Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Delbrøkoppspalting når røttene er like

Hva skjer om noen av røttene i nevneren er like? Det skal vi lære her, og i samme slengen avslutte kurset.

Nå skal vi delbrøkoppspalte uttrykk der røttene x1 , . . . , xn i nevneren ikke alle er forskjellige. Slike uttrykk kjennetegnes ved at noen av faktorene i nevneren opptrer med en eksponent større enn 1, som for eksempel i uttrykkene

  1. 1x+12
  2. x-6x2x-2
  3. x2x+13x-122

Generelt gjelder følgende regel:

Regel. Delbrøkoppspalting 2

Dersom nevner i det rasjonale uttrykket har en faktor som ser ut som x-ar, vil delbrøkoppspaltingen inneholde leddene

A1x-a+A2x-a2+...+Arx-ar,

der A1,...,Ar er konstanter.

Delbrøkoppspalting av uttrykkene i (1) ville dermed vært på formen

1) 1(x+1)2=Ax+1+B(x+1)2

2)x6x2(x2)=Ax+Bx2+Cx2

3) x2x+13(x12)2=Ax+1+B(x+1)2+C(x+1)3+Dx12+E(x12)2

Regningen for å finne konstantene A, B, ... følger akkurat samme mønster som tidligere, men nå kan vi ikke lenger bruke trikset med å sette inn røttene fra nevneren. Vi er nødt til å løse et likningssystem.

Eksempel

Oppgave. Finn AB og C slik at

x-6x2x-2=Ax+Bx2+Cx-2.

Løsning. Når vi multipliserer med fellesnevneren x2(x2), står vi igjen med likheten

x-6=Axx-2+Bx-2+Cx2.

La oss først undersøke hva som skjer hvis vi prøver oss med metode 2 her, altså innsetting av de to røttene x=0 og x=2. Problemet er tydelig allerede før vi begynner: Vi har bare to lure verdier, mens det er tre ukjente som skal finnes! Prøv gjerne selv, så ser du at metoden gir deg verdien av B og C enkelt og greit, mens A ikke avsløres.

I stedet lager vi et likningssystem. Vi grupperer høyresiden slik at like potenser av x kommer sammen. Vi skriver om og får at

x-6=A+Cx2+-2A+Bx-2B.

Ved å sammenligne koeffisientene på begge sider, får vi et likningssystem:

A+C=0-2A+B=1-2B=-6

Den siste likningen medfører at B=3. Innsatt i den midterste gir dette A=1, som innsatt i den øverste likningen gir C=1. Resultatet av delbrøkoppspaltingen blir

x-6x2x-2=1x+3x2-1x-2.