Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

REA3022 2016 Vår

Del 1
Del 2
Eksamensinformasjon

Eksamenstid:
5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 3 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:
Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Del 1 har 7 oppgaver. Del 2 har 4 oppgaver.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, kan en alternativ metode gi lav/noe uttelling.

Bruk av digitale verktøy som graftegner og CAS skal dokumenteres med utskrift eller gjennom en IKT-basert eksamen.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

viser regneferdigheter og matematisk forståelse
gjennomfører logiske resonnementer
ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
forklarer framgangsmåter og begrunner svar
skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger
vurderer om svar er rimelige

Andre opplysninger:
Kilder for bilder, tegninger osv.:

Alle grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (5 poeng) Nettkode: E-4D8B

Deriver funksjonene gitt ved

a)

$f (x) = - 3 x^{2} + 6 x - 4$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi ser et polynom som skal deriveres. Her trenger vi formlene

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ ,

$(k \cdot f)^{'} = k \cdot f^{'}$ og

$(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$ .

$f^{'} (x) = (- 3 x^{2} + 6 x - 4)^{'} = - 3 \cdot 2 x + 6 \cdot 1 - 0 = - 6 x + 6 = 6 (1 - x)$

Svar: $f^{'} (x) = - 6 x + 6 = 6 (1 - x)$

Mer om

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

For flere forklaringer og eksempler på derivasjon, se artikkelen Derivasjonsregler.

b)

$g (x) = 5 \ln (x^{3} - x)$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Funksjonen $g (x)$ er en sammensatt funksjon. Vi ser at $x^{3} - x$ befinner seg inne i $5 ln u$ . Vi kaller $g (u)$ den ytre funksjonen og $u (x)$ kjernen eller den indre funksjonen. Det er kjerneregelen som gjelder!

Siden vi vet hvordan vi kan derivere

$u (x) = x^{3} - x$ og $h (u) = 5 \ln u$ , $(x^{3} - x)^{'} = 3 x^{2} - 1$ og $(5 \ln u)^{'} = \frac{5}{u}$ ,

begynner vi med å skrive

$g (x) = 5 ln (x^{3} - x) = 5 \ln u (x) = h (u (x))$

Ved å benytte kjerneregelen for derivasjon, som sier at

$h (u (x)))^{'} = u^{'} (x) h^{'} (u)$

finner vi da at

$g^{'} (x) = u^{'} (x) h^{'} (u) = (x^{3} - x)^{'} (5 \ln u)^{'} = (3 x^{2} - 1) (\frac{5}{u})$

$= (3 x^{2} - 1) (\frac{5}{x^{3} - x}) = \frac{15 x^{2} - 5}{x^{3} - x}$

Svar: $g^{'} (x) = \frac{15 x^{2} - 5}{x^{3} - x}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

Eksempel: log₁₀(1000) = 3 ettersom 10³ = 1000.

logaritme

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

For flere forklaringer og eksempler på derivasjon, se artikkelen Kjerneregelen.

c)

$h (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Funksjonen $h (x)$ er en brøk, og vi må ta i bruk brøkregelen.

Brøkregelen for derivasjon sier

$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$

I vårt tilfelle er $u (x) = x - 1$ og $v (x) = x + 1$ , og derfor $u^{'} (x) = 1$ og $v^{'} (x) = 1$

$\begin{matrix} h^{'} (x) = (\frac{u (x)}{v (x)})^{'} = \frac{u^{'} (x) v (x) - u (x) v^{'} (x)}{{(v (x))}^{2}} = \frac{(x - 1)^{'} (x + 1) - (x - 1) (x + 1)^{'}}{(x + 1)^{2}} \\ = \frac{1 \cdot (x + 1) - (x - 1) \cdot 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{x + 1 - x + 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{2}{(x + 1)^{2}} \end{matrix}$

Alternativ løsning

Vi kan skrive $h (x)$ på en annen måte før vi deriverer:

$h (x) = \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1} = 1 - 2 (x + 1)^{- 1}$

For å derivere $(x + 1)^{- 1}$ bruker vi kjerneregelen med kjernen $u = x + 1$

$\begin{matrix} h^{'} (x) = (1 - 2 (x + 1)^{- 1})^{'} = 0 - 2 \cdot (x + 1)^{'} \cdot (- 1) \cdot (x + 1)^{- 2} \end{matrix}$

$\begin{matrix} = 2 (x + 1)^{- 2} = \frac{2}{(x + 1)^{2}} \end{matrix}$

Svar: $h^{'} (x) = \frac{2}{(x + 1)^{2}}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

For flere forklaringer og eksempler på derivasjon, se artikkelen Å derivere sammensatte uttrykk.

Oppgave 2 (5 poeng) Nettkode: E-4D8F

Polynomet $P$ er gitt ved

$P (x) = x^{3} - 7 x^{2} + 14 x + k$

a)

Vis at $P$ er delelig med $(x - 2)$ hvis og bare hvis $k = - 8$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

At $P$ er delelig med $(x - 2)$ betyr det at $\frac{P (x)}{x - 2}$ er et polynom (at $27$ er delelig med $3$ betyr at $\frac{27}{3}$ er et heltall). Det betyr at $\frac{P (x)}{x - 2} = Q (x)$ , og multipliserer vi begge sider med $(x - 2)$ får vi $P (x) = (x - 2) Q (x)$ . Dette stemmer hvis og bare hvis $P (2) = 0$ .

$P$ er delelig med $(x - 2)$ hvis og bare hvis $P (2) = 0$ . Da får vi

$\begin{matrix} 2^{3} - 7 \cdot 2^{2} + 14 \cdot 2 + k = 0 \\ 8 - 28 + 28 + k = 0 \\ k = - 8 \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

Divisjon

Divisjon er en regneart som er den omvendte operasjonen av multiplikasjon.

Eksempel: $6 : 2 = 3$ fordi $2 \cdot 3 = 6$ .

divisjon

For flere forklaringer og eksempler på polynomdivisjon, se artikkelen Nullpunktsetningen - når går divisjonen opp?.

b)

Sett $k = - 8$ og faktoriser $P$ ved hjelp av lineære faktorer.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Lineære faktorer er uttrykk på formen $a x + b$ . Siden $P$ er et tredjegradspolynom, og $P (x) = (x - 2) Q (x)$ , kan vi dele $P$ på $(x - 2)$ . Da får vi et andregradspolynom, som kan faktoriseres med abc-formelen.

Vi starter med å dele $P$ på $(x - 2)$

Å faktorisere $x^{2} - 5 x + 4$ gjør vi, ved å finne nullpunktene

$\begin{matrix} x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \\ x_{1} = \frac{5 + 3}{2} = 4 og x_{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \end{matrix}$

Derfor er

$x^{2} - 5 x + 4 = (x - 1) (x - 4)$ ,

og $P$ kan faktoriseres

$P (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 4)$

Svar: $P (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 4)$

Mer om

Denne oppgaven er om

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formelen

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

Divisjon

Divisjon er en regneart som er den omvendte operasjonen av multiplikasjon.

Eksempel: $6 : 2 = 3$ fordi $2 \cdot 3 = 6$ .

divisjon

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkt

For flere forklaringer og eksempler på polynomdivisjon, se artikkelen Polynomdivisjon - skritt for skritt.

c)

Løs ulikheten $P (x) \leq 0$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Et fortegnssjema viser oss akkurat hvor $P$ er positiv, negativ og lik $0$ . Og siden vi har faktorisert $P$ i lineære faktorer, har vi alt vi trenger.

Fortegnssjemaet til $P$ ser slik ut:

Vi ser at $P$ er negativ i $⟨ \leftarrow, 1 ⟩ \cup ⟨ 2, 4 ⟩$ , så vi har løsningen $L = ⟨ \leftarrow, 1] \cup [2, 4]$

Svar: $L = ⟨ \leftarrow, 1] \cup [2, 4]$

Mer om

Denne oppgaven er om

Fortegnsskjema

Et fortegnsskjema er en grafisk framstilling av hvordan fortegnet til ulike faktorer i et uttrykk endrer seg med x.

fortegnsskjema

, ulikhet,

Intervall

Et intervall er det samme som et tallområde. Tallene 4, 5, 6 og 7 ligger i intervallet 4–7 (fire til sju).

Dersom vi ikke har sagt noe annet, lar vi øvre og nedre grense høre med til intervallet.

intervall

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

For flere forklaringer og eksempler på fortegnsskjema, se artikkelen Fortegnslinja 1.

Oppgave 3 (7 poeng) Nettkode: E-4D8J

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = x^{2} e^{1 - x^{2}}, D_{f} = ℝ$

a)

Vis at $f' (x) = 2 x (1 - x^{2}) e^{1 - x^{2}}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi ser at $f$ er produktet av to funksjoner, $x^{2}$ og $e^{1 - x^{2}}$ , så produktregelen kan vi få bruk for. $x^{2}$ vet vi hvordan vi deriverer, men vi må også derivere $e^{1 - x^{2}}$ . Her ser vi at uttrykket er på formen $e^{u}$ , der $u = 1 - x^{2}$ , så kjerneregelen kan brukes.

Vi setter $u = x^{2}$ og $v = e^{1 - x^{2}}$ , da blir $\begin{matrix} f^{'} (x) = (x^{2} e^{1 - x^{2}})^{'} = (u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'} \\ = (x^{2})^{'} \cdot e^{1 - x^{2}} + x^{2} \cdot (e^{1 - x^{2}})^{'} = 2 x e^{1 - x^{2}} + x^{2} \cdot (e^{1 - x^{2}})^{'} \end{matrix}$ Det gjenstår å regne ut $(e^{1 - x^{2}})^{'}$ . Hvis vi setter $u (x) = 1 - x^{2}$ og bruker kjerneregelen, så blir uttrykket $(e^{u (x)})^{'} = u^{'} (x) e^{u (x)} = (1 - x^{2})^{'} e^{1 - x^{2}} = - 2 x e^{1 - x^{2}}$ Når vi vet dette får vi $\begin{matrix} f^{'} (x) = 2 x e^{1 - x^{2}} + x^{2} \cdot (e^{1 - x^{2}})^{'} \\ = 2 x e^{1 - x^{2}} + x^{2} \cdot (- 2 x e^{1 - x^{2}}) \\ = 2 x e^{1 - x^{2}} - 2 x^{3} e^{1 - x^{2}} \\ = 2 x (1 - x^{2}) e^{1 - x^{2}} \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

For flere forklaringer og eksempler på derivasjon, se artikkelen Å derivere sammensatte uttrykk.

b)

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Når vi skal finne topp-og bunnpunkter til en funksjon, er det veldig nyttig å tegne opp et fortegnsskjema til den deriverte til funksjonen. Nå har vi jo regnet ut $f^{'}$ , så klarer vi å tegne et fortegnsskjema? For å få til dette burde vi faktorisere uttrykket i faktorer som vi har en oversikt over hvor er positive og negative.

Vi vil faktorisere

$f^{'} (x) = 2 x (1 - x^{2}) e^{1 - x^{2}}$

i faktorer som vi har en oversikt over hvor er positive og negative, og så tegne opp fortegnsskjema.

$2 x (1 - x^{2}) e^{1 - x^{2}} = 2 x (1 + x) (1 - x) e^{1 - x^{2}}$

$2 x$ , $1 + x$ og $1 - x$ er lineære faktorer som vi har kontroll på, og $e^{1 - x^{2}}$ er alltid positiv (et positivt tall opphøyd i noe er alltid positivt). Vi tegner fortegnsskjemaet:

At $f^{'} (x)$ er positiv betyr at $f (x)$ stiger, og at $f^{'} (x)$ er negativ betyr at $f (x)$ synker. Derfor ser vi at $f$ stiger fram til $x = - 1$ , så synker $f$ til $x = 0$ , deretter stiger $f$ igjen, til $x = 1$ , og etter det synker $f$ . Derfor er toppunktene når $x = - 1$ og $x = 1$ , og bunnpunktet er når $x = 0$ .

Vi vet nå $x$ -verdiene til topp- og bunnpunktene. For å ha koordinatene til punktene, må vi også vite $y$ -verdiene- Disse finner vi ved å sette disse verdiene i $f$ : $\begin{matrix} x = - 1 & f (- 1) = (- 1)^{2} e^{1 - (- 1)^{2}} = 1 \cdot e^{0} = 1 \\ x = 0 & f (0) = 0^{2} e^{1 - 0^{2}} = 0 \cdot e^{1} = 0 \\ x = 1 & f (1) = 1^{2} e^{1 - 1^{2}} = 1 \cdot e^{0} = 1 \end{matrix}$

Toppunkter: $(- 1, 1)$ og $(1, 1)$

Bunnpunkt: $(0, 0)$

Svar: Toppunkter: $(- 1, 1)$ og $(1, 1)$ , og Bunnpunkt: $(0, 0)$

Mer om

Denne oppgaven er om

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkt

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er mindre enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

bunnpunkt

Fortegnsskjema

Et fortegnsskjema er en grafisk framstilling av hvordan fortegnet til ulike faktorer i et uttrykk endrer seg med x.

fortegnskjema

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

For flere forklaringer og eksempler på ekstremalpunkter, se artikkelen Topp- og bunnpunkter.

c)

Lag en skisse av grafen til $f$ , når du får vite at $f (x) \to 0$ når $x \to \pm \infty$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

I tillegg til informasjonen oppgaven gir oss, vet vi topp- og bunnpunktene til funksjonen, så vi kan begynne med å markere disse.

Mer om

Denne oppgaven er om

Graf

En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

graf

Grenseverdi

En uendelig tallfølge a₁, a₂, a₃, ...har grenseverdi A dersom vi kan få a_n så nær A vi vil ved å velge n stor nok.

grenseverdi

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkt

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er mindre enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

bunnpunkt

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

For flere forklaringer og eksempler på grafer, se artikkelen Grafen til en funksjon.

d)

Bruk skissen til å avgjøre hvor mange vendepunkt grafen til $f$ har.

Marker vendepunktene på skissen.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

Et vendepunkt på grafen er der $f$ går fra å være konveks til å være konkav, eller omvendt.

Beregningene som la grunnlag for skissen gir bare informasjon om fortegnet og monotoniegenskapene til $f$ og dens asymptotiske oppførsel. Vi brukte altså bare at funksjonen er ikke-negativ og informasjon om hvor funksjonen er voksende eller avtagende, og hvordan funksjonen oppfører seg når $x$ får stor tallverdi. Det er mulig å tegne mange skisser som samsvarer med all denne informasjonen samtidig som funksjonene som skisseres tilsynelatende har forskjellig antall vendepunkter. En funksjon kan nemlig være avtagende eller voksende i et intervall der den samtidig har mange vendepunkter.

Et annet poeng er at en graf egentlig aldri kan gi oss sikker informasjon om antall vendepunkter. Ved å zoome inn er det alltid en mulighet for å oppdage nye vendepunkter som ikke kunne oppdages i større skala.

Svar: Oppgaven er uløselig da vi ut i fra skissen ikke kan avgjøre hvor mange vendepunkter det finnes.

Mer om

Denne oppgaven er om

Vendepunkt

Et vendepunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $x = a$ , der funksjonen bytter mellom å være konveks og konkav. I et vendepunkt skifter den annenderiverte $f'' (x)$ fortegn.

vendepunkt

Graf

graf

Konveks

La $f (x)$ være en kontinuerlig funksjon. I de intervallene der grafen til $f (x)$ åpner seg oppover , sier vi at $f (x)$ er konveks. En kontinuerlig, deriverbar funksjon er konveks på et interval [a,b] hvis $f'' (x)$ har positivt fortegn for alle $x$ i intervallet.

konveks

Konkav

La $f (x)$ være en kontinuerlig funksjon. I de intervallene der grafen til åpner seg nedover, sier vi at $f (x)$ er konkav. En kontinuerlig, deriverbar funksjon $f$ er konkav på et interval $[a, b]$ hvis $f'' (x)$ har negativt fortegn for alle $x$ i intervallet.

konkav

For flere forklaringer og eksempler på vendepunkter, se artikkelen Vendepunkt og vendetangent.

Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4D8P

En likesidet $Δ A B C$ har side lik $6$ cm. Høyden fra $C$ treffer $A B$ i $H$ . $▫$ $B E D C$ er et kvadrat. En sirkelbue med sentrum i $C$ og radius $C E$ treffer forlengelsen av $A B$ i punktet $F$ . Se figuren nedenfor.

a)

Bestem lengdene av linjestykkene $C H$ , $C F$ og $H F$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

I rettvinklede trekanter kan vi bruke pytagoras for å finne den ukjente lengden.

$C H$ : $Δ H B C$ er rettvinklet og $H B = 3 cm$ , og $B C = 6 cm$ .

${C H}^{2} = {B C}^{2} - {H B}^{2}$

$C H = \sqrt{27} cm = 3 \sqrt{3} cm$

$C F$ : $C F = C E$ og $Δ B E C$ er rettvinklet og $B E = B C = 6 cm$ .

${C E}^{2} = {B C}^{2} + {B E}^{2}$

$C E = \sqrt{72} cm = 6 \sqrt{2} cm$

$H F$ : $Δ H F C$ er rettvinklet og $C H = 3 \sqrt{3} cm$ , og $C F = 6 \sqrt{2} cm$ .

${H F}^{2} = {C F}^{2} - {C H}^{2}$

$H F = \sqrt{45} cm = 3 \sqrt{5} cm$

Svar: $C H$ $= 3 \sqrt{3}$ cm, $C E$ $= 6 \sqrt{2}$ cm og $H F$ $= 3 \sqrt{5}$ cm

Mer om

Denne oppgaven er om

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

Rett vinkel

En rett vinkel er 90 grader og vi skriver 90°. Vi sier da at vinkelbeina står normalt på hverandre.

rettvinkel

Pytagoras læresetning

Pytagoras læresetning sier at:

Arealet av kvadratet utspent av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene utspent av katetene.

Hvis lengden av katetene er a og b, og lengden av hypotenusen er c, har vi denne sammenhengen : $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Setningen kan brukes til å finne lengden til en side i en trekant.

Pytagoras læresetning

Linjestykke

Et linjestykke er en sammenhengende bit av en linje, avgrenset av to endepunkter. Navnet på et linjestykke er vanligvis gitt ved de to endepunktene: AB, CD, ...

linjestykke

For flere forklaringer og eksempler på geometri, se artikkelen Et punkt og en linje.

b)

Vis at forholdet $\frac{A F}{A B}$ er lik «det gylne snitt» $φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Hvis vi vet de to lengdene $A B$ og $A F$ , kan vi regne ut forholdet. Men $A B = 6 cm$ og $A F = A H + H F = 3 cm + 3 \sqrt{5} cm$ .

$A B = 6 cm$ og $A F = A H + H F = 3 cm + 3 \sqrt{5} cm$ , så derfor er

$\frac{A F}{A B} = \frac{3 cm + 3 \sqrt{5} cm}{2 \cdot 3 cm} = \frac{3 cm (1 + \sqrt{5})}{2 \cdot 3 cm} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Det gylne snitt

Det gylne snitt er et forholdstall og en måte å dele et linjestykke på slik at de to delene står i et bestemt forhold til hverandre og til helheten.

Forholdstallet er: $\frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1, 618$ .

Når et linjestykke er delt etter $\frac{A B}{A P} = \frac{A P}{P B}$ , er linjestykket delt etter forholdet til det gylne snitt.

Denne delingen av linjestykket har hatt stor betydning i kunst og arkitektur, da det skal være behagelig for øyet.

gylne snitt

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

For flere forklaringer og eksempler på brøk, se artikkelen Forkorte og utvide brøk.

Oppgave 5 (6 poeng) Nettkode: E-4D8S

Punktene $A (1, 1)$ , $B (5, 2)$ og $C (3, 5)$ er gitt.

a)

Bruk vektorregning til å avgjøre om punktene ligger på en rett linje.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Dersom $A$ , $B$ og $C$ ligger på en rett linje, så må $\vec{A B}$ og $\vec{B C}$ (og $\vec{A C}$ ) være parallelle. Hvis to vektorer, $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er parallelle, så har vi $\vec{a} = t \vec{b}$ for et reelt tall $t$ (skalar).

$\vec{A B} = [5 - 1, 2 - 1] = [4, 1]$ og $\vec{B C} = [3 - 5, 5 - 2] = [- 2, 3]$ .

Hvis $\vec{A B}$ er parallell med $\vec{B C}$ , så finnes det et reelt tall $t$ slik at

$\vec{A B} = t \vec{B C}$

$[4, 1] = t [- 2, 3]$

$4 = - 2 t og 1 = 3 t$

$t = - \frac{1}{2} og t = \frac{1}{3}$

Dette stemmer ikke (vi kan ikke få to forskjellige verdier av $t$ ), og derfor kan heller ikke $\vec{A B}$ være parallell med $\vec{B C}$ , så $A$ , $B$ og $C$ ligger ikke på en rett linje.

Svar: Punktene ligger ikke på en rett linje.

Mer om

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektor

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Parallelle vektorer.

b)

Punktet $D$ er gitt ved $D (0, t)$ .

Bestem eventuelle verdier av $t$ slik at $∠ C D A = 90^{\circ}$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

At $∠ C D A$ $= 90^{\circ}$ er det samme som å si at $\vec{C D}$ står vinkelrett på $\vec{A D}$ . Og vi vet også at to vektorer står vinkelrett på hverandre hvis og bare hvis skalarproduktet $\vec{C D} \cdot \vec{A D} = 0$ .

Vi starter med å regne ut vektorene $\vec{C D}$ og $\vec{A D}$ .

$\begin{matrix} \vec{C D} = [0 - 3, t - 5] = [- 3, t - 5] \\ \vec{A D} = [0 - 1, t - 1] = [- 1, t - 1] \end{matrix}$

Skalarproduktet $\vec{C D} \cdot \vec{A D} = [- 3, t - 5] \cdot [- 1, t - 1] = (- 3) (- 1) + (t - 5) (t - 1)$
$= 3 + t^{2} - 6 t + 5 = t^{2} - 6 t + 8$

For å finne ut hvilke verdier av $t$ som gjør at skalarproduktet er 0,
løser vi

$t^{2} - 6 t + 8 = 0$

$t = \frac{- (- 6) \pm \sqrt{(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 2}{2} = 3 \pm 1$

$t_{1} = 2 t_{2} = 4$

Svar: $t = 2$ og $t = 4$ gir $∠$ $C D A$ $= 90^{o}$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektor

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formelen

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Ortogonale vektorer.

c)

Bestem eventuelle verdier av $t$ slik at $A B C D$ blir et trapes.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Definisjonen av et trapes er en firkant der to sider er parallelle. Derfor har vi to muligheter
1) $\vec{A B} | | \vec{C D}$
2) $\vec{B D} | | \vec{A D}$

Vi trenger å ta for oss de tre mulighetene.

1) $\vec{A B} | | \vec{C D}$ : $\vec{A B} = [4, 1]$ , $\vec{D C} = [3, 5 - t]$

Hvis de to vektorene er parallelle

$\vec{A B} = s \vec{D C}$

$[4, 1] = s [3, 5 - t]$

$4 = 3 s$ og $1 = s (5 - t)$

$s = \frac{4}{3}$ og $1 = \frac{4}{3} (5 - t)$

For å finne $t$ løser vi
$1 = \frac{4}{3} (5 - t) | \cdot (\frac{3}{4})$

$\frac{3}{4} = 5 - t$

$- \frac{3}{4} + 5 = t$

$t = 4, 25$

2) $\vec{B D} | | \vec{A D}$ : $\vec{B C} = [- 2, 3]$ , $\vec{A D} = [- 1, t - 1]$

Hvis de to vektorene er parallelle

$\vec{B C} = s \vec{A D}$

$[2, - 3] = s [- 1, t - 1]$

$2 = - 1 \cdot s$ og $- 3 = s (t - 1)$

$s = - 2$ og $- 3 = - 2 (t - 1)$

For å finne $t$ løser vi
$- 3 = - 2 (t - 1) | : - 2$

$\frac{3}{2} = t - 1$

$1 + \frac{3}{2} = t$

$t = 2, 5$

Svar: Verdiene $t = 4, 25$ og $t = 2, 5$ gjør at $▫$ $A B C D$ blir et trapes (se figur over).

Mer om

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektor

Trapes

Firkant der to sider er parallelle.

Areal = $\frac{(a + b) h}{2}$

trapes

Parallell

To rette linjer i et plan er parallelle når de ikke skjærer hverandre. Avstanden mellom linjene er den samme uansett hvor du måler.

Tegnet som forteller at to linjer er parallelle: $∥$

Eksempel: $g ∥ f$ , leses "linja g er parallell med linja f".

parallell

For flere forklaringer og eksempler på trapes, se artikkelen Et trapes.

Oppgave 6 (4 poeng) Nettkode: E-4D8W

Elevene på Vg1 må velge fag for Vg2. Camilla vil ha realfag som sitt programområde og må derfor velge minst to realfag. Skolen tilbyr fem realfag og åtte fag fra andre programområder.

a)

Hvor mange fagkombinasjoner er mulig dersom hun skal ha to realfag og to andre fag?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Hvor mange kombinasjoner av to realfag finnes det? Hvor mange kombinasjoner av to andre fag finnes det? Antallet kombinasjoner vi ser etter i oppgaven er disse to svarene multiplisert med hverandre. For hvert par av realfag må vi telle alle mulige par av andre fag.

Vi starter med å finne hvor mange kombinasjoner av to realfag det finnes.
Her er det et uordnet utvalg (rekkefølgen spiller ingen rolle), uten tilbakelegging (vi kan ikke ta det samme realfaget to ganger). Altså bruker vi binomialkoeffisienten

$(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{5!}{2! (5 - 2)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

For å finne hvor mange kombinasjoner av to andre fag det finnes, går bruker vi samme resonnement

$(\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{8!}{2! (8 - 2)!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$

For hvert par av realfag må vi telle alle mulige par av andre fag. Derfor må vi multiplisere disse svarene $10 \cdot 28 = 280$

Svar: Dersom hun skal ha to realfag og to andre fag, er det $280$ forskjellige mulige kombinasjoner der to fag er realfag og to fag er andre fag.

Mer om

Denne oppgaven er om

Binomialkoeffisient

Binomialkoeffisienten

$(\begin{matrix} n \\ m \end{matrix}) = \frac{n!}{m! (n - m)!}$

hvor $n! = n \cdot (n - 1) \cdot \cdot \cdot 2 \cdot 1$ ,

forteller hvor mange måter det kan trekkes m objekter ut fra en samling av n gjenstander uten tilbakelegging.

binomialkoeffisienten

Uordnede utvalg

Når vi trekker objekter fra en samling og rekkefølgen vi trekker i ikke er viktig, sier vi at dette er et uordnet utvalg.

Eksempel: Lottotrekning.

uordnet utvalg

Kombinasjon

En blanding eller sammensetting av flere elementer.

kombinasjon

Kombinatorikk

Handler om å finne antall mulige kombinasjoner i ulike sammenhenger.

Eksempel: antall måter å kombinere Lotto-tallene på, eller hvor mange ulike antrekk vi kan ha på oss dersom vi har 2 bukser og 3 skjorter.

kombinatorikk

For flere forklaringer og eksempler på uordnede utvalg, se artikkelen Uordnede utvalg uten tilbakelegging.

b)

Camilla skal velge fire fag. Hvor mange fagkombinasjoner er mulig dersom minst to av fagene skal være realfag?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

At minst to av fagene skal være realfag betyr at vi har et av tre tilfeller
1)    To realfag og to andre fag
2)    Tre realfag og ett annet fag
3)    Fire realfag

Vi vet at for tilfelle 1) er det $280$ kombinasjoner, så vår jobb er å regne ut antall kombinasjoner for tilfelle 2) og 3)

2) Tre realfag og ett annet fag
Vi vil finne hvor mange tripler $(r_{1}, r_{2}, r_{3})$ av realfag det finnes. Som i a), er dette uordnet utvalg uten tilbakelegging

$(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{5!}{3! (5 - 3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

For hver trippel av realfag skal vi velge ett annet fag, og siden vi har $8$ muligheter blir antall kombinasjoner $10 \cdot 8 = 80$
3) Fire realfag
Til slutt må vi finne ut hvor mange kombinasjoner det finne der vi velger fire realfag. Igjen er det uordnet utvalg uten tilbakelegging, og vi bruker binomialkoeffisienten

$(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{5!}{4! (5 - 4)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{5}{1} = 5$

Altså har vi $5$ kombinasjoner der vi velger fire realfag.

Til sammen blir antall kombinasjoner der minst to av fagene skal være realfag $280 + 80 + 5 = 365$

Svar: Antall kombinasjoner der minst to av fagene skal være realfag er $365$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Kombinatorikk

Handler om å finne antall mulige kombinasjoner i ulike sammenhenger.

Eksempel: antall måter å kombinere Lotto-tallene på, eller hvor mange ulike antrekk vi kan ha på oss dersom vi har 2 bukser og 3 skjorter.

kombinatorikk

Kombinasjon

En blanding eller sammensetting av flere elementer.

kombinasjon

Uordnede utvalg

Når vi trekker objekter fra en samling og rekkefølgen vi trekker i ikke er viktig, sier vi at dette er et uordnet utvalg.

Eksempel: Lottotrekning.

uordnet utvalg

For flere forklaringer og eksempler på sannsynlighet, se artikkelen Repetisjon av begreper.

Oppgave 7 (5 poeng) Nettkode: E-4D90

En funksjon $f$ er gitt på formen

$f (x) = x^{2} + p x + q$

Vi kan finne eventuelle nullpunkt til $f$ ved hjelp av en geometrisk konstruksjon. Framgangsmåten er gitt i boksen nedenfor.

1) Sett av punktene $A (0, 1) og B (- p, q)$ i et koordinatsystem.

2) Konstruer sirkelen som har $A B$ som diameter.

3) Skjæringspunktene mellom sirkelen og $x$ -aksen er nullpunktene til $f$ .

a)

Bruk framgangsmåten til å konstruere sirkelen når

$f (x) = x^{2} - 2 x - 8$

Hva er nullpunktene til $f$ , ifølge konstruksjonen?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Ifølge konstruksjonen skal vi markere punktene $A$ $(0, 1)$ og $B$ $(- p, q)$ $= B$ $(2, - 8)$ . Vi trekker linjestykket $A B$ og halverer for å finne sentrum av sirkelen.

Vi ser at sirkelen krysser $x$ -aksen i $x = - 2$ og $x = 4$ .

Svar: Nullpunktene til $f$ , ifølge konstruksjonen er $x = - 2$ og $x = 4$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkt

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

Linjestykke

Et linjestykke er en sammenhengende bit av en linje, avgrenset av to endepunkter. Navnet på et linjestykke er vanligvis gitt ved de to endepunktene: AB, CD, ...

linjestykke

For flere forklaringer og eksempler på konstruksjon, se artikkelen Konstruksjon av figurer.

b)

Vi vil nå se på det generelle tilfellet

$f (x) = x^{2} + p x + q$

Vis at sentrum $S$ og radien $r$ til sirkelen er gitt ved

$S (- \frac{p}{2}, \frac{q + 1}{2})$ og $r = \sqrt{\frac{p^{2} + {(q - 1)}^{2}}{4}}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi vet at sentrum av sirkelen ligger på midtpunktet av linjestykket $A B$ . Radiusen er halve lengden av $A B$ .

Midtpunktet på et linjestykke ligger midt mellom $x$ -verdiene til punktene, og $y$ -verdiene til punktene (midt mellom to tall $a og b$ , er det samme som gjennomsnittet $\frac{a + b}{2}$ ). $S = (\frac{0 + (- p)}{2}, \frac{1 + q}{2}) = (- \frac{p}{2}, \frac{q + 1}{2})$ Avstanden mellom to punkter $(x_{1}, y_{1})$ og $(x_{2}, y_{2})$ er gitt ved $\sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ som vi får ved å tegne opp trekanten med hjørner i $(x_{1}, y_{1})$ , $(x_{2}, y_{1})$ og $(x_{2}, y_{2})$ og bruke Pytagoras.

Siden radiusen er avstanden mellom $A$ og $S$ (eller $S$ og $B$ , svaret blir det samme),
$r = \sqrt{(- \frac{p}{2} - 0)^{2} + (\frac{q + 1}{2} - 1)^{2}} = \sqrt{\frac{p^{2}}{4} + (\frac{q - 1}{2})^{2}} = \sqrt{\frac{p^{2}}{4} + \frac{(q - 1)^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{p^{2} + (q - 1)^{2}}{4}}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Radius

Radius er en rett linje fra sentrum av en sirkel eller kule og ut til sirkellinja eller kulens overflate. Radius sin lengde er den samme, uansett hvor på sirkelen eller kulen du måler.

radius

Linjestykke

Et linjestykke er en sammenhengende bit av en linje, avgrenset av to endepunkter. Navnet på et linjestykke er vanligvis gitt ved de to endepunktene: AB, CD, ...

linjestykke

Sirkel

Sirkel brukes i to betydninger:

1) Selve sirkellinjen som er den krumme linjen som går gjennom punktene som har samme avstand fra et fast punkt, nemlig sentrum i sirkelen. Dette er det samme som sirkelen sin omkrets.

2) Flaten som sirkellinjen begrenser.

Areal: $A = π r^{2}$
Omkrets: $O = 2 π r$

sirkel

For flere forklaringer og eksempler på sirkler, se artikkelen Alt om sirkel.

c)

Bestem likningen for sirkelen uttrykt ved $p$ og $q$ . Vis at sirkelen skjærer $x$ -aksen i nullpunktene til funksjonen $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

En sirkel med sentrum i $S (x_{0}, y_{0})$ og radius $r$ har likningen $(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = r^{2}$ og siden vi vet $S$ og $r$ , er det bare å sette inn verdiene.

En sirkel med sentrum i $S (x_{0}, y_{0})$ og radius $r$ har likningen $(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = r^{2}$ , og $S (- \frac{p}{2}, \frac{q + 1}{2})$ og $r = \sqrt{\frac{p^{2} + (q - 1)^{2}}{4}}$ .
Derfor får vi likningen
$(x - (- \frac{p}{2}))^{2} + (y - (\frac{q + 1}{2}))^{2} = (\sqrt{\frac{p^{2} + (q - 1)^{2}}{4}})^{2}$
$(x + \frac{p}{2})^{2} + (y - \frac{q + 1}{2})^{2} = \frac{p^{2} + (q - 1)^{2}}{4}$
$x^{2} + p x + \frac{p^{2}}{4} + y^{2} - (q + 1) y + \frac{(q + 1)^{2}}{4} = \frac{p^{2} + (q - 1)^{2}}{4}$
$x^{2} + y^{2} + p x - (q + 1) y + \frac{p^{2}}{4} + \frac{(q + 1)^{2}}{4} - \frac{p^{2}}{4} - \frac{(q - 1)^{2}}{4} = 0$
$x^{2} + y^{2} + p x - (q + 1) y + \frac{(q + 1)^{2} - (q - 1)^{2}}{4} = 0$
$x^{2} + y^{2} + p x - (q + 1) y + \frac{4 q}{4} = 0$
$x^{2} + y^{2} + p x - (q + 1) y + q = 0$

Sirkelen skjærer $x$ -aksen akkurat de stedene hvor $y = 0$ . Setter vi dette inn i likningen vi fant over, får vi likningen $x^{2} + p x + q = 0$ Dette er jo likningen for nullpunktene til $f$ , så derfor skjærer sirkelen $x$ -aksen i nullpunktene til funksjonen $f$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkt

Sirkel

Sirkel brukes i to betydninger:

Areal: $A = π r^{2}$
Omkrets: $O = 2 π r$

sirkel

Radius

Radius er en rett linje fra sentrum av en sirkel eller kule og ut til sirkellinja eller kulens overflate. Radius sin lengde er den samme, uansett hvor på sirkelen eller kulen du måler.

radius

For flere forklaringer og eksempler på funksjoner, se artikkelen Typer av funksjoner.

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng) Nettkode: E-4D94

Vi har to bunker med kort. I bunke A er det 5 røde og 3 svarte kort. I bunke B er det 3 røde og 4 svarte kort.

Vi velger tilfeldig én av bunkene og trekker tilfeldig 2 kort fra denne bunken. Vi definerer følgende hendelser:

F: Vi velger bunke A

R: Vi trekker 2 røde kort

a)

Bestem $P (F)$ , $P \bar{(F)}$ , $P (R | F)$ og $P (R | \bar{F})$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Tanker

Vi skal først velge en bunke, og så skal vi velge to kort. For å få en bedre oversikt starter vi med å lage et valgtre som illustrerer situasjonen.

Her er valgtreet markert med farger, slik at du lettere skal se hvilen gren av treet som viser hvilket valg som blir tatt. Først velger vi bunken. Det er like stor sjanse for å trekke bunke $A$ som bunke $B$ . Når vi så har valgt dette, trekker vi det første kortet (sannsynlighetene er oppgitt), som kan være rødt eller svart. For å regne ut sannsynligheten for hver av endene i treet (altså en hendelse), ganger vi sammen sannsynlighetene til hver gren som fører oss til denne enden.

1. $P (F) = P (Vi velger bunke A) = \frac{1}{2} = 0, 5$

2. $P (\bar{F}) = P (Vi velger ikke bunke A) = P (Vi velger bunke B) = \frac{1}{2} = 0, 5$

3. $P (R | F) = P (2 røde, gitt bunke A) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{5}{14}$

4. $P (R | \bar{F}) = P (2 røde, gitt ikke bunke A) = P (2 røde, gitt bunke B) = \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{7}$

Svar: $P (F) = \frac{1}{2} = 0, 5$ , $P (\bar{F}) = \frac{1}{2} = 0, 5$ , $P (R | F) = \frac{5}{14}$ og $P (R | \bar{F}) = \frac{1}{7}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Betinget sannsynlighet

Den betingede sannsynligheten $P (A | B)$ er sannsynligheten for en hendelse A forutsatt (gitt) at hendelsen B har inntruffet.

$P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ .

betinget sannsynlighet

For flere forklaringer og eksempler på sannsynlighet, se artikkelen Betinget sannsynlighet.

b)

Bestem $P (R)$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Hendelse $R$ , er at vi har trukket to røde kort. Dette kan skje på to måter

1. Vi velger bunke $A$ , og så trekker to røde

2. Vi velger bunke $B$ , og så trekker to røde

For et visuelt inntrykk, så er det Blå-Rød-Rød hendelsen og Grønn-Rød-Rød hendelsen på valgtreet over.

Den enkleste løsningen er å se at hendelsen $R$ er unionen av de to hendelsene Blå-Rød-Rød og Grønn-Rød-Rød, som vist på valgtreet over. Husk at sannsynligheten for en hendelse i et valgtre finnes ved å multiplisere sannsynlighetene til valgene hendelsen består av.

$P (Blå-Rød-Rød) =$ $\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{1 \cdot 5 \cdot 4}{2 \cdot 8 \cdot 7} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 7} = \frac{5}{2 \cdot 2 \cdot 7} = \frac{5}{28}$

$P (Grønn-Rød-Rød) =$ $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{6} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 2}{2 \cdot 7 \cdot 6} = \frac{1 \cdot 6}{2 \cdot 7 \cdot 6} = \frac{1}{2 \cdot 7} = \frac{1}{14}$

Siden $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ , når $A \cap B = \emptyset$ (som er tilfellet når vi har to disjunkte hendelser), får vi $\begin{matrix} P(R)=P(Blå-Rød-Rød)+P(Grønn-Rød-Rød)= \frac{5}{28} + \frac{1}{14} = \frac{5}{28} + \frac{2}{28} = \frac{7}{28} = \frac{7}{7 \cdot 4} = \frac{1}{4} \end{matrix}$

Svar: $P (R) =$ $\frac{1}{4}$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Union

Unionen av to mengder A og B er en ny mengde $A \cup B$ som består av alle elementer som forekommer i minst en av A og B.

Eksempel: hvis $A = \{2, 4, 5, 18\} o g B = \{1, 2, 4, 24\}$ er to mengder, blir unionen $A \cup B = \{1, 2, 4, 5, 18, 24\}$ .

union

Snitt

Snittet av to mengder A og B er en ny mengde $A \cap B$ som består av alle elementer som forekommer både i A og B.

Eksempel:

$A = {2, 4, 5, 18} o g B = {1, 2, 4, 24}$

$A \cap B = {2, 4}$

snitt

Sannsynlighet

Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.

Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.

Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.

Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.

sannsynlighet

For flere forklaringer og eksempler på sannsynlighet, se artikkelen Uavhengige hendelser og produkt av sannsynligheter.

Visste du at

$A \cap B = \emptyset$ betyr at snittet mellom $A$ og $B$ er en tom mengde, altså ingen elementer er felles.

c)

Bruk Bayes’ setning til å bestemme $P (F | R)$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Bayes’ setning lyder $P(A|B) = \frac{P (B |A) \cdot P(A)}{P(B)}$ og i vårt tilfelle blir det $P(F|R) = \frac{P (R |F) \cdot P (F)}{P(R)}$ . Fra b) vet vi at $P (R) = \frac{1}{4}$ , så vi trenger å regne ut $P (F \cap R)$ .

Bayes’ setning gir oss at $P(F|R) = \frac{P (R |F) \cdot P (F)}{P(R)}$ . Vi vet at $P (R) = \frac{1}{4}$ og $P (R |F) og P (F)$ fant vi i deloppgave a), så vi trenger å regne ut $P (F |R)$ .

$P(F|R) = \frac{P (R |F) \cdot P (F)}{P(R)} = \frac{\frac{5}{14} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$

Svar: $P(F|R) = \frac{5}{7}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Bayes' setning

Bayes' setning sier at $P (A | B) = \frac{P (B | A) P (A)}{P (B)} .$

Bayes' setning

Betinget sannsynlighet

Den betingede sannsynligheten $P (A | B)$ er sannsynligheten for en hendelse A forutsatt (gitt) at hendelsen B har inntruffet.

$P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ .

betinget sannsynlighet

For flere forklaringer og eksempler på Bayes-setningen, se artikkelen Bayes-setningen.

Oppgave 2 (6 poeng) Nettkode: E-4D98

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = 5 e^{- \frac{x}{2}}, x \geq 0$

a)

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ .

Løs oppgaven her

b)

Rektangelet $O A B C$ er gitt ved punktene $O (0, 0)$ , $A (x, 0)$ , $B (x, f (x))$ og $C (0, f (x))$ .

Forklar at arealet til rektangelet er gitt ved

$T (x) = 5 x e^{- \frac{x}{2}}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Arealet av et rektangel er gitt ved lengde $\cdot$ bredde. Hvis vi kan finne lengde og bredde har vi et uttrykk for arealet.

Først tegner vi opp en figur som viser situasjonen

Her brukte vi en 'glider'-knapp, slik at vi kan variere hvor punktene er.

Vi ser at lengden av rektangelet er lengden $O A =$ $x - 0 = x$ og høyden er $O C =$ $f (x) - 0 = f (x)$ . Derfor får vi arealet $T (x) = x \cdot f (x) = x \cdot 5 e^{- \frac{x}{2}} = 5 x e^{- \frac{x}{2}}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Rektangel

Et rektangel er en firkant der sidene er parvis like lange og alle vinklene er 90°.

Areal: $A = a b$

Omkrets: $O = 2 a + 2 b$

rektangel

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

For flere forklaringer og eksempler på eksponentialfunksjoner, se artikkelen Johannes viser eksponential- og logaritmefunksjoner.

c)

Bestem det største arealet rektangelet kan få. Bestem den tilhørende verdien for $x$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Nå har vi funnet et uttrykk for arealet av rektangelet $O A B C$ . Hvis vi kan finne toppunktet til denne funksjonen, har vi funnet størst areal og tilhørende $x$ -verdi. Dette kan vi gjøre ved å først derivere $T (x)$ , og deretter løse likningen $T^{'} (x) = 0$ .

Vi skal finne toppunktet til $T (x)$ , så vi starter med å derivere funksjonen. $T^{'} (x) = (5 x e^{- \frac{x}{2}})^{'}$ Vi ser at $T (x)$ er produktet av to funksjoner $u = 5 x$ og $v = e^{- \frac{x}{2}}$ . Derfor må vi bruke produktregelen $(u v)^{'} (x) = u^{'} v + u v^{'}$ $u^{'} = (5 x)^{'} = 5$ , men neste utfordring er å regne ut $v^{'} = (e^{- \frac{x}{2}})^{'}$ . Her kan vi bruke kjerneregelen, men vi kan også bruke regelen $(e^{k x})^{'} = k e^{k x}$ . Så $(e^{- \frac{x}{2}})^{'} = - \frac{1}{2} e^{- \frac{x}{2}}$ Setter vi alt dette sammen får vi nå $\begin{matrix} T^{'} (x) = (5 x e^{- \frac{x}{2}})^{'} \\ = (u v)^{'} (x) = u^{'} v + u v^{'} \\ = 5 e^{- \frac{x}{2}} + 5 x (- \frac{1}{2} e^{- \frac{x}{2}}) \\ = 5 (1 - \frac{1}{2} x) e^{- \frac{x}{2}} \\ = \frac{5}{2} (2 - x) e^{- \frac{x}{2}} \end{matrix}$
For å finne toppunktet til $T (x)$ må vi løse likningen $T^{'} (x) = 0$ . $\frac{5}{2} (2 - x) e^{- \frac{x}{2}} = 0$ Altså vi har at produktet av faktorene $\frac{5}{2}$ , $(2 - x)$ og $e^{- \frac{x}{2}}$ skal være lik $0$ . Men det må bety at en av faktorene må være lik $0$ .

$\frac{5}{2} = 0$ Stemmer ikke
$(2 - x) = 0$ gir $x = 2$ OK
$e^{- \frac{x}{2}} = 0$ Stemmer ikke fordi $e^{x} > 0$ for alle $x$

Det eneste ekstremalpunktet til $T (x)$ er når $x = 2$ . Vi må vise at $T^{''} (2) < 0$ for at dette er et toppunkt og ikke bunnpunkt eller terrassepunkt.

Det største arealet rektangelet kan ha er $T (2) = 5 \cdot 2 \cdot e^{- \frac{2}{2}} = 10 e^{- 1} = \frac{10}{e} \approx 3, 68$

Svar: Det største arealet rektangelet kan ha er $T (2) = 5 \cdot 2 \cdot e^{- \frac{2}{2}} = 10 e^{- 1} = \frac{10}{e} \approx 3, 68$ med tilhørende $x = 2$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Rektangel

Et rektangel er en firkant der sidene er parvis like lange og alle vinklene er 90°.

Areal: $A = a b$

Omkrets: $O = 2 a + 2 b$

rektangel

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

For flere forklaringer og eksempler på derivasjon, se artikkelen Kjerneregelen.

Visste du at

Vi kan også løse dette grafisk, ved å bruke graftegner til å tegne opp $T (x)$ , og deretter bruke Geogebra til å markere toppunktet.

Til slutt leser vi av punktet D(2,3.68).

Oppgave 3 (8 poeng) Nettkode: E-4D9D

Gitt tre punkt $A (1, 3)$ , $B (4, 0)$ og $C (5, 5)$ .

a)

Bestem en parameterframstilling for linjen $l$ gjennom $B$ og $C$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

En linje som går gjennom puntet $A (x_{0}, y_{0})$ og er parallell med vektoren $\vec{v} = [a, b]$ , har parameterframstilling $ℓ : {\begin{matrix} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \end{matrix}$ Dette kan vi forklare med vektorregning. Vi starter med punktene $A (x_{0}, y_{0})$ og $B (x_{1}, y_{1})$ , og vil finne et uttrykk for et punkt $P$ som ligger på linjen $ℓ$ som går igjennom $A$ og $B$ .

Vi vet at $\vec{A B} = [x_{1} - x_{0}, y_{1} - y_{0}]$ , og hvis vi definerer $a = x_{1} - x_{0}$ og $b = y_{1} - y_{0}$ , så kan vi uttrykke $\vec{A B} = [a, b]$ . Videre vet vi at $\vec{A P} | | \vec{A B}$ som gir oss at $\vec{A P} = t \vec{A B}$ .

Posisjonsvektoren til $P$ (altså vektoren som viser koordinatene til $P$ ), $\vec{O P}$ , kan skrives om $\begin{matrix} \vec{O P} = \vec{O A} + \vec{A P} \\ = \vec{O A} + t \vec{A B} \\ = [x_{0}, y_{0}] + t [a, b] \\ = [x_{0} + a t, y_{0} + t b] \end{matrix}$

Linjen $ℓ$ går igjennom punktene $B (4, 0)$ og $C (5, 5)$ . Hvis vi regner ut at $\vec{B C} = [5 - 4, 5 - 0] = [1, 5]$ kan vi si om linja at den går igjennom $B (4, 0)$ og er parallell med vektoren $\vec{v} = \vec{B C} = [1, 5]$ , og fra formelen over vet vi nå at linja har en parameterframstilling $ℓ : {\begin{matrix} x = x_{0} + a t = 4 + 1 \cdot t = 4 + t \\ y = y_{0} + b t = 0 + 5 t = 5 t \end{matrix}$

Svar: Linjen $ℓ$ har en parameterframstilling $ℓ : {\begin{matrix} x = 4 + t \\ y = 5 t \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektor

Koordinat

Koordinatene til et punkt måles langs aksene i et koordinatsystem og forteller nøyaktig hvor vi finner punktet.

Eksempel: I punktet (1,3) er 1 førstekoordinat og 3 er andrekoordinat.

Se Koordinatsystem

koordinat

Punkt

I geometrien tegnes punkt som en prikk eller et kryss. Den knyttes til en fast posisjon og har ingen utstrekning. Et punkt har en stor bokstav som navn, for eksempel A eller B.

punkt

Parallell

To rette linjer i et plan er parallelle når de ikke skjærer hverandre. Avstanden mellom linjene er den samme uansett hvor du måler.

Tegnet som forteller at to linjer er parallelle: $∥$

Eksempel: $g ∥ f$ , leses "linja g er parallell med linja f".

parallell

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Parameterframstilling av en rett linje.

b)

Et punkt $P$ ligger på linjen $l$ . Forklar at vi kan skrive $\vec{A P} = [3 + t, - 3 + 5 t]$ for en $t \in ℝ$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

At punktet $P$ ligger på $ℓ$ må bety at det har koordinater $P (4 + t, 5 t)$ .

Siden $P$ kan skrives $P (4 + t, 5 t)$ , får vi $\vec{AP} = [4 + t - 1, 5 t - 3] = [3 + t, - 3 + 5 t]$

Svar: $\vec{A P} = [3 + t, - 3 + 5 t]$

Mer om

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektor

Linje

En rett linje som vanligvis kalles linje, er en rett strek som har en posisjon og retning. En linje fortsetter uendelig i begge retninger.

linje

Koordinat

Koordinatene til et punkt måles langs aksene i et koordinatsystem og forteller nøyaktig hvor vi finner punktet.

Eksempel: I punktet (1,3) er 1 førstekoordinat og 3 er andrekoordinat.

Se Koordinatsystem

koordinat

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Vektorer mellom to punkter.

c)

Bruk blant annet skalarprodukt til å finne koordinatene til $P$ slik at $\vec{A B} ⊥ \vec{A P}$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Hvis to vektorer står normalt på hverandre, slik i oppgaven, vet vi at skalarproduktet er lik $0$ .

$\vec{AB} ⊥ \vec{AP}$ betyr at $\vec{AB} \cdot \vec{AP} = 0$ Før vi løser denne likningen trenger vi $\vec{AB} = [4 - 1, 0 - 3] = [3, - 3]$ , $\begin{matrix} \vec{AB} \cdot \vec{AP} = 0 \\ [3, - 3] \cdot [3 + t, - 3 + 5 t] = 0 \\ 3 (3 + t) + (- 3) (- 3 + 5 t) = 0 \\ 9 + 3 t + 9 - 15 t = 0 \\ 18 - 12 t = 0 \\ \frac{18}{12} = \frac{12 t}{12} \\ t = \frac{18}{12} = \frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 2} = \frac{3}{2} = 1, 5 \end{matrix}$ Hvis $t = 1, 5$ , får vi at $P = (4 + t, 5 t) = (5.5, 7.5)$ .

Svar: P $= (5.5, 7.5)$

Mer om

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektor

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Ortogonale vektorer.

d)

Bruk CAS til å bestemme hvilke koordinater $P$ kan ha når $∠ B A P = 45^{\circ}$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

Hvis vi har punktene $P (x_{1}, y_{1})$ og $Q (x_{2}, y_{2})$ så er $\vec{PQ} = [x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}]$ Videre spør oppgaven oss om vinkelen mellom to vektorer, og da kan vi friske opp litt.

Husk at denne oppgaven kan løses med CAS, men vi velger vise deg løsnignen under. Hvis vi har de to vektorene $\vec{a} = [a_{1}, a_{2}]$ og $\vec{b} = [b_{1}, b_{2}]$ , som begge har utgangspunkt i det samme punktet, utspenner de en trekant, der den siste siden er vektoren $\vec{a} - \vec{b} = [a_{1} - b_{1}, a_{2} - b_{2}]$ , se figuren under

Kaller vi vinkelen imellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ for $v$ , får vi fra cosinussetningen

$|\vec{a} - \vec{b}| = {|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos (v)$

${(\sqrt{{(a_{1} - b_{1})}^{2} + {(a_{2} - b_{2})}^{2}})}^{2} =$

$= {(\sqrt{{(a_{1})}^{2} + {(a_{2})}^{2}})}^{2} + {(\sqrt{{(b_{1})}^{2} + {(b_{2})}^{2}})}^{2} - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos (v)$

$2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos (v) = {(a_{1})}^{2} + {(a_{2})}^{2} + {(b_{1})}^{2} + {(b_{2})}^{2} - {(a_{1} - b_{1})}^{2} - {(a_{2} - b_{2})}^{2}$

$2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos (v) = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + b_{1}^{2} + b_{2}^{2} - a_{1}^{2} + 2 a_{1} b_{1} - b_{1}^{2} - a_{2}^{2} + 2 a_{2} b_{2} - b_{2}^{2}$

$2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos (v) = 2 a_{1} b_{1} + 2 a_{2} b_{2}$

$|\vec{a}| |\vec{b}| \cos (v) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$

$|\vec{a}| |\vec{b}| \cos (v) = \vec{a} \cdot \vec{b}$

Nå har vi en sammenheng mellom to vektorer, og vinkelen imellom dem.

Våre to vektorer er $\vec{A B} = [3, - 3]$ og $\vec{A P} = [3 + t, - 3 + 5 t]$ , og vinkelen er
$∠ B A P = 45^{\circ}$ . Likningen vi får er
$\begin{matrix} | \vec{A B} | | \vec{A P} | cos 45^{\circ} = \vec{A B} \cdot \vec{A P} \\ | [3, - 3] | | [3 + t, - 3 + 5 t] | cos 45^{\circ} = [3, - 3] \cdot [3 + t, - 3 + 5 t] \\ \sqrt{3^{2} + (- 3)^{2}} \cdot \sqrt{(3 + t)^{2} + (- 3 + 5 t)^{2}} \cdot cos 45^{\circ} = 18 - 12 t \end{matrix}$ Dette er en likning vi kan legge inn i CAS.

1. $t = - 3$ gir at $P = (4 + t, 5 t) = (4 - 3, 5 \cdot (- 3)) = (1, - 15)$

2. $t = \frac{3}{5}$ gir at $P = (4 + t, 5 t) = (4 + \frac{3}{5}, 5 \cdot \frac{3}{5}) = (4.6, 3) = (\frac{23}{5}, 3)$

Svar: $P$ kan ha koordinatene $(1, - 15)$ eller $(\frac{23}{5}, 3)$ når $∠ B A P = 45^{\circ}$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektor

Vinkel

En vinkel er en geometrisk figur satt sammen av to rette linjer med samme startpunkt. Vinkler måles i grader.

vinkel

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Vinkelen mellom to vektorer.

Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4D9K

Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = \frac{1}{x}, x \neq 0 .$

$Δ A B C$ har hjørnene $A (r, f (r))$ , $B (s, f (s))$ og $C (t, f (t))$ på grafen til $f$ , der $r$ , $s$ , $t \in ℝ$ er tre parametere.

a)

Vis at linjen $l_{1}$ gjennom $A$ som står normalt på linjen gjennom $B$ og $C$ , er gitt ved

$y = s t (x - r) + \frac{1}{r}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Det vi vet om linjer er det at hvis $ℓ_{1}$ , gitt ved $y = a x + b$ , står normalt på $ℓ_{2}$ , gitt ved $y = c x + d$ , da er $a = - \frac{1}{c}$ . Vi vet også at stigningstallet til en linje gjennom $(x_{1}, y_{1})$ og $(x_{2}, y_{2})$ er gitt ved $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ Dessuten vet vi at vi finner konstantleddet hvis vi i tillegg vet at linja vår går igjennom punktet $(x_{0}, y_{0})$ , og da kan vi bruke ettpunktsformelen $y - y_{0} = a (x - x_{0})$ .

Linja vi skal finne heter $ℓ_{1}$ , med funksjonsuttrykk $y = a x + b$ og vi kaller linja gjennom $B$ og $C$ for $ℓ_{3}$ , med funksjonsuttrykk $y = c x + d$ Siden $ℓ_{1} ⊥ ℓ_{3}$ , vet vi at $a = - \frac{1}{c}$

Linja $ℓ_{3}$ går igjennom $B (s, f (s))$ og $C (t, f (t))$ og har derfor stigningstall $\begin{matrix} c = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (t) - f (s)}{t - s} = \frac{\frac{1}{t} - \frac{1}{s}}{t - s} \\ = \frac{(\frac{1}{t} - \frac{1}{s}) s t}{(t - s) s t} = \frac{s - t}{(t - s) s t} \\ = - \frac{t - s}{(t - s) s t} = - \frac{1}{s t} \end{matrix}$ Derfor kan vi finne $a$ $a = - \frac{1}{c} = - \frac{1 \cdot s t}{- \frac{1}{s t} \cdot s t} = - \frac{s t}{- 1} = s t$
Vi vet nå at $ℓ_{1}$ kan uttrykkes $y = s t x + b$ , og vi vet at linja går igjennom $A (r, f (r)) = A (r, \frac{1}{r})$ . Vi bruker ettpunktsformelen $\begin{matrix} y - y_{0} = a (x - x_{0}) \\ y - \frac{1}{r} = s t (x - r) \\ y = s t (x - r) + \frac{1}{r} \end{matrix}$ Og vi har vist det vi skulle!

Mer om

Denne oppgaven er om

Linje

En rett linje som vanligvis kalles linje, er en rett strek som har en posisjon og retning. En linje fortsetter uendelig i begge retninger.

linje

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær funksjon

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

For flere forklaringer og eksempler på lineære funksjoner, se artikkelen Rette linjer (lineære funksjoner).

b)

På samme måte kan vi vise at linjen $l_{2}$ gjennom $B$ som står normalt på linjen gjennom $A$ og $C$ , er gitt ved

$y = r t (x - s) + \frac{1}{s}$

Linjene $l_{1}$ og $l_{2}$ skjærer hverandre i et punkt $P$ . Bruk CAS til å vise at $P$ alltid vil ligge på grafen til $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi har de to likningene ${\begin{matrix} y = s t (x - r) + \frac{1}{r} \\ y = r t (x - s) + \frac{1}{s} \end{matrix}$ som møtes i punktet $P (x_{0}, y_{0})$ . Dersom dette punktet skal ligge på $f$ , må $y_{0} = f (x_{0}) = \frac{1}{x_{0}}$ , og at $y_{0} = \frac{1}{x_{0}}$ er det samme som at $x_{0} \cdot y_{0} = 1$ .

Vi starter med å legge inn de to likningene inn i CAS, og løse med hensyn på $x$ og $y$ (dette er våre variabler).

Vi taster inn: Løs[{y=s*t*(x-r)+1/r, y=r*t*(x-s)+1/s },{x,y}]

Til slutt sjekker vi om punktet $P (- \frac{1}{r s t}, - r s t)$ ligger på $f$ $x_{0} \cdot y_{0} = - \frac{1}{r s t} \cdot (- r s t) = 1$ Som stemmer!

Mer om

Denne oppgaven er om

Linje

En rett linje som vanligvis kalles linje, er en rett strek som har en posisjon og retning. En linje fortsetter uendelig i begge retninger.

linje

Punkt

I geometrien tegnes punkt som en prikk eller et kryss. Den knyttes til en fast posisjon og har ingen utstrekning. Et punkt har en stor bokstav som navn, for eksempel A eller B.

punkt

Ligningssett

Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.

likningsett

For flere forklaringer og eksempler på likninger, se artikkelen Likningssett med flere enn to ukjente.

REA3022 2016 Vår

Del 1

Del 2

Eksamensinformasjon

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (5 poeng) Nettkode: E-4D8B

a)

Løsningsforslag a)

Derivasjon

Polynom

b)

Løsningsforslag b)

Derivasjon

Funksjon

Logaritme

Brøk

c)

Løsningsforslag c)

Alternativ løsning

Derivasjon

Brøk

Oppgave 2 (5 poeng) Nettkode: E-4D8F

a)

Løsningsforslag a)

Polynom

Divisjon

b)

Løsningsforslag b)

abc-formelen

Polynom

Divisjon

Nullpunkt

c)

Løsningsforslag c)

Fortegnsskjema

Intervall

Polynom

Oppgave 3 (7 poeng) Nettkode: E-4D8J

a)

Løsningsforslag a)

Derivasjon

Eksponentialfunksjon

b)

Løsningsforslag b)

Toppunkt

Bunnpunkt

Fortegnsskjema

Derivasjon

Eksponentialfunksjon

c)

Løsningsforslag c)

Graf

Grenseverdi

Toppunkt

Bunnpunkt

Funksjon

d)

Løsningsforslag d)

Vendepunkt

Graf

Konveks

Konkav

Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4D8P

a)

Løsningsforslag a)

Trekant

Rett vinkel

Pytagoras læresetning

Linjestykke

b)

Løsningsforslag b)

Det gylne snitt

Brøk

Oppgave 5 (6 poeng) Nettkode: E-4D8S

a)

Løsningsforslag a)

Vektor

b)

Løsningsforslag b)

Vektor