi gjøre i graftegner. Det gjelder bare å taste inn riktig kommando. Også for å finne topp- og bunnpunktene på grafen til $A$ .

Framgangsmåte:

Vi tegner grafen til $A$ med kommandoen: funksjon[<funksjon>, <start>, <slutt>], der vi bytter ut <funksjon> med $- x^{3} + 12 x^{2} - 21 x + 252$ og legger inn riktige grenser. Vi setter <start> til å være $0$ og <slutt> til å være $12$ .
Gir nytt navn til funksjonen: $A$
Vi finner ekstremalpunktene med kommandoen: ekstremalpunkt[<polynom>], der vi bytter ut polynom med $A$ .
Leser av koordinatene ekstremalpunktene.

Svar: Vi ser at svarene vi fikk i b) stemmer.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Graf

grafer

Ekstremalpunkt

Vi sier at et punkt $x = a$ er et ekstremalpunkt for en funksjon $f (x)$ hvis det enten er et toppunkt eller bunnpunkt for funksjonen.

ekstremalpunkter

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynomer

For flere forklaringer og eksempler på topp- og bunnpunkter, se artikkelen Topp- og bunnpunkter.

Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4CWD

En sirkel med radius $r$ og sentrum i origo er gitt ved

$x^{2} + y^{2} = r^{2}$

Punktet $P (x, y)$ er et vilkårlig punkt på den øvre halvsirkelen. Se skissen nedenfor.

a)

Bestem koordinatene til punktene $A$ og $B$ uttrykt ved $r$ .

Bestem vektorkoordinatene til $\vec{P A}$ og $\vec{P B}$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Siden sirkelen har radius $r$ og sentrum i origo er gitt ved $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ligger punktene $A$ og $B$ med avstand $r$ fra origo, og i tillegg ligger de på $x$ -aksen.

Vi vet at punktene $A$ og $B$ har avstand $r$ fra origo, og i tillegg ligger de på $x$ -aksen, derfor har vi koordinatene $A (- r, 0)$ og $B (r, 0)$ . Siden vi kjenner $P (x, y)$ , kan vi regne ut vektorene

$\vec{P A} = [- r - x, 0 - y] = [- r - x, - y]$
$\vec{P B} = [r - x, 0 - y] = [r - x, - y]$

Svar: $A (- r, 0)$ , $B (r, 0)$ , $\vec{P A} = [- r - x, - y]$ og $\vec{P B} = [r - x, - y]$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Sirkel

Sirkel brukes i to betydninger:

Areal: $A = π r^{2}$
Omkrets: $O = 2 π r$

sirkel

Punkt

I geometrien tegnes punkt som en prikk eller et kryss. Den knyttes til en fast posisjon og har ingen utstrekning. Et punkt har en stor bokstav som navn, for eksempel A eller B.

punkt

Origo

I et koordinatsystem står to akser vinkelrett på hverandre. Punktet der aksene møtes kalles origo. Origo har koordinatene (0,0).

origo

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

Graf

grafer

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Vektorer mellom to punkter.

b)

Vis ved vektorregning at $∠ A P B = 90^{\circ}$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi vet at vinkelen mellom to vektorer er $90^{\circ}$ hvis og bare hvis skalarproduktet (prikkproduktet) mellom vektorene er lik null. Derfor prøver vi å regne ut skalarproduktet mellom $\vec{P A} = [- r - x, - y]$ og $\vec{P B} = [r - x, - y]$ .

Vi regner ut skalarproduktet mellom $\vec{P A} = [- r - x, - y]$ og $\vec{P B} = [r - x, - y]$ : $$\begin{aligned} \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}&=[-r-x,-y]\cdot[r-x,-y]\\ &=(-r-x)\cdot (r-x)+y^2\cdot y\\ &=x^2-r^2+y^2=0\end{aligned}$$ Den siste likheten stemmer fordi hvis vi starter med $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ , og flytter $r^{2}$ over på andre siden av likhetstegne får vi nettopp likheten over.

Vi har vist at $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ , og derfor vet vi at $∠$ APB $= 90^{\circ}$ .

Svar: Vi ser at svarene vi fikk i b) stemmer.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

Vinkel

En vinkel er en geometrisk figur satt sammen av to rette linjer med samme startpunkt. Vinkler måles i grader.

vinkeler

For flere forklaringer og eksempler på skalarproduktet, se artikkelen Prikkprodukt og norm.

Oppgave 5 (6 poeng) Nettkode: E-4CWG

Ved en videregående skole skal elevene velge fag. Hendelsene $M$ og $F$ definerer vi slik:

$M$ : Eleven velger matematikk.

$F$ : Eleven velger fysikk.

Vi får opplyst at $P (M) = 0, 64$ , $P (F) = 0, 32$ og $P (\overset{______}{M \cup F}) = 0, 30$ .

a)

Bestem $P (M \cap F)$ og $P (M \cap \bar{F})$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

En måte å få oversikt over de forskjellige sannsynlighetene er å tegne opp et krysstabell

Vi starter med å fylle ut den informasjonen vi får oppgitt.

1. $P (M) = 0, 64$ , fyller vi helt under matematikk kolonnen. Det er $64 %$ som har valgt matematikk, uavhengig av om de har valgt fysikk eller ikke.

2. $P (F) = 0, 32$ , fyller vi helt under fysikk kolonnen. Det er $32 %$ som har valgt fysikk, uavhengig av om de har valgt matematikk eller ikke.

3. $P (M \cup F)$ , merk at $M \cup F$ betyr de som har valgt matematikk eller fysikk. Derfor betyr $P (\overset{_____}{M \cup F})$ de som hverken har valgt fysikk eller matematikk.

Vi fyller ut resten av krysstabellen (bruk summene som står der)

1. $P (M \cap F)$ betyr sannsynligheten for de som har valgt både matematikk og fysikk. Vi leser av i tabellen og ser at det står $0, 26$ .

2. $P (M \cap \bar{F})$ betyr sannsynligheten for de som har valgt matematikk, men ikke fysikk. Vi leser av i tabellen og ser at det står $0, 38$ .

Svar: $P (M \cap F) = 0, 26$ og $P (M \cap \overline{F}) = 0, 38$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.

Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.

Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.

Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.

sannsynlighet

Union

Unionen av to mengder A og B er en ny mengde $A \cup B$ som består av alle elementer som forekommer i minst en av A og B.

Eksempel: hvis $A = \{2, 4, 5, 18\} o g B = \{1, 2, 4, 24\}$ er to mengder, blir unionen $A \cup B = \{1, 2, 4, 5, 18, 24\}$ .

union

Snitt

Snittet av to mengder A og B er en ny mengde $A \cap B$ som består av alle elementer som forekommer både i A og B.

Eksempel:

$A = {2, 4, 5, 18} o g B = {1, 2, 4, 24}$

$A \cap B = {2, 4}$

snitt

Komplement

Komplementet til A, betegnet med $A^{c}$ , består av alle elementer som er i utfallsrommet U men ikke i A. Med andre ord, $A^{c} = U ∖ A$ .

komplement

For flere forklaringer og eksempler på union og snitt, se artikkelen Union og snitt av mengder.

b)

Bestem $P (F | M)$ . Undersøk om hendelsene $M$ og $F$ er uavhengige.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Her er det gitt at eleven tar matematikk, og vi skal finne sannsynligheten for at eleven også tar fysikk. Gunstige er $P (M \cap F)$ og mulige er $P (M)$ . Hendelsene $M$ og $F$ er uavhengige hvis sannsynligheten for at en elev tar fysikk er uavhengig av at eleven tar matematikk eller ikke, altså at $P (F) = P (F | M)$ .

Siden gunstige er $P (M \cap F)$ og mulige er $P (M)$ , får vi regnestykket $P (F | M) = \frac{P (M \cap F)}{P (M)} = \frac{0, 26}{0, 64} \approx 0, 41$

I tillegg sjekker vi om $M$ og $F$ er uavhengige:
Siden $P (F | M) = 0, 41$ og $P (F) = 0, 32$ er $M$ og $F$ ikke uavhengige.

Svar: $P (F | M) \approx 0, 41$ og $M$ og $F$ er ikke uavhengige.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Betinget sannsynlighet

Den betingede sannsynligheten $P (A | B)$ er sannsynligheten for en hendelse A forutsatt (gitt) at hendelsen B har inntruffet.

$P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ .

betinget sannsynlighet

For flere forklaringer og eksempler på betinget sannsynlighet, se artikkelen Betinget sannsynlighet.

c)

Bruk Bayes’ setning til å bestemme $P (M | F)$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Bayes’ setning lyder $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A) \cdot P (A)}{P(B)}$ Så i vår situasjon får vi $P(M|F) = \frac{P(M \cap F)}{P(F)} = \frac{P(F|M) \cdot P (M)}{P(F)}$

Vi setter inn tallene i formelen $P(M|F) = \frac{P(F|M) \cdot P (M)}{P(F)} = \frac{\frac{0, 26}{0, 64} \cdot 0, 64}{0, 32} \approx 0, 81$

Svar: $P (M | F) = 0, 81$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Betinget sannsynlighet

Den betingede sannsynligheten $P (A | B)$ er sannsynligheten for en hendelse A forutsatt (gitt) at hendelsen B har inntruffet.

$P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ .

betinget sannsynlighet

Snitt

Snittet av to mengder A og B er en ny mengde $A \cap B$ som består av alle elementer som forekommer både i A og B.

Eksempel:

$A = {2, 4, 5, 18} o g B = {1, 2, 4, 24}$

$A \cap B = {2, 4}$

snitt

, og

Bayes' setning

Bayes' setning sier at $P (A | B) = \frac{P (B | A) P (A)}{P (B)} .$

Bayes' setning

For flere forklaringer og eksempler på Bayes' setning, se artikkelen Bayes-setningen.

Oppgave 6 (8 poeng) Nettkode: E-4CWK

I et koordinatsystem har vi gitt punktene $A (- 3, - 3)$ , $B (3, 1)$ og $D (- 2, 2)$ .

a)

Bestem $∠ B A D$ og arealet av $Δ A B D$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Når vi skal finne vinkelen $∠ B A D$ , er det det samme som å finne vinkelen mellom vektorene $\vec{AB}$ og $\vec{AD}$

Hvis vi har de to vektorene $\vec{a} = [a_{1}, a_{2}]$ og $\vec{b} = [b_{1}, b_{2}]$ , som begge har utgangspunkt i det samme punktet, utspenner de en trekant, der den siste siden er vektoren $\vec{a} - \vec{b} = [a_{1} - b_{1}, a_{2} - b_{2}]$ , se figuren under

Kaller vi vinkelen imellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ for $v$ , får vi fra cosinussetningen

${|\vec{a - b}|}^{2} = {|a|}^{2} + {|b|}^{2} - 2 |a| |b| \cos (v)$

${(\sqrt{{(a_{1} - b_{1})}^{2} + {(a_{2} - b_{2})}^{2}})}^{2} =$

$= {(\sqrt{{(a_{1})}^{2} + {(a_{2})}^{2}})}^{2} + {(\sqrt{{(b_{1})}^{2} + {(b_{2})}^{2}})}^{2} - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos (v)$

$2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos (v) = {(a_{1})}^{2} + {(a_{2})}^{2} + {(b_{1})}^{2} + {(b_{2})}^{2} - {(a_{1} - b_{1})}^{2} - {(a_{2} - b_{2})}^{2}$

$2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos (v) = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + b_{1}^{2} + b_{2}^{2} - a_{1}^{2} + 2 a_{1} b_{1} - b_{1}^{2} - a_{2}^{2} + 2 a_{2} b_{2} - b_{2}^{2}$

$2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos (v) = 2 a_{1} b_{1} + 2 a_{2} b_{2}$

$|\vec{a}| |\vec{b}| \cos (v) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$

$|\vec{a}| |\vec{b}| \cos (v) = \vec{a} \cdot \vec{b}$

Nå har vi en sammenheng mellom to vektorer, og vinkelen imellom dem.

Når vi så skal finne arealet i en trekant, og fra trigonometrien vet vi at arealsetningen kan brukes $T = \frac{1}{2} \cdot p \cdot q \cdot sin v$

Vi starter med å regne ut vektorene $\vec{AB}$ og $\vec{AD}$

$\vec{AB} = [3 - (- 3), 1 - (- 3)] = [6, 4]$
$\vec{AD} = [- 2 - (- 3), 2 - (- 3)] = [1, 5]$

Så trenger vi lengden av vektorene og skalarproduktet imellom dem

$| \vec{AB} | = | [6, 4] | = \sqrt{6^{2} + 4^{2}} = \sqrt{52}$
$| \vec{AD} | = | [1, 5] | = \sqrt{1^{2} + 5^{2}} = \sqrt{26}$
$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = [6, 4] \cdot [1, 5] = 6 \cdot 1 + 4 \cdot 5 = 26$

Da får vi at $\begin{matrix} | \vec{AB} | | \vec{AD} | cos ∠ B A D & = \vec{AB} \cdot \vec{AD} \\ \sqrt{52} \cdot \sqrt{26} \cdot cos ∠ B A D & = 26 \\ cos ∠ B A D & = \frac{26}{\sqrt{52} \cdot \sqrt{26}} \\ cos ∠ B A D & = \frac{26}{\sqrt{2 \cdot 26} \cdot \sqrt{26}} \\ cos ∠ B A D & = \frac{26}{\sqrt{2} \cdot 26} \\ cos ∠ B A D & = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ cos ∠ B A D & = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \\ cos ∠ B A D & = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ ∠ B A D & = {cos}^{- 1} (\frac{\sqrt{2}}{2}) \\ ∠ B A D & = 45^{\circ} \end{matrix}$ Nå kan vi bruke arealsetningen til å regne ut arealet av trekanten $\begin{matrix} T & = \frac{1}{2} \cdot p \cdot q \cdot sin v \\ T & = \frac{1}{2} | \vec{AB} | | \vec{AD} | sin ∠ B A D \\ T & = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{52} \cdot \sqrt{26} \cdot sin ∠ 45^{\circ} \\ T & = \frac{1}{2} \cdot 26 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ T & = 13 \end{matrix}$

Svar: $∠ B A D = 45 %$ og arealet av $Δ A B D$ er $13$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekanter

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

Sinus

Forholdet mellom lengdene til motstående katet og hypotenus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant.

$\sin (A) = \sin (u) = \frac{{motstående}_{katet}}{hypotenus} = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}$

sinus

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Vinkelen mellom to vektorer.

b)

Et punkt $C$ er gitt ved at $D C ∥ A B$ og $∠ A B C = 90^{\circ}$ .

Bestem ved regning koordinatene til $C$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi lar koordinatene til $C$ være $(x, y)$ . At $D C ∥ A B$ er det samme som å si at $\vec{DC}$ er parallell med $\vec{AB}$ . Da vet vi at det finnes et reelt tall $s$ , slik at $\vec{DC} = s \cdot \vec{AB}$ .

At $∠ A B C =$ $90^{\circ}$ er det samme som å si at vektor $\vec{AB}$ står normalt på $\vec{BC}$ , og det betyr at skalarproduktet mellom dem er lik null, altså $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0$

Siden $\vec{DC}$ er parallell med $\vec{AB}$ får vi $\vec{DC} = s \cdot \vec{AB}$ . $\begin{matrix} \vec{AB} = [3 - (- 3), 1 - (- 3)] = [6, 4] \\ \vec{CD} = [- 2 - x, 2 - y] \\ [- 2 - x, 2 - y] = s [6, 4] \\ - 2 - x = 6 s og 2 - y = 4 s \\ s = \frac{- 2 - x}{6} og s = \frac{2 - y}{4} \\ \frac{- 2 - x}{6} = \frac{2 - y}{4} | \cdot 12 \\ - 4 - 2 x = 6 - 3 y \\ 3 y - 2 x = 10 \end{matrix}$ Ut ifra dette har vi fått en sammenheng mellom $x$ -verdien og $y$ -verdien til $C$ .

Siden $∠$ ABC= $90^{\circ}$ vet vi at $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0$ . $\vec{BC} = [x - 3, y - 1]$ så derfor får vi $\begin{matrix} \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0 \\ [6, 4] \cdot [x - 3, y - 1] = 0 \\ 6 (x - 3) + 4 (y - 1) = 0 \\ 6 x - 18 + 4 y - 4 = 0 \\ 6 x + 4 y = 22 \\ 3 x + 2 y = 11 \end{matrix}$ Altså har vi en til sammenheng mellom $x$ -verdien og $y$ -verdien til $C$ . Nå kan vi løse de to som et likningssett. ${\begin{matrix} 3 y - 2 x = 10 \\ 3 x + 2 y = 11 \end{matrix}$ Her kan vi bruke addisjonsmetoden ved å gange den øverste likningen med $3$ , og den nederste med $2$ , for deretter å legge sammen de to likningene (på denne måten blir vi kvitt $x$ ). ${\begin{matrix} 9 y - 6 x = 30 \\ 6 x + 4 y = 22 \end{matrix}$ Legger vi disse sammen får vi $\begin{matrix} 9 y - 6 x + 6 x + 4 y & = 30 + 22 \\ 13 y & = 52 \\ y & = 4 \end{matrix}$ Til slutt setter vi $y = 4$ inn i en av de andre likningene for å finne $x$ . $\begin{matrix} 9 \cdot 4 - 6 x & = 30 \\ 36 - 6 x & = 30 \\ 36 - 30 & = 6 x \\ x = 1 \end{matrix}$

Svar: $C$ har koordinatene $(1, 4)$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

Ligningssett

Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.

likningssystem

Parallell

To rette linjer i et plan er parallelle når de ikke skjærer hverandre. Avstanden mellom linjene er den samme uansett hvor du måler.

Tegnet som forteller at to linjer er parallelle: $∥$

Eksempel: $g ∥ f$ , leses "linja g er parallell med linja f".

parallelle vektorer

Koordinatsystem

koordinatsystem

For flere forklaringer og eksempler på parallelle vektorer og ortogonale vektorer, se artikkelene Parallelle vektorer og Ortogonale vektorer.

c)

En parameterframstilling for linjen $l$ som går gjennom $C$ og $D$ , er gitt ved

$l : \{\begin{matrix} x = - 2 + 3 t \\ y = 2 + 2 t \end{matrix}$

Et punkt $E$ har koordinatene $(s, 2 s - 2)$ .

Bestem ved regning en verdi for $s$ slik at $E$ ligger på $l$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

$E$ er slik at hvis du tar $x$ -koordinatet og ganger det med to, for deretter og trekke fra to, vil du alltid få $y$ -koordinatet. Det er dette vi skal se etter på linja.

På grunn av dette har vi likningen $\begin{matrix} 2 x - 2 & = y \\ 2 (- 2 + 3 t) - 2 & = 2 + 2 t \\ - 4 + 6 t - 2 & = 2 + 2 t \\ 4 t & = 8 \\ t & = 2 \end{matrix}$ Verdien $s$ slik at $E$ ligger på linja er når $t = 2$ , altså når ${\begin{matrix} x = - 2 + 3 \cdot 2 = 4 \\ y = 2 + 2 \cdot 2 = 6 \end{matrix}$ Altså er $s = 4$ .

Svar: $s = 4$ , $E (4, 6)$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Ligningssett

Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.

likningssystem

Koordinatsystem

koordinatsystem

For flere forklaringer og eksempler på parameterframstilling, se artikkelen Parameterframstilling av en rett linje.

d)

Bestem koordinatene til punktet $E$ når $|\vec{A E}| = |\vec{B E}|$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker:

Lengden til en vektor $[a, b]$ er gitt ved $| [a, b] | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ Dette kommer fra at du har beveget deg lengde $a$ i $x$ -retning og lengde $b$ i $y$ -retning, og så bruker vi Pytagoras.

Vi regner ut utrykkene for de to lengdene hver for seg

$| \vec{AE |} = | [s - (- 3), 2 s - 2 - (- 3)] | = | [s + 3, 2 s + 1] |$

$= \sqrt{{(s + 3)}^{2} + {(2 s + 1)}^{2}} = \sqrt{s^{2} + 6 s + 9 + 4 s^{2} + 4 s + 1} = \sqrt{5 s^{2} + 10 s + 10}$

$| \vec{BE} | = | [s - 3, 2 s - 2 - 1] | = | [s - 3, 2 s - 3] |$

$= \sqrt{{(s - 3)}^{2} + {(2 s - 3)}^{2}} = \sqrt{s^{2} - 6 s + 9 + 4 s^{2} - 2 s + 9} = \sqrt{5 s^{2} - 18 s + 18}$

Så setter vi disse lik hverandre $\begin{matrix} \sqrt{5 s^{2} + 10 s + 10} & = \sqrt{5 s^{2} - 18 s + 18} \\ (\sqrt{5 s^{2} + 10 s + 10})^{2} & = (\sqrt{5 s^{2} - 18 s + 18})^{2} \\ 5 s^{2} + 10 s + 10 & = 5 s^{2} - 18 s + 18 \\ 5 s^{2} - 5 s^{2} + 10 s + 18 s & = 18 - 10 \\ 28 s & = 8 \\ s & = \frac{2}{7} \end{matrix}$ Derfor får vi koordinatene $E (\frac{2}{7}, - \frac{10}{7})$ .

Svar: $E (\frac{2}{7}, - \frac{10}{7})$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Like vektorer.

Oppgave 7 (2 poeng) Nettkode: E-4CWP

Løs likningen med hensyn på $x$

$n^{2} \cdot {(\frac{x}{n})}^{l g (x) - 2} = x^{2}, x > 0 \land n > 0$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

Dette er ikke en typisk likning. Vi skal finne $x$ , men $n$ kan være hvilket som helst positivt tall. Derfor kan vi forvente at $x$ er uttrykt med $n$ i svaret. I denne typen oppgaver prøver man ofte flere metoder før man ser hva som leder oss til svaret. Den viktige observasjonen kommer etter å dele på $n^{2}$ på begge sider av likningen, så man får likningen på formen $(\frac{x}{n})^{lg (x) - 2} = (\frac{x}{n})^{2}$

Når vi deler på $n^{2}$ på begge sider av likningen, så man får likningen på formen $(\frac{x}{n})^{lg (x) - 2} = (\frac{x}{n})^{2}$ Vi ser at på begge sider har vi $\frac{x}{n}$ opphøyd i noe. Så med mindre $\frac{x}{n}$ er lik 1, -1 eller 0, kan vi konkludere med at eksponenten på venstre side er lik eksponenten på høyre side.

Først ser vi at $\frac{x}{n} = - 1$ og $\frac{x}{n} = 0$ fører til at $x = - n$ og $x = 0$ , som ikke går fordi $x > 0$ og $n > 0$ .

$\frac{x}{n} = 1$ gir $x = n$ , som er en løsning.

Dersom eksponentene er lik hverandre har vi $lg (x) - 2 = 2 \Rightarrow lg (x) = 4$ som gir $x = 10^{4} = 10000$ , som er den andre løsningen.

Svar: $x = n$ eller $x = 10000$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

Eksempel: log₁₀(1000) = 3 ettersom 10³ = 1000.

logaritmer

Eksponent

En potens er et tall på formen xⁿ, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. n kalles eksponenten.

xⁿ = x · x · x...· x, n ganger

eksponenter

For flere forklaringer og eksempler på logaritmelikninger, se artikkelen Logaritmelikninger.

REA3022 2013 Høst

Del 1

Del 2

Eksamensinformasjon

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (5 poeng) Nettkode: E-4CVE

a)

Løsningsforslag a)

Funksjon

Derivasjon

b)

Løsningsforslag b)

Funksjon

Derivasjon

c)

Løsningsforslag c)

Brøk

Teller

Nevner

Brøk

Derivasjon

Oppgave 2 (3 poeng) Nettkode: E-4CVI

a)

Løsningsforslag a)

Nullpunkt

Polynom

b)

Løsningsforslag b)

Fortegnsskjema

Nullpunkt

Polynom

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4CVL

Løsningsforslag

Trekant

Vinkel

Geometri

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4CVN

Løsningsforslag

Ligning

Potensiell teori

Grunntall

Eksponent

Oppgave 5 (4 poeng) Nettkode: E-4CVP

a)

Løsningsforslag a)

Vektor

b)

Løsningsforslag b)

Vektor

Oppgave 6 (5 poeng) Nettkode: E-4CVS

a)

Løsningsforslag a)

Derivasjon

Polynom

b)

Løsningsforslag b)

Konkav

Konveks

Toppunkt

Bunnpunkt

Vendepunkt

Derivasjon

c)

Løsningsforslag c)

Toppunkt

Bunnpunkt

Vendepunkt

Konkav

Konveks

Derivasjon

Oppgave 7 (3 poeng) Nettkode: E-4CVW

a)

Løsningsforslag a)

Sirkel

Ligning

Koordinatsystem

b)

Løsningsforslag b)

Koordinatsystem

Punkt