Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Delbrøksoppspalting - et eksempel til

Vi tar like godt enda et eksempel på delbrøkoppspalting.

Eksempel 

Oppgave. La fx=x2+1x3-7x-6. Vis at f3=0, og bruk dette til å finne en delbrøkoppspalting av uttrykket.

Løsning. Første mål er å få faktorisert nevneren fx=x37x6. Fordi f3=27736=0, sier nullpunktsetningen at x3 er en av faktorene i fx. Da kan vi bruke polynomdivisjon til å finne en foreløpig faktorisering:

 

Dermed er x3-7x-6=x-3x2+3x+2.

Annengradsuttrykket x2+3x+2 faktoriserer vi videre ved hjelp av de vanlige formlene: Likningen x2+3x+2=0 har løsningene x=1 og x=2, slik at x2+3x+2=x+1x+2. Den endelige faktoriseringen blir dermed

x3-7x-6=x-3x+1x+2.

Nå kan vi begynne selve delbrøkoppspaltingen. Vi må finne konstanter AB og C slik at

x2+1x-3x+1x+2=Ax-3+Bx+1+Cx+2.

Som i forrige eksempel ganger vi overalt med fellesnevneren, x-3x+1x+2:

x2+1=Ax+1x+2+Bx-3x+2+Cx-3x+1.

Vi velger å bruke metoden vi kalte "innsetting av lure verdier" for å finne AB og C. Her, som i forrige eksempel, bruker vi røttene i den opprinnelige nevneren, altså x=3,x=1 og x=2. Vi tar dem etter hverandre.

x=3:

32+1=A45+B0+C0    A=12.

x=-1:

-12+1=A0+B-41+C0    B=-12.

x=-2:

-22+1=A0+B0+C-5-1    C=1.

Dermed har vi funnet alle de tre ukjente verdiene. Konklusjonen blir at

x2+1x3-7x-6=12x-3-12x+1+1x+2.