Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

REA3022 2017 Høst

Del 1
Del 2
Eksamensinformasjon

Eksamenstid:

5 timer:

Del 1 skal leveres inn etter 3 timer.

Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler på Del 1:

Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Hjelpemidler på Del 2:

Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:

Del 1 har 7 oppgaver. Del 2 har 4 oppgaver.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, kan en alternativ metode gi lav/noe uttelling.

Bruk av digitale verktøy som graftegner og CAS skal dokumenteres med utskrift eller gjennom en IKT-basert eksamen.

Veiledning om vurderingen:

Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

viser regneferdigheter og matematisk forståelse
gjennomfører logiske resonnementer
ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
forklarer framgangsmåter og begrunner svar
skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger
vurderer om svar er rimelige

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (5 poeng) Nettkode: E-4TBF

Deriver funksjonene

a)

$f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Funksjonen er en sum av funksjoner på formen $a x^{n}$ , der $a$ og $n$ er konstanter. Den deriverte til en sum er lik summen av de deriverte.

Funksjonen $f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$ er en sum av funksjoner på formen $a x^{n}$ . Fra derivasjonsreglene for en potensfunksjon får vi at ${(x^{n})}^{'} = n a x^{n - 1}$ . Vi har også at den deriverte til en konstant er lik $0$ . Vi kan finne den deriverte ved å derivere ledd for ledd ved hjelp av disse reglene.

$\begin{matrix} f' (x) & = & (3 x^{2} - 2 x + 1)' \\ = & (3 x^{2})' - (2 x)' + (1)' \\ = & 6 x - 2 \end{matrix}$

Svar: $f' (x) = 6 x - 2$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

For flere forklaringer og eksempler på derivasjon, se artikkelen Derivasjonsregler.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om derivasjon fra Treningsleiren.

b)

$g (x) = x^{2} e^{x}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Funksjonen $g (x)$ er et produkt av to faktorer, da kan vi bruke produktregelen.

For to funksjoner $u (x)$ og $v (x)$ har vi ved produktregelen at $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$ Funksjonen $g (x)$ er et produkt av faktorene $u (x) = x^{2}$ og $v (x) = e^{x}$ . Vi kan bruke produktregelen for å derivere $g (x)$ . Fra derivasjonsreglene har vi at $(e^{x})' = e^{x}$ . Da får vi at

$\begin{matrix} g' (x) & = & (x^{2} e^{x})' \\ = & (u \cdot v)' \\ = & u' \cdot v + u \cdot v' \\ = & (x^{2})' \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x} \\ = & 2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x} \\ = & x (2 + x) e^{x} \end{matrix}$

Svar: $g' (x) = x (2 + x) e^{x}$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Produkt

Produkt er et resultat av en multiplikasjon.

Eksempel: 2 · 7 = 14

14 er produktet, mens 2 og 7 kalles faktorer.

produkt

Faktor

I en multiplikasjon kalles tallene faktorer. Resultatet kalles et produkt.

Eksempel: 5 · 3 = 15. Her er 5 og 3 er faktorer. Tallet 15 er produktet. Vi kan si at 15 består av faktorene 5 og 3.

faktorer

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Derivasjonsregler.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om derivasjon fra Treningsleiren.

c)

$h (x) = \ln (x^{3} - 1)$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi har en sammensatt funksjon med kjerne $u = x^{3} - 1$ og en ytre funksjon $\ln u$ . Da kan vi bruke kjerneregelen.

Funksjonen $h (x)$ er en sammensatt funksjon, og vi kan sette $h (x) = g (u) = \ln u$ der $u = x^{3} - 1$ er kjernen. Vi kan bruke kjerneregelen til å derivere $h (x)$ . Fra kjerneregelen har vi at $h' (x) = g' (u) \cdot u' .$ Vi husker at den deriverte til $\ln u$ er lik $\frac{1}{u}$ , og for kjernen får vi at $u' (x) = (x^{3} - 1)' = 3 x^{2} .$ Den deriverte til den sammensatte funksjonen blir da $h' (x) = g' (u) \cdot u' = (\ln u)' \cdot u' = \frac{1}{u} \cdot 3 x^{2} .$ Nå kan vi sette inn for $u$ , og får da $h' (x) = \frac{1}{x^{3} - 1} \cdot 3 x^{2} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} - 1} .$

Svar: $h' (x) = \frac{3 x^{2}}{x^{3} - 1}$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

Eksempel: log₁₀(1000) = 3 ettersom 10³ = 1000.

logaritmer

For flere forklaringer og eksempler på derivasjon, se artikkelen Kjerneregelen.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om derivasjon fra Treningsleiren.

Oppgave 2 (2 poeng) Nettkode: E-4TBJ

Skriv så enkelt som mulig

$2 \ln b - \ln (\frac{1}{b}) - \ln (a b^{2}) + \ln (\frac{a}{b^{2}})$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Her har vi et uttrykk med logaritmeledd. Da kan logaritmesetningene være nyttig for å omforme uttrykket.

Logaritmesetningene kan være nyttig å bruke for å omforme leddene i uttrykket vårt. Fra dem har vi at
$\begin{matrix} (1) & \ln a^{x} = & x \cdot \ln a \\ (2) & \ln (a b) = & \ln a + \ln b \\ (3) & \ln (\frac{a}{b}) = & \ln a - \ln b \end{matrix}$
Vi kan ta for oss ledd for ledd og se om vi kan forenkle de. Det andre leddet kan vi skrive om slik at vi får $\ln (\frac{1}{b}) = \ln 1 - \ln b$ Vi har også at $\ln 1 = 0$ og får at $\ln (\frac{1}{b}) = - \ln b$ . I neste ledd, $\ln (a b^{2})$ , kan vi bruke setning $(1)$ og $(2)$ og får at $\ln (a b^{2}) = \ln a + \ln b^{2} = \ln a + 2 \ln b$ Ved å bruke $(1)$ og $(3)$ kan vi skrive det siste leddet om, slik at vi får $\ln (\frac{a}{b^{2}}) = \ln a - \ln b^{2} = \ln a - 2 \ln b$ Nå kan vi skrive om uttrykket og se om vi kan bli kvitt noen ledd

$\begin{matrix} = & 2 \ln b - (- \ln b) - (\ln a + 2 \ln b) + (\ln a - 2 \ln b) \\ = & 2 \ln b + \ln b - \ln a - 2 \ln b + \ln a - 2 \ln b \\ = & - \ln b \end{matrix}$

Svar: $- \ln b$

Mer om:

Denne oppgaven handler om logaritmer.

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Den naturlige logaritmen.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om logaritmelikninger fra Treningsleiren.

Oppgave 3 (6 poeng) Nettkode: E-4TBL

Vektorene $\vec{a} = [3, 1]$ , $\vec{b} = [4, 2]$ og $\vec{c} = [t + 1, 3]$ er gitt, der $t \in ℝ$ .

a)

Bestem $\vec{a} - 2 \vec{b}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Når vi skal subtraherer to vektorer, subtraherer vi koordinatvis.

Vi skal subtrahere vektorene koordinatvis, altså subtraherer vi førstekoordinatene for seg og andrekoordinatene for seg. Den ene vektoren $\vec{b}$ er multiplisert med en konstant. For en vektor, $\vec{v} = [x, y]$ multiplisert med en konstant $k$ har vi at $k \cdot [x, y] = [k x, k y]$ . Ved dette får vi at $\vec{a} - 2 \vec{b} = [3, 1] - 2 \cdot [4, 2] = [3, 1] - [8, 4] = [3 - 8, 1 - 4] = [- 5, - 3] .$

Svar: $[- 5, - 3]$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

For flere forklaringer og eksempler, se artiklene Addisjon av vektorer og Skalarmultiplikasjon.

b)

Bestem $\vec{a} \cdot \vec{b}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi skal finne skalarproduktet av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Vi finner skalarproduktet av to vektorer $\vec{u} = [x_{1}, y_{1}]$ og $\vec{v} = [x_{2}, y_{2}]$ ved $\vec{u} \cdot \vec{v} = [x_{1}, y_{1}] \cdot [x_{2}, y_{2}] = x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2} .$ For $\vec{a}$ og $\vec{b}$ får vi at skalarproduktet er $\vec{a} \cdot \vec{b} = [3, 1] \cdot [4, 2] = 3 \cdot 4 + 1 \cdot 2 = 12 + 2 = 14 .$

Svar: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 14$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Prikkprodukt og norm.

c)

Bestem $t$ slik at $\vec{b} ∥ \vec{c}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Dersom $\vec{b} ∥ \vec{c}$ har vi at $\vec{b} = k \vec{c}$ for en $k \neq 0$ .

For at $\vec{b} ∥ \vec{c}$ må det finnes en $k$ slik at vi kan skrive $\vec{b} = k \vec{c}$ , altså må vi ha at $[4, 2] = k [t + 1, 3] \Rightarrow 4 = k (t + 1) og 2 = k \cdot 3 .$ Fra likningen $2 = k \cdot 3$ får vi at $k = \frac{2}{3}$ og det medfører at $4 = \frac{2}{3} (t + 1) = \frac{2}{3} t + \frac{2}{3}$ som vi kan løse med hensyn på $t$ . Multipliserer vi først med $3$ får vi at:

$\begin{matrix} 2 t & = & 12 - 2 \\ 2 t & = & 10 \\ t & = & 5 & . \end{matrix}$

Dersom $\vec{b} ∥ \vec{c}$ må $t = 5$ .

Svar: $t = 5$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Parallelle vektorer.

d)

Bestem $t$ slik at $| \vec{a} | = | \vec{c} |$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

Lengden, eller normen, til en vektor $\vec{v} = [x, y]$ er $| \vec{v} | = | [x, y] | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

Vi vil finne $t$ slik at $| \vec{a} | = | \vec{c} |$ . Lengden til en vektor $\vec{v} = [x, y]$ er $| \vec{v} | = | [x, y] | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ , så har vi at $\sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{(t + 1)^{2} + 3^{2}} .$ Vi kan kvadrere begge sider av likningen og løse opp parentesen $(t + 1)^{2}$ ved første kvadratsetning. Da får vi

$\begin{matrix} 3^{2} + 1^{2} & = & (t + 1)^{2} + 3^{2} \\ 9 + 1 & = & (t^{2} + 2 t + 1) + 9 \\ t^{2} + 2 t & = & 0 & . \end{matrix}$

Vi kan faktorisere dette slik at vi får $t^{2} + 2 t = t (t + 2)$ For at dette skal være lik $0$ må vi enten ha at $t = 0$ eller at $t = - 2$ . Det betyr at for $t = 0$ og $t = - 2$ er $| \vec{a} | = | \vec{c} |$ .

Svar: $t = 0$ og $t = - 2$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Prikkprodukt og norm.

Oppgave 4 (5 poeng) Nettkode: E-4TBQ

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = 2 (x - 3)^{2}, 0 < x < 3$

En rettvinklet $△ A B C$ er gitt ved punktene $A (0, 0)$ , $B (x, 0)$ og $C (x, f (x))$ . Se skissen til høyre.

a)

Vis at arealet $F$ til $△ A B C$ kan skrives som

$F (x) = x^{3} - {6 x}^{2} + 9 x$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Arealet til en trekant er gitt ved $A = \frac{g \cdot h}{2}$ , der $g$ er grunnlinje og $h$ er høyden. I $△ A B C$ har vi at $g = A B$ og $h = B C$ .

$△ A B C$ er en trekant med grunnlinje $g = A B$ og høyde $h = B C$ . Arealet $F$ er da gitt ved $\frac{A B \cdot B C}{2}$ . Lengden $A B = x$ og lengden på $B C$ er gitt ved funksjonsverdien til $f$ , $B C = f (x) = 2 (x - 3)^{2}$ .

Da kan vi finne arealet ved å sette inn i formelen over $F (x) = \frac{x \cdot 2 (x - 3)^{2}}{2} = \frac{2 x (x^{2} - 6 x + 9)}{2} = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x .$ Dette var det vi ville frem til.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekanter

b)

Bestem $x$ slik at arealet til $△ A B C$ blir størst mulig.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi kan finne ekstremalpunktene til arealfunksjonen $F (x)$ ved å finne når $F' (x) = 0$

Vi vil finne når funksjonen $F (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ er størst. Da kan vi finne ekstremalpunktene til funksjonen ved å sette $F' (x) = 0$ . Vi begynner med å derivere funksjonen: $F' (x) = (x^{3} - 6 x^{2} + 9 x)' = 3 x^{2} - 12 x + 9 .$ Videre vil vi løse ${3 x}^{2} - 12 x + 9 = 0$ med hensyn på x. Vi kan begynne med å dividere med $3$ . Da får vi likningen $x^{2} - 4 x + 3 = 0 .$ For å finne nullpunktene kan vi bruke abc-formelen. Den gir at $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ der $a = 1, b = - 4$ og $c = 3$ . Vi setter inn og får

$\begin{matrix} x & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} \\ = & \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} \\ = & \frac{4 \pm 2}{2} & . \end{matrix}$

Løsningen til likningen $x^{2} - 4 x + 3$ er $x = \frac{4 + 2}{2} = 3$ og $x = \frac{4 - 2}{2} = 1$ . Siden x skal ligge i $(0, 3)$ ser vi kun på $x = 1$ . For å sjekke om x=1 gir et toppunkt bruker vi "2. derivert testen". Dersom andrederiverte til $F$ i x=1 er negativ, så er grafen til $F$ konkav i området rundt $(1, F (1))$ .

Vi har at $F ″ (x) = (3 x^{2} - 12 x + 9)' = 6 x - 12 .$

Vi setter inn $1$ og får $F ″ (1) = 6 \cdot 1 - 12 = - 6 < 0 .$

Da er $x = 1$ det eneste maksimalpunktet på intervallet (0, 3) og maksimalverdien til arealet av $△ A B C$ er gitt ved $F (1) = 1^{3} - 6 \cdot 1^{2} + 9 \cdot 1 = 1 - 6 + 9 = 4 .$

Svar: Vi får størst mulig areal når $x = 1$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Andrederiverte

Den andrederiverte til en funksjon $f (x)$ er funksjonen derivert to ganger og skrives $f'' (x)$ eller $f^{(2)} (x)$ . Kalles også annenderiverte eller dobbeltderiverte.

annenderiverte

Ekstremalpunkt

Vi sier at et punkt $x = a$ er et ekstremalpunkt for en funksjon $f (x)$ hvis det enten er et toppunkt eller bunnpunkt for funksjonen.

ekstremalpunkter

For flere forklaringer og eksempler, se artiklene Topp- og bunnpunkter og Krumningsegenskaper.

c)

Bestem arealet når $x = 2$ . Er det andre $x$ -verdier som gir dette arealet?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi finner arealet for $x = 2$ ved å regne ut $F (2)$ .

Når $x = 2$ er arealet gitt ved $F (2) = 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 = 8 - 24 + 18 = 2 .$ Dersom det finnes andre $x$ -verdier som gir samme areal må vi ha at $x$ tilfredstiller likningen $F (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x = 2 \Rightarrow x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 2 = 0 .$ Vi vet at $x = 2$ er et nullpunkt for uttrykket, så $x - 2$ er en faktor i $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 2$ . Nå kan vi bruke polynomdivisjon for å finne de andre faktorene. Da ser vi på $(x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 2) \div (x - 2)$ .

Vi kan faktorisere $x^{2} - 4 x + 1$ ved $a b c$ -formelen.

$\begin{matrix} x & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} \\ = & \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} \\ = & \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} \\ = & \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2} \\ = & 2 \pm \sqrt{3} & . \end{matrix}$

Vi har at $1^{2} < {\sqrt{3}}^{2}$ så $1 < \sqrt{3}$ , som betyr at $x = 2 + \sqrt{3} > 3$ og utenfor definisjonsmengden, men $x = 2 - \sqrt{3}$ er i definisjonsmengden, og gir samme areal som $x = 2$ .

Svar: $x = 2$ gir areal lik 2. Det samme gjør $x = 2 - \sqrt{3}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkt

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynomer

For flere flere forklaringer og eksempler på polynomdivisjon, se artiklene Polynomdivisjon - skritt for skritt og Nullpunktsetningen - når går divisjonen opp?.

Oppgave 5 (6 poeng) Nettkode: E-4TC8

En nøkkelboks er en boks med plass til nøkler. Noen slike bokser har kodelås.

For én type nøkkelboks lages en kode ved å stille inn fire tall. Hvert tall velges blant tallene $0$ til $9$ . Et tall kan velges flere ganger. Tallene må være stilt inn i en bestemt rekkefølge.

a)

Hvor mange ulike koder finnes det for denne typen nøkkelboks.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi kan velge samme siffer flere ganger, som betyr at for hvert av de fire tall kan vi velge mellom $10$ siffer. Rekkefølgen vi velger sifrene har betydning for koden, så vi har et ordnet utvalg med tilbakelegging.

Utvalget er ordnet med tilbakelegging. For hvert av de fire tallene kan vi velge mellom $10$ siffer. Da kan vi lage $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{4} = 10000$ koder.

Svar: Det finnes $10000$ ulike koder for denne typen nøkkelboks.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Kombinatorikk

Handler om å finne antall mulige kombinasjoner i ulike sammenhenger.

Eksempel: antall måter å kombinere Lotto-tallene på, eller hvor mange ulike antrekk vi kan ha på oss dersom vi har 2 bukser og 3 skjorter.

kombinatorikk

Ordnede utvalg

Når vi trekker objekter fra en samling og rekkefølgen vi trekker i er viktig, kalles dette for et ordnet utvalg.

ordnede utvalg

Uten tilbakelegging

Dersom vi ikke legger tilbake den første gjenstanden før vi trekker neste, sier vi at et forsøk er gjort uten tilbakelegging.

Eksempel: Lottotrekning.

uten tilbakelegging

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Ordnede utvalg.

For en annen type nøkkelboks lages en kode ved å velge et bestemt antall forskjellige tall blant tallene $0$ til $9$ . Tallene trenger ikke å være stilt inn i en bestemt rekkefølge.

Løs oppgaven her

b)

Hvor mange ulike koder finnes for denne typen nøkkelboks dersom koden skal bestå av fire forskjellige tall?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Nå spiller ikke rekkefølgen vi velger tallene i noen rolle, og vi har da et uordnet utvalg. De fire tallene skal nå være ulike, så utvalget er uten tilbakelegging.

Når vi har et uordnet utvalg uten tilbakeleggning kan vi bruke binomialkoeffisienten $(\binom{n}{k})$ , der $n$ er antall elementer vi kan velge mellom, som i vårt tilfelle er $10$ og $k$ er antall elementer vi velger, som her er $4$ . Da får vi $(\binom{10}{4}) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{10 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210 .$

Svar: For denne typen nøkkelboks finnes det $210$ ulike koder.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Kombinatorikk

Handler om å finne antall mulige kombinasjoner i ulike sammenhenger.

Eksempel: antall måter å kombinere Lotto-tallene på, eller hvor mange ulike antrekk vi kan ha på oss dersom vi har 2 bukser og 3 skjorter.

kombinatorikk

Uordnede utvalg

Når vi trekker objekter fra en samling og rekkefølgen vi trekker i ikke er viktig, sier vi at dette er et uordnet utvalg.

Eksempel: Lottotrekning.

uordnede utvalg

Uten tilbakelegging

Dersom vi ikke legger tilbake den første gjenstanden før vi trekker neste, sier vi at et forsøk er gjort uten tilbakelegging.

Eksempel: Lottotrekning.

uten tilbakelegging

Binomialkoeffisient

Binomialkoeffisienten

$(\begin{matrix} n \\ m \end{matrix}) = \frac{n!}{m! (n - m)!}$

hvor $n! = n \cdot (n - 1) \cdot \cdot \cdot 2 \cdot 1$ ,

forteller hvor mange måter det kan trekkes m objekter ut fra en samling av n gjenstander uten tilbakelegging.

binomialkoeffisient

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Uordnede utvalg uten tilbakelegging.

c)

Hvor mange tall må koden bestå av for at antallet mulige koder skal bli størst mulig? Hvor mange koder er det da?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi kan bruke binomialkoeffisienten $(\binom{10}{k})$ for å finne $k$ slik at vi får flest antall ulike koder.

Vi kan bruke binomialkoeffisienten for å finne $k$ slik at $(\binom{10}{k})$ blir størst mulig. Vi har $(\binom{10}{k}) = \frac{10!}{k! \cdot (10 - k)!}$ som betyr at $(\binom{10}{k}) = (\binom{10}{10 - k})$ . For at binomialkoeffisienten skal bli størst mulig må vi ha at nevneren $k! \cdot (10 - k)!$ blir minst mulig.

For $k = 0$ og $k = 10$ får vi at nevneren blir $0! 10! = 10!$ .

For $k = 1$ og $k = 9$ får vi at nevneren blir $1! \cdot 9! = 9!$ .

For $k = 2$ og $k = 8$ får vi $2! \cdot 8!$ og for $k = 3$ og $k = 7$ får vi $3! \cdot 7!$ .

Da gjenstår $k = 4$ og $k = 6$ som gir nevner $4! \cdot 6!$ og til slutt $k = 5$ der vi får nevneren $5! \cdot 5!$ .

Blant disse mulighetene så har vi at $k = 5$ gir minst nevner, og dermed flest muligheter.

Dersom koden består av $5$ tall har vi $\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{2 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 9 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 = 252$

Svar: Koden må bestå av $5$ tall, og da kan vi få $252$ ulike koder.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Kombinatorikk

Handler om å finne antall mulige kombinasjoner i ulike sammenhenger.

Eksempel: antall måter å kombinere Lotto-tallene på, eller hvor mange ulike antrekk vi kan ha på oss dersom vi har 2 bukser og 3 skjorter.

kombinatorikk

Uordnede utvalg

Når vi trekker objekter fra en samling og rekkefølgen vi trekker i ikke er viktig, sier vi at dette er et uordnet utvalg.

Eksempel: Lottotrekning.

uordnede utvalg

Uten tilbakelegging

Dersom vi ikke legger tilbake den første gjenstanden før vi trekker neste, sier vi at et forsøk er gjort uten tilbakelegging.

Eksempel: Lottotrekning.

uten tilbakelegging

Binomialkoeffisient

Binomialkoeffisienten

$(\begin{matrix} n \\ m \end{matrix}) = \frac{n!}{m! (n - m)!}$

hvor $n! = n \cdot (n - 1) \cdot \cdot \cdot 2 \cdot 1$ ,

forteller hvor mange måter det kan trekkes m objekter ut fra en samling av n gjenstander uten tilbakelegging.

binomialkoeffisient

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Uordnede utvalg uten tilbakelegging].

Oppgave 6 (7 poeng) Nettkode: E-4TCK

En $△ A B C$ har hjørnene $A (3, - 2)$ , $B (9, 4)$ og $C (1, 4)$ . Punktet $M$ er midtpunktet på $A C$ .

a)

Vis ved vektorregning at $M$ har koordinatene $M (2, 1)$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi kan sjekke koordinatene til $M$ ved å se på posisjonsvektoren $\vec{O M}$ .

Vi kan finne koordinatene ved å se på $\vec{O M} = \vec{O A} + \vec{A M}$ , der $\vec{O A} = [3, - 2]$ og $\vec{A M} = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} [1 - 3, 4 - (- 2)] = [- 1, 3]$ . Setter vi inn får vi at $\vec{O M} = [3, - 2] + [- 1, 3] = [2, 1]$ som var det vi ville frem til.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

For flere forklaringer og eksempler, se artiklene Stedvektor (posisjonsvektor) og Addisjon av vektorer.

La $ℓ$ være midtnormalen til $A C$ .

Løs oppgaven her

b)

Forklar at

$ℓ : {\begin{matrix} x = 2 + 3 t \\ y = 1 + t \end{matrix}$

er en parameterfremstilling for $ℓ$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

For å finne parameterfremstillingen for ei rett linje tar vi utgangspunkt i et punkt på linja, og retningsvektoren, $\vec{r}$ , til linja. Siden $ℓ$ er står normalt på $\vec{A B}$ må skalarproduktet av $\vec{r}$ og $\vec{A C}$ være lik $0$ .

For ei linje, $l$ , som går gjennom punktet $(x_{1}, y_{1})$ og har retningsvektor $\vec{r} = [a, b]$ har en parameterfremstilling $l : {\begin{matrix} x = x_{1} + a t \\ y = y_{1} + b t \end{matrix}$

For at parameterfremstillingen er for linja $ℓ$ , må $ℓ$ gå gjennom punktet $(2, 1)$ , som er punktet $M$ , så dette stemmer. $ℓ$ skal være midtnormalen til $\vec{A C}$ . Det betyr at vi må sjekke at retningsvektoren $\vec{r} = [3, 1]$ står vinkelrett på $\vec{A C} = [1 - 3, 4 - (- 2)] = [- 2, 6]$ . Da må vi ha at skalarproduktet $\vec{A B} \cdot \vec{r} = 0$ . Vi setter inn for vektorene $[- 2, 6] \cdot [3, 1] = - 2 \cdot 6 + 6 \cdot 1 = 0$ som betyr at $\vec{r}$ står normalt på $\vec{A C}$ , og

$ℓ : {\begin{matrix} x = 2 + 3 t \\ y = 1 + t \end{matrix}$

er en parameterfremstilling for $ℓ$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

Retningsvektor

En linje $l$ går gjennom punktet $A (x_{0}, y_{0})$ og er parallell med vektoren $\vec{v} = [a, b]$ . Vektoren $\vec{v}$ kalles for retningsvektoren for linja.

retningsvektorer

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Parameterfremstilling av en rett linje.

c)

Avgjør om punktet $(12, \frac{9}{2})$ ligger på $ℓ$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Dersom $(12, \frac{9}{2})$ ligger på linja $ℓ$ må det finnes en $t$ slik at $x = 12$ og $y = \frac{9}{2}$ .

Et punkt på $ℓ$ tilfredstiller likningene for $x$ og $y$ for samme $t$ . Vi må ha at samme $t$ gir $x = 12$ og $y = \frac{9}{2}$ . For likningen for $x$ får vi at $12 = 2 + 3 t \Rightarrow t = \frac{10}{3} .$

Setter inn denne verdien for $t$ i likningen for $y$ . Da får vi at $y = 1 + \frac{10}{3} = \frac{13}{3}$ som betyr at $(12, \frac{9}{2})$ ikke ligger på linja $ℓ$ .

Svar: Punktet ligger ikke på $ℓ$ .

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Linje

En rett linje som vanligvis kalles linje, er en rett strek som har en posisjon og retning. En linje fortsetter uendelig i begge retninger.

linjer

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Parameterfremstilling av en rett linje.

d)

Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom $ℓ$ og midtnormalen til $A B$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

Vi kan finne en parameterfremstilling for midtnormalen, $μ$ til $A B$ , og finne det punktet som tilfredstiller både $μ$ og $ℓ$ .

Vi begynner med å finne en parameterlikning for midtnormalen, $μ$ , til $A B$ . Lar $D$ være midtpunktet på $A B$ . Da kan vi finne koordinatene til $D$ ved å se på posisjonsvektoren $\vec{O D} = \vec{O A} + \vec{A D} = \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ . Vi har at $\vec{A B} = [9 - 3, 4 - (- 2)] = [6, 6]$ . Da får vi at $\vec{O D} = [3, - 2] + \frac{1}{2} [6, 6] = [3 + 3, 3 + (- 2)] = [6, 1]$ , så $μ$ må gå gjennom punktet $(6, 1)$ . I tillegg trenger vi retningsvektoren $[a, b]$ til $μ$ . Den må stå normalt på $\vec{A B} = [9 - 3, 4 - (- 2)] = [6, 6]$ , så skalarproduktet $[6, 6] \cdot [a, b] = 6 a + 6 b = 0$ . Dersom vi har $a = - b$ for vilkårlig valg av $a$ vil dette løse likningen. Vi kan velge $a = 1$ , og får da at $[1, - 1]$ er en retningsvektor for $μ$ . En parameterfremstilling for $μ$ er da

$μ : {\begin{matrix} x = 6 + s \\ y = 1 - s \end{matrix}$

Nå vil vi finne skjæringspunktet mellom $ℓ$ og $μ$ . Da må $x$ -koordinaten til dette punktet tilfredstille likningene $x = 2 + 3 t$ og $x = 6 + s$ og $y$ -koordinaten likningene $y = 1 + t$ og $y = 1 - s$ Fra disse likningene får vi likningsystemet $[\begin{matrix} 2 + 3 t = 6 + s \\ 1 + t = 1 - s \end{matrix}]$

Fra den andre likningen får vi at $s = - t$ og kan sette inn for $s$ i den første likningen og får

$\begin{matrix} 2 + 3 t & = & 6 + (- t) \\ 3 t + t & = & 6 - 2 \\ t & = & 1 \end{matrix}$

Nå kan vi finne koordinatene til skjæringspunktet til ved å sette inn for $t = 1$ i parameterfremstillingen for $ℓ$ . Da får vi at $x = 2 + 3 \cdot 1 = 5$ og $y = 1 + 1 = 2$ .

Svar: Skjæringspunktet er $(5, 2)$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Skjæringspunkt

Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.

skjæringspunkt

Ligningssett

Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.

likningssystemer

Retningsvektor

En linje $l$ går gjennom punktet $A (x_{0}, y_{0})$ og er parallell med vektoren $\vec{v} = [a, b]$ . Vektoren $\vec{v}$ kalles for retningsvektoren for linja.

retningsvektorer

Midtnormal

Midtnormalen til et rett linjestykke er den rette linja som går gjennom linjestykkets midtpunkt, og som står vinkelrett på linjestykket.

midtnormal

For flere forklaringer og eksempler, se artiklene Parameterfremstilling av en rett linje og Likningsystem.

Oppgave 7 (3 poeng) Nettkode: E-4TCQ

Nedenfor er det gitt noen utsagn. Skriv av utsagnene. I boksen mellom utsagnene skal du sette inn ett av symbolene $\Leftarrow$ , $\Rightarrow$ eller $\Leftrightarrow$ . Husk å begrunne svarene.

a)

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

En implikasjonspil $P_{1} \Rightarrow P_{2}$ uttrykker at påstanden $P_{1}$ medfører at påstanden $P_{2}$ er sann.

Vi har to påstander; $x^{2} = 1$ og $x = 1$ . Tar vi utgangspunkt i at $x^{2} = 1$ stemmer så kan vi også ha både $x = 1$ og $x = - 1$ , så $x^{2} = 1$ impliserer ikke $x = 1$ . Dersom $x = 1$ stemmer må vi også ha at $x^{2} = 1$ stemmer, så vi kan sette inn implikasjonspil $\Leftarrow$ .

Svar: $\Leftarrow$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Implikasjon

En påstand $P$ impliserer en annen påstand $Q$ hvis det følger at $Q$ er sann hvis $P$ er sann. Vi skriver $P \Rightarrow Q$ .

Eksempel: "Alle i klassen har gul t-skjorte" impliserer "Ingen i klassen har grønn t-skjorte".

implikasjoner

Ekvivalens

Man sier at to påstander $P$ og $Q$ er ekvivalente hvis følgende er sant:

1) Hvis $P$ er sann, må også $Q$ være sann.

2) Hvis $Q$ er sann, må også $P$ være sann.

Vi skriver $P \Leftrightarrow Q$ , som leses $P$ er ekvivalent med $Q$ .

Eksempel: "Hvis Ida er i Frankrike, er hun i Europa" er ekvivalent med "hvis Ida ikke er i Europa, er hun ikke i Frankrike".

ekvivalens

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Implikasjon og ekvivalens.

b)

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

En implikasjonspil $P_{1} \Rightarrow P_{2}$ uttrykker at påstanden $P_{1}$ medfører at påstanden $P_{2}$ er sann.

Vi ser på påstandene $f (x) = 5 x^{2} - 1$ og $f' (x) = 10 x$ . Deriverer $f (x) = 5 x^{2} - 1$ får vi $f' (x) = 10 x$ , så vi har implikasjonspil $\Rightarrow$ . Når vi deriverer så forsvinner konstanten, det betyr at $f^{'} (x) = 10 x ⟹ f (x) = 5 x^{2} + k$ for vilkårlig konstant $k$ , så vi har ikke implikasjonspil $\Leftarrow$ .

Svar: $\Rightarrow$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Implikasjon

En påstand $P$ impliserer en annen påstand $Q$ hvis det følger at $Q$ er sann hvis $P$ er sann. Vi skriver $P \Rightarrow Q$ .

Eksempel: "Alle i klassen har gul t-skjorte" impliserer "Ingen i klassen har grønn t-skjorte".

implikasjon

Ekvivalens

Man sier at to påstander $P$ og $Q$ er ekvivalente hvis følgende er sant:

1) Hvis $P$ er sann, må også $Q$ være sann.

2) Hvis $Q$ er sann, må også $P$ være sann.

Vi skriver $P \Leftrightarrow Q$ , som leses $P$ er ekvivalent med $Q$ .

Eksempel: "Hvis Ida er i Frankrike, er hun i Europa" er ekvivalent med "hvis Ida ikke er i Europa, er hun ikke i Frankrike".

ekvivalens

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Implikasjon og ekvivalens.

Oppgave 8 (2 poeng) Nettkode: E-4TCY

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = e^{1 - x}$

Grafen til $f$ har en tangent som går gjennom origo. Bestem likningen for denne tangenten.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

En tangent gjennom punktet $(x_{0}, f (x_{0}))$ er en rett linje på formen $y = a x + b$ , der stigningstallet $a = f' (x_{0})$ .

Stigningstallet til en tangent gjennom et punkt $(x_{0}, f (x_{0}))$ er lik den deriverte, $f' (x_{0})$ , så vi begynner med å finne den deriverte til $f (x)$ . Dersom vi har en funksjon som kan skrives om til $f (u)$ der $u (x)$ er kjernen, så kan vi bruke kjerneregelen. Funksjonen $f (x) = e^{1 - x}$ kan skrives om til $f (u) = e^{u}$ der $u (x) = 1 - x$ er kjernen. Da kan vi bruke kjerneregelen for å derivere $f (x)$ . Den gir at $f^{'} (x) = f^{'} (u) \cdot u^{'} (x) = {(e^{u})}^{'} \cdot {(1 - x)}^{'} = e^{u} \cdot {(1 - x)}^{'} = e^{1 - x} \cdot (- 1) = - e^{1 - x} .$

Fra ettpunktsformelen får vi at likningen til tangenten er gitt ved

$\begin{matrix} y - f (x_{0}) = f' (x_{0}) (x - x_{0}) \\ ⇕ \\ y = x \cdot f' (x_{0}) - x_{0} \cdot f' (x_{0}) + f (x_{0}) \end{matrix}$

Siden tangenten skal gå gjennom origo $(0, 0)$ vil vi ha at konstantleddet lik $0$ , altså $- f' (x_{0}) x_{0} + f (x_{0}) = 0$ . Vi har at $f (x_{0}) = e^{1 - x_{0}}$ og $f' (x_{0}) = - e^{1 - x_{0}}$ . Setter vi inn dette får vi at $\begin{matrix} - (- e^{1 - x_{0}}) x_{0} + e^{1 - x_{0}} & = & 0 \\ e^{1 - x_{0}} (1 + x_{0}) & = & 0 \end{matrix}$

Vi har at $e^{(1 - x_{0})} > 0$ , så vi kan dividere med det på begge sider. Da får vi $1 + x_{0} = 0 \Rightarrow x_{0} = - 1$ og stigningstallet til tangenten er $f' (- 1) = - e^{1 - (- 1)} = - e^{2}$ . Siden tangenten går gjennom origo har vi ingen konstantledd og likningen til tangenten er $y = - e^{2} x$

Svar: $y = - e^{2} x$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangenter

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Ettpunktsformelen og likning for tangentlinjen.

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (5 poeng) Nettkode: E-4TD0

Jakob har en spilleliste med $20$ sanger på mobilen sin. Fire av sangene på spillelisten er med artisten Kygo. Programmet spiller av sangene i tilfeldig rekkefølge (shuffle) med tilbakelegging. Det vil si at samme sang kan bli spilt at flere ganger etter hverandre.

a)

Forklar at sannsynligheten alltid er $p = 0, 2$ for at neste sang som blir spilt, er med Kygo.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi har en uniform sannsynlighetsmodell, og da er sannsynligheten gitt ved $\frac{antall gunstige utfall}{antall mulige utfall}$ .

Vi ser på hendelsen at neste sang er med Kygo. Vi har en uniform sannsynlighetmodell. Da har vi $p = \frac{antall gunstige utfall}{antall mulige utfall} .$ Jakob har $20$ sanger på spillelisten og det betyr at antall mulige utfall er $20$ . Gunstige utfall er de sangene som er med Kygo, så da har vi $4$ . Dermed har vi at sannsyligheten for at neste sang er med Kygo er $p = \frac{4}{20} = 0, 2 .$

Mer om:

Denne oppgaven handler om uniform sannsynlighet,

Utfall

Mulig resultat av en hendelse.

Eksempel: Du kaster en terning og får seks øyne. Utfallet er seks. Du kaster en mynt og får kron. Kron er utfallet.

utfall

Gunstig utfall

Et gunstig utfall er den hendelsen som er interessant for oss.

Eksempel: Vi skal finne sannsynligheten for å få terningkast 1 eller 6. Av de seks mulige utfallene er 1 og 6 gunstige utfall.

Se Hendelse

gunstige utfall

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Hvordan finner vi uniform sannsynlighet?.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om uniform sannsynlighet fra Treningsleiren.

b)

Jakob vil høre på fem sanger fra spillelisten. Bestem sannsynligheten for at nøyaktig to av sangene han spiller, er med Kygo.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi har et binomisk forsøk. Det gjøres et bestemt antall observasjoner eller delforsøk, nemlig at det spilles av 5 sanger etterhverandre. Siden programmet spiller av tilfeldige sanger med tilbakelegging, er trekningen av ny sang uavhengig av hva som ble spilt før. I tillegg er det bare to mulige utfall for hver gang en sang spilles av; sangen er enten med Kygo, eller ikke med Kygo. Sannsynligheten for at det kommer en sang av Kygo er den samme hver gang.

Vi har altså et binomisk forsøk som består av fem delforsøk. Hver gang det spilles av en ny sang, kan den enten være med Kygo eller ikke. Fra oppgave a) vet vi at sannsynligheten for at neste sang er med Kygo er $p = 0, 2$ . Siden vi har tilbakelegging av sangene, er denne sannsynligheten lik for hver sang som spilles av. Sannsynligheten for at neste sang ikke er med Kygo er $1 - p = 1 - 0, 2 = 0, 8$ . For binomiske forsøk har vi

$P (k s u k s e s s e r)$ = $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}$ . Vi setter inn tall for $k, p o g 1 - p$ . $P (K y g o s p i l l e s t o g a n g e r) = (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) {0, 2}^{2} \cdot {0, 8}^{3} = 0, 2048 \approx 20, 5 %$

Svar: Sannsynligheten er tilnærmet 20,5% for at nøyaktig 2 av de fem sangene som spilles av er med Kygo.

Alternativ løsning

Vi kan også bruke Sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra for å finne sannsynligheten for at nøyaktig to av de neste fem sangene er av Kygo. Vi finner Sannsynlighetskalkulatoren i “Vis”-menyen. Siden vi har en binomisk fordeling velger vi nettopp “Binomisk fordeling” i nedtrekksmenyen.

Her er $n$ antall delforsøk, som i vårt tilfelle er $5$ , og $p$ er sannsynligheten for at hendelsen inntreffer, altså at neste sang er med Kygo. Fra oppgave a) vet vi at $p = 0, 2$ . Vi skal finne sannsynligheten for at nøyaktig $2$ sanger er med Kygo. Da trykker vi på tasten med $[-]$ og skriver inn slik at det står $P (2 \leq x \leq 2)$ nederst. Da får vi som vist under.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Binomisk forsøk

Et binomisk forsøk må tilfredsstille følgende krav:

Antall delforsøk n er fast.
Alle delforsøkene er uavhengige.
For hvert delforsøk er det kun to mulige utfall. Det utfallet vi er interessert i kalles for suksess, mens det andre er kalt for fiasko.
For hvert delforsøk er sannsynligheten for suksess lik p.

binomiske forsøk

Binomialkoeffisient

Binomialkoeffisienten

$(\begin{matrix} n \\ m \end{matrix}) = \frac{n!}{m! (n - m)!}$

hvor $n! = n \cdot (n - 1) \cdot \cdot \cdot 2 \cdot 1$ ,

forteller hvor mange måter det kan trekkes m objekter ut fra en samling av n gjenstander uten tilbakelegging.

binomialkoeffisienter

Sannsynlighet med tilbakelegging

Fra et utvalg trekker vi en tilfeldig gjenstand. Hvis vi legger tilbake gjenstanden før vi trekker neste, sier vi at forsøket er gjort med tilbakelegging.

Eksempel: Du skal trekke to kuler fra ei eske. Det er 5 røde og 5 blå kuler i eska. Du trekker en kule og noterer resultatet. Før du trekker neste kule, må den første legges tilbake i eska. Du har fortsatt 5 røde og 5 blå kuler i eska.

med tilbakelegging

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Binomiske forsøk.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om binomiske sannsynlighetsmodeller fra Treningsleiren.

c)

Hvor mange avspillinger må man høre for at sannsynligheten for å få høre minst én sang med Kygo skal være større enn $90 %$ ?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Sannsynligheten for at det er minst en sang med Kygo er komplementær med at det ikke er noen sanger av Kygo.

Vi vil finne hvor mange avspillinger Jakob må høre for at sannsynligheten for å få høre minst en sang med Kygo er $90 %$ . Det betyr at vi vil ha $P (minst en Kygo-sang) > 0, 9$ Hendelsen “minst en Kygo-sang” er komplementær med hendelsen “ingen Kygo-sanger”. Vi lar $n$ være antall avspillinger Jakob hører. Fra oppgave b) har vi at sannsynligheten for neste sang ikke er med Kygo er $0, 8$ . Ved produktsetningen får vi at sannsynligheten for at ingen av de $n$ neste sangene er med Kygo er gitt ved $0, 8^{n}$ . Sannsynligheten for at det spilles av minst en Kygo sang blant de $n$ neste sangene er da $P (minst en Kygo-sang) = 1 - 0, 8^{n}$ Vi vil finne $n$ slik at $0, 9 < 1 - 0, 8^{n}$ Denne likningen kan vi løse i CAS ved å skrive inn $𝙻 ø 𝚜 [0.9 < 1 - {0.8}^{\land} 𝚗, 𝚗]$

Her kan vi se at $n > 10, 32$ , så Jakob må ha $11$ avspillinger.

Svar: $11$ avspillinger

Alternativ løsning

Vi kan også løse likningen $0, 9 < 1 - 0, 8^{n}$ ved hjelp av logaritmer. Da får vi at at

$\begin{matrix} 0, 9 & < 1 - 0, 8^{n} \\ 0, 8^{n} & < 0, 1 \\ \ln 0, 8^{n} & < \ln 0, 1 \\ n \ln 0, 8 & < \ln 0, 1 \\ n & > \frac{\ln 0, 1}{\ln 0, 8} \\ n & > 10, 32 \end{matrix}$

Legg merke til at vi snur ulikhetstegnet i linje 5. Det er fordi vi deler på $\ln (0, 8)$ , som er en negativ verdi, på begge sider i likningen. Dermed snur fortegnene seg og det fører til at vi må snu ulikhetstegnet. Husk at den naturlige logaritmen $l n$ gir negative verdier for alle tall mellom 0 og 1. Man kan se det ved å tegne $l n (x)$ i Geogebra.

Etter å ha løst likningen med hensyn på n, ser vi at Jakob må høre på minst $11$ sanger for at sannsynligheten skal være større enn 90 prosent for at minst en av dem er med Kygo.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.

Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.

Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.

Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.

sannsynlighet

Produktsetningen

Produktsetningen sier at $P (A \cap B) = P (A | B) \cdot P (B)$ , hvor $P (A | B)$ er den sannsynligheten for at A inntreffer gitt B.

produktsetningen

Komplement

Komplementet til A, betegnet med $A^{c}$ , består av alle elementer som er i utfallsrommet U men ikke i A. Med andre ord, $A^{c} = U ∖ A$ .

komplement

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Sannsynlighet ved komplementære hendelser.

Oppgave 2 (5 poeng) Nettkode: E-4TDU

En $△ A B C$ har hjørnene $A (3, 5)$ , $B (6, 5)$ og $C (7, 9)$ .

a)

Bestem $\vec{A B}$ , $\vec{A C}$ og bruk vektorregning til å bestemme $∠ B A C$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

For å bestemme $∠ B A C$ kan vi se på skalarproduktet av $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ .

Vektoren $\vec{P Q}$ mellom to punkter $P (x_{1}, y_{1})$ og $Q (x_{2}, y_{2})$ er gitt ved $\vec{P Q} = [x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}]$ For $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ får vi da $\vec{A B} = [6 - 3, 5 - 5] = [3, 0]$

$\vec{A C} = [7 - 3, 9 - 5] = [4, 4] .$

Skalarproduktet av vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{B C}$ er gitt ved $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = | \vec{A B} | | \vec{A B} | \cos ∠ B A C$ der $| \vec{A B} | = \sqrt{3^{2} + 0^{2}} = 3$ og $| \vec{B C} | = \sqrt{4^{2} + 4^{2}} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2} .$

Vi kan også finne skalarproduktet ved $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 3 \cdot 4 + 0 \cdot 4 = 12$

Da må vi ha

$3 \cdot 4 \sqrt{2} \cos ∠ B A C = 12$

$\cos ∠ B A C = \frac{12}{12 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$∠ B A C = 45^{\circ}$ .

Svar: $∠ B A C = 45^{\circ}$ .

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

For flere forklaringer og eksempler, se artiklene Vektorer mellom to punkter og Vinkelen mellom to vektorer.

Tyngdepunktet $T$ til en trekant med hjørnene $A, B$ og $C$ er generelt gitt ved $\vec{O T} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}),$ der $O$ er origo.

Løs oppgaven her

b)

Bestem, ved vektorregning, koordinatene til tyngdepunktet $T$ til $△ A B C$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi kjenner koordinatene til punktene $A, B$ og $C$ , og kan da finne posisjonsvektorene $\vec{O A}, \vec{O B}$ og $\vec{O C}$ . Når vi skal summere vektorer, summerer vi komponentvis.

Posisjonsvektoren til et punkt er bestemt av koordinatene til punktet. Vi får at

$\begin{matrix} \vec{O A} & = [3, 5] \\ \vec{O B} & = [6, 5] \\ \vec{O C} & = [7, 9] \end{matrix}$

Da får vi at

$\begin{matrix} \vec{O T} & = & \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}) \\ = & \frac{1}{3} ([3, 5] + [6, 5] + [7, 9]) \\ = & \frac{1}{3} ([3 + 6 + 7, 5 + 5 + 9]) \\ = & \frac{1}{3} [16, 19] \\ = & [\frac{16}{3}, \frac{19}{3}] \end{matrix}$

Svar: $T = (\frac{16}{3}, \frac{19}{3})$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

For flere forklaringer og eksempler, se artiklene Stedvektor (posisjonsvektor) og Addisjon av vektorer.

En $△ D E F$ er gitt. To av hjørnene er $D (2, 3)$ og $E (- 3, 5)$ . Tyngdepunktet er $S (4, 2)$ .

Løs oppgaven her

c)

Bestem koordinatene til hjørnet $F$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi kan bruke formelen for tyngdepunktet til er trekant gitt i oppgave b).

For $△ D E F$ har vi at tyngdepunktet $S$ er gitt ved $\vec{O S} = \frac{1}{3} [\vec{O D} + \vec{O E} + \vec{O F}] .$ Nå kan vi la $F$ være gitt ved $(x, y)$ . Dersom vi setter inn for $\vec{O S}, \vec{O D}$ , $\vec{O E}$ og $\vec{O F}$ får vi

$[4, 2] = \frac{1}{3} ([2, 3] + [- 3, 5] + [x, y])$

$3 \cdot [4, 2] = ([2 - 3, 3 + 5] + [x, y])$

$[12, 6] = [- 1, 8] + [x, y]$

$[12, 6] - [- 1, 8] = [x, y]$

$[12 - (- 1), 6 - 8] = [x, y]$

$[x, y] = [13, - 2]$

Svar: Koordinatene til $F$ er $(13, - 2)$ .

Alternativ løsning

Vi kan også løse denne oppgaven i CAS. Da kan vi begynne med å definere vektorene $\vec{O D,} \vec{O E}$ og $\vec{O S}$ ved å skrive $OD:=Vektor(2,3), OE:=Vektor(-3,5)$ og $OS:=Vektor(4,2)$ . Vi kan definere $OF:=Vektor(x,y)$ og bruke likningen for tyngdepunktet til en trekant for å finne $x$ og $y$ . Skriver da inn $O S = (O D + O E + O F) / 3$ og trykker på “ $x =$ ”-knappen.

Da får vi at koordinatene til $F$ er $x = 13, y = - 2$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

Koordinat

Koordinatene til et punkt måles langs aksene i et koordinatsystem og forteller nøyaktig hvor vi finner punktet.

Eksempel: I punktet (1,3) er 1 førstekoordinat og 3 er andrekoordinat.

Se Koordinatsystem

koordinater

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Vektorregning med eksempler.

Oppgave 3 (8 poeng) Nettkode: E-4TE1

Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = 2 \ln (x^{2} + 4) - \frac{1}{2} x$

a)

Bruk graftegner til å tegne grafen når $x \in ⟨- 4, 16⟩$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi kan bruke GeoGebra til å tegne grafen.

I GeoGebra skriver vi inn $f (x) = Funksjon [2^{*} \ln (x^{\land} 2 + 4) - (1 / 2)^{*} x, - 4, 16]$ og setter navn på aksene. Da får vi opp grafen

Mer om:

Denne oppgaven er om

Graf

En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

graf

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Graftegner.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om grafisk fremstilling fra Treningsleiren.

b)

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi kan bruke GeoGebra og kommandoen “Ekstremalpunkt” for å finne disse.

GeoGebra har kommandoen Ekstremalpunkt, og denne kan vi bruke for å finne ekstremalpunktene til $f$ . Da skriver vi inn $Ekstremalpunkt [f, - 4, 16]$ og vi får opp ekstremalpunktene til $f$ i intervallet $⟨ - 4, 16 ⟩$ som er bunnpunktet $(0, 54, 2, 64)$ og toppunktet $(7, 46, 4, 45)$ .

Svar: $(0, 54, 2, 64)$ og $(7, 46, 4, 45)$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Ekstremalpunkt

Vi sier at et punkt $x = a$ er et ekstremalpunkt for en funksjon $f (x)$ hvis det enten er et toppunkt eller bunnpunkt for funksjonen.

ekstremalpunkter

For flere forklaringer og eksempler, se artiklene Topp- og bunnpunkt og CAS.

For å øve mer, se dette oppgavesettet om ekstremalpunkter fra Treningsleiren.

Funksjonen $g$ er gitt ved $g (x) = 2 \ln (x^{2} + k) - \frac{1}{2} x, k > 0$

Løs oppgaven her

c)

Bruk CAS til å bestemme $k$ slik at $g$ har et ekstremalpunkt i $x = 1$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi har at $x$ er et ekstremalpunkt når $f' (x) = 0$ og $f' (x)$ skifter fortegn i $x$ .

Vi vil bestemme $k$ slik at $g$ har et ekstremalpunkt i $x = 1$ . Da må vi ha at $g' (1) = 0$ . Vi skal bruke CAS som hjelpemiddel. Det første vi gjør er å definere $g$ ved å skrive inn $g (x) := 2^{*} \ln (x^{\land} 2 + k) - (1 / 2)^{*} x$ Videre skriver vi inn $Løs [g' (1) = 0, k]$ for å løse likningen med hensyn på $k$ .

Da får vi at $k = 7$ , så $x = 1$ er et ekstremalpunkt når $k = 7$ .

Her kan vi se at $g' (0, 95) < 0 g' (1, 05) > 0$ , så $x = 1$ er et bunnpunkt.

Svar: $x = 1$ er et ekstremalpunkt for $k = 7$ .

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Ekstremalpunkt

Vi sier at et punkt $x = a$ er et ekstremalpunkt for en funksjon $f (x)$ hvis det enten er et toppunkt eller bunnpunkt for funksjonen.

ekstremalpunkt

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Topp- og bunnpunkter

d)

Bruk blant annet CAS til å bestemme hvor mange ekstremalpunkt $g$ har for ulike verdier av $k$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

For å bestemme hvor mange ekstremalpunkt $g$ har for ulike verdier av $k$ , kan vi finne et uttrykk for ekstremalpunktene til $g$ gitt ved $k$ . Da kan vi løse $g' (x) = 0$ .

Vi begynner med å derivere g(x).

Vi vet at k>0 og at $x^{2} \geq 0$ , så nevneren er alltid positiv. Fortegnet til $g (x)$ er derfor alltid det samme som fortegnet til telleren $- x^{2} - k + 8 x$ . Denne telleren er et andregradspolynom, og vi vet at hvis et andregradspolynom har to nullpunkter, så skifter fortegnet i nullpunktene. Hvis det bare finnes ett nullpunkt, så skifter ikke fortegnet, for da tangerer bare grafen $x$ -aksen.

Antall nullpunkter er bestemt av fortegnet til diskriminanten, altså uttrykket $b^{2} - 4 a c$ under rottegnet i $a b c$ -formelen. Positiv diskriminant gir 2 nullpunkter, negativ diskriminant gir ingen nullpunkter, mens det er ett nullpunkt hvis diskriminanten er 0. Vi bruker CAS til å finne og analysere diskriminanten $D$ .

Vi ser fra celle 4 at dersom $0 < k < 16$ , så har $g^{'} (x)$ to nullpunkter, og som vi har sett, bytter $g^{'}$ fortegn i begge nullpunktene. Slike verdier for $k$ gir dermed 2 ekstremalpunkter.

Fra celle 5 ser vi at hvis $k = 16$ så har $g^{'}$ bare ett nullpunkt, men vil ikke bytte fortegn der, så det er ikke et ekstremalpunkt.

For $k > 16$ må diskriminanten være negativ, så $g^{'}$ har ingen nullpunkter og dermed har $g$ ingen ekstremalpunkter for disse verdiene av $k$ .

Svar: Hvis $0 < k < 16$ har g to ekstremalpunkter. For $k \geq 16$ har g ingen ekstremalpunkter.

Oppgave 4 (6 poeng) Nettkode: E-4TEA

Skipet Euler sender ut en melding om at det har fått motorstopp. Kapteinen oppgir at posisjonen er $P_{0} (80, 16)$ i et bestemt koordinatsystem. På grunn av driften vil posisjonen (i nm) i timer senere være gitt ved

$\vec{O P} = [80 + 4 t, 16 + 3 t]$

a)

Hvilken fartsvektor $\vec{v}$ driver skipet med? Hvor stor er farten (banefarten)?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Farten forteller om endringen i posisjon, så vi kan finne fartsvektoren, $\vec{v}$ , ved å derivere posisjonsvektoren $\vec{O P}$ . Banefarten finner vi ved absoluttverdien til fartsvektoren.

Vi kan bruke GeoGebra og CAS for å bestemme fartsvektoren og banefarten. Da må vi først definere posisjonsvektoren $\vec{O P}$ ved å skrive $r (t) := (80 + 4 t, 16 + 3 t)$ . Videre kan vi finne fartsvektoren ved å skrive inn $v (t) := r' (t)$ og banefarten, $|v' (t)|$ ved å skrive $abs (v (t))$ . Da får vi

Svar: Fartsvektoren $\vec{v} = (4, 3)$ og farten er på $5$ nm/h (knop).

Mer om:

Denne oppgaven handler om

Koordinatsystem

Et koordinatsystem i planet består av to akser, x-aksen og y-aksen. Aksene står vinkelrett på hverandre. x-aksen er horisontal og y-aksen er vertikal. Punktet der aksene krysser kalles for origo. Koordinatsystemet gir oss muligheten til å presentere punkter i planet i form av to tallverdier (x,y). Origo har koordinatene (0,0).

koordinatsystem

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

For flere forklaringer og eksmepler, se artikkelen Parametriserte kurver.

En redningsbåt som ligger i $O$ , sier at den er klar til å gå mot skipet og kan være ved Euler om $4$ timer.

Løs oppgaven her

b)

Hvor stor fart holder redningsbåten?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Posisjonen til Euler etter $4$ timer er gitt ved $\vec{r} (4)$ . Vi må finne distansen redningsbåten må reise for å komme til Euler.

Først bestemmer vi posisjonen til Euler ved å finne at $\vec{r} (4) = (96, 28)$ . Avstanden fra $O$ er $| [96, 28] | = \sqrt{96^{2} + 28^{2}} = 100$ . Det betyr at redningsbåten reiser en distanse på $100$ nm på $4$ timer. Vi antar at redningsbåten holder en konstant fart, som da må være på $\frac{100 nm}{4 h} = 25 nm/h.$

Svar: Redningsbåten holder en fart på $25$ nm/h.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

Fart

Fart er tilbakelagt distanse per tidsenhet.

Fart måles ofte i km/h, som leses kilometer per time, eller m/s som leses meter per sekund.

Når noe beveger seg veldig raskt, kan det være hensiktsmessig å bruke km/s.

fart

For flere forklaringer og eksempler, se artikkelen Lengden til en vektor.

En annen redningsbåt er i posisjonen $Q (- 10, 50)$ når meldingen blir sendt. Den kan holde en fart på $35$ nm/h.

Løs oppgaven her

c)

Bruk CAS til å bestemme hvor lang til det vil gå før denne redningsbåten kan være framme ved Euler.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi kan anta at Euler og den andre redningsbåten møtes etter $t$ timer. Vi kan finne en likning for posisjonen til den andre redningsbåten uttrykt ved $t$ .

Vi antar at redningsbåten holder en rettlinjet kurs. Etter $t$ timer vil redningsbåten være posisjonert et sted $35 \cdot t$ nm unna $Q$ , altså et sted på sirkelen med sentrum $Q (- 10, 50)$ og radius $35 t$ . Likningen for denne sirkelen er $(x + 10)^{2} + (y - 50)^{2} = (35 t)^{2} .$ Eulers koordinater $(x, y)$ etter $t$ timer er gitt ved $\vec{r} (t) = (80 + 4 t, 16 + 3 t)$ . Vi vil at disse skal være like. Da kan vi sette inn for $x = 80 + 4 t, y = 16 + 3 t$ i likningen til posisjonen til redningsbåten, slik at vi får $(80 + 4 t + 10)^{2} + (16 + 3 t - 50)^{2} = (35 t)^{2} .$ Nå kan vi bruke CAS til å løse denne likningen, og bruker kommandoen “NLøs” for å få svaret oppgitt som desimaltall. Da skriver vi inn $NLøs ((80 + 4 t + 10)^{\land} 2 + (16 + 3 t - 50)^{\land} 2 = (35 t)^{\land} 2, t)$ og får

Tiden må være positiv, så vi får det tar $3$ timer før redningsbåten vil være fremme hos Euler.

Svar: Denne redningsbåten vil være fremme hos Euler etter $3$ timer.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

Koordinat

Koordinatene til et punkt måles langs aksene i et koordinatsystem og forteller nøyaktig hvor vi finner punktet.

Eksempel: I punktet (1,3) er 1 førstekoordinat og 3 er andrekoordinat.

Se Koordinatsystem

koordinater

For flere forklaringer og eksempler for CAS, se artikkelen CAS.

REA3022 2017 Høst

Del 1

Del 2

Eksamensinformasjon

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (5 poeng) Nettkode: E-4TBF

a)

Løsningsforslag a)

Derivasjon

Polynom

b)

Løsningsforslag b)

Derivasjon

Produkt

Faktor

c)

Løsningsforslag c)

Derivasjon

Funksjon

Logaritme

Oppgave 2 (2 poeng) Nettkode: E-4TBJ

Løsningsforslag

Oppgave 3 (6 poeng) Nettkode: E-4TBL

a)

Løsningsforslag a)

Vektor

b)

Løsningsforslag b)

Vektor

c)

Løsningsforslag c)

Vektor

d)

Løsningsforslag d)

Vektor

Oppgave 4 (5 poeng) Nettkode: E-4TBQ

a)

Løsningsforslag a)

Funksjon

Trekant

b)

Løsningsforslag b)

Funksjon

Derivasjon

Andrederiverte

Ekstremalpunkt

c)

Løsningsforslag c)

Funksjon

Nullpunkt

Polynom

Oppgave 5 (6 poeng) Nettkode: E-4TC8

a)

Løsningsforslag a)

Kombinatorikk

Ordnede utvalg

Uten tilbakelegging

b)

Løsningsforslag b)

Kombinatorikk

Uordnede utvalg

Uten tilbakelegging

Binomialkoeffisient

c)

Løsningsforslag c)

Kombinatorikk

Uordnede utvalg

Uten tilbakelegging

Binomialkoeffisient

Oppgave 6 (7 poeng) Nettkode: E-4TCK

a)

Løsningsforslag a)

Vektor

b)

Løsningsforslag b)

Vektor

Retningsvektor

c)

Løsningsforslag c)

Linje