Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Delbrøksoppspalting - et eksempel

I likhet med polynomdivisjon er det lettest å lære delbrøkoppspalting ved å hoppe i det. Her tar vi et eksempel.

Eksempel

Oppgave. Finn reelle tall A og B slik at

5x-7x-1x-2=Ax-1+Bx-2.

Løsning. La oss gange på begge sider av likningen med fellesnevneren (x1)(x2):

5x-7=Ax-2+Bx-1.

Herfra er det to veier å gå for å finne A og B. Den ene består i å lage et likningssystem der A og B er de ukjente. Den andre består i å sette inn «lure» verdier for x. Vi viser begge metodene:

Metode 1: Likningssystem

Ideen her er å gange ut høyresiden i det første eksempelet og samle x-leddene for seg, og konstantene for seg. Likheten i det første eksempelet blir da omskrevet til

5x-7=A+Bx+-2A-B.

Ved å sammenligne de to sidene, ser vi nå at A og B må oppfylle likningssystemet

A+B=5-2A-B=-7

Nå gjenstår det bare å løse likningssystemet. Legger vi sammen de to likningene, får vi umiddelbart A=2, det vil si A=2. Setter vi inn dette i den øverste likningen, får vi at 2+B=5B=3.

Metode 2: Innsetting av lure verdier

Her er poenget at for noen spesielle verdier av x, blir høyresiden i oppgaveteksten mye enklere. De spesielle verdiene er røttene i nevneren, som her er x=1 og x=2. Hvis vi setter inn x=1, får vi

51-7=A1-2+B1-1    -2=-A    A=2.

Med x=2 får vi

52-7=A2-2+B2-1    B=3.

Vi ser at her fikk vi samme svar som metode en, men vi trengte ikke å løse noe likningssystem.

Uavhengig av hvilken metode vi velger ser vi at svaret er

5x-7x-1x-2=2x-1+3x-2.