www.matematikk.org

Restpolynom

En polynomdivisjon går ikke alltid opp. Da får vi det som kalles et restpolynom.

En vanlig divisjon går ikke alltid opp. Prøv for eksempel å regne ut 163:7 for hånd med metoden vi minnet om i begynnelsen av kurset – dette er barneskolelærdom, men du ender opp med å få en rest. Dette kan også skje i polynomdivisjon, og som med resten av det vi ser på her takler vi det mye på samme måte som for "vanlig" divisjon.

Eksempel

Regn ut x2+3x7x2 ved å bruke polynomdivisjon.

Løsning. Regningen blir slik:Illustrasjon av polynomdivisjonen i eksempelet.

 

Dersom vi skulle ha fortsatt divisjonen nå, ville neste ledd i svaret blitt 3x (fordi det er det x må ganges med for å få 3). Men da ville ikke svaret vært et polynom lenger, så dette vil vi ikke ha. I stedet sier vi at 3 er restpolynomet i divisjonen, og skriver

x2+3x-7x-2=x+5+3x-2.

Polynomdivisjonsteoremet

Vi tar med et teorem som sier formelt når en polynomdivisjon går opp. Man kan langt på vei se hva som må gjelde ut fra å tenke på når vi fikk problemer i divisjonen over, men dette er et viktig teorem.

Teorem. Polynomdivisjon

Anta at vi holder på med en polynomdivisjon Px:Qx, og at Rx er polynomet som står igjen under streken.

  • Hvis graden til Rx er større eller lik graden til Qx, kan polynomdivisjonen fortsette.
  • Hvis graden til Rx er mindre enn graden til Qx, stopper divisjonen opp. Rx kalles restpolynomet eller bare resten i divisjonen.
  • Hvis resten er lik 0 går divisjonen opp.

Vi kaller det som står etter likhetstegnet for Sx, og skriver

PxQx=Sx+RxQx,

som blir til Px=QxSx hvis divisjonen gikk opp; dette kalles en faktorisering av Px.

Publisert: 10.01.2014 Endret: 20.08.2014