Høyere ordens deriverte

Eksempel

Oppgave. Finn den andre ordens deriverte av $f\left(x\right)=x^4$.

Løsning. Vi deriverer først én gang:

            $f\text{'}\left(x\right)=4x^3$,

og så deriverer vi $f\text{'}\left(x\right)$ for å få $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$:

            $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\left[f\text{'}\left(x\right)\right]=\left[4x^3\right]\text{'}=12x^2$

Vi skriver $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$ for den andrederiverte,  $f\text{'}\text{'}\text{'}\left(x\right)$ for tredjederiverte og så videre. Vi kan også skrive $f^{(n)}\left(x\right)$ for den n-te deriverte, altså $f$ derivert $n$ ganger.

Illustrerende eksempel

Men hvorfor høyere ordens deriverte? Her er et eksempel, men du kan finne flere bruksområder i lynkurset om funksjonsdrøfting.

Funksjonen $s\left(x\right)$ angir hvor langt en bil har kjørt ved tiden $x$. Vi finner hastigheten til bilen ved å derivere funksjonen $s\left(x\right)$. Den deriverte gir nemlig endringen til funksjonen per $x$, altså hvor langt bilen kjører per tid. Det er jo nettopp det hastigheten er: meter per sekund, endring i plassering per tid.

Så langt, så godt, men hva skjer hvis vi deriverer $s\text{'}\left(x\right)$ igjen? Vi skriver $s\text{'}\text{'}\left(x\right)$. Da får vi endringen i fart per tid. Dette gir hvor mye farten stiger eller synker. Men dette er jo akselerasjonen!

Vi har altså at hvis $s\left(x\right)$ er plasseringen, er $s\text{'}\left(x\right)$ farten og $s\text{'}\text{'}\left(x\right)$ akselerasjonen.

GeoGebra-eksempler

Trykk på GeoGebra-arket under for å se noen forskjellige funksjoner. Her kan du bruke funksjonsvelgeren for å bytte hva som er lagt inn som $f\left(x\right)$, og få se første-, andre- og tredjeordens derivert. Prøv å tegne for deg selv på forhånd hva disse kommer til å være før du ser på dem – det går an å se det bare av funksjonen (og kanskje noen av de deriverte).

Deriverte