Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Delbrøkoppspalting

En teknikk som henger sammen med teknikken for polynomdivisjon er det som kalles delbrøkoppspalting. Her skal vi ta våre første skritt i å lære oss denne.

Vi har jobbet mye med brøker der både teller og nevner er polynomer. Slike brøker har et navn.

Definisjon. Rasjonale uttrykk

Et rasjonalt uttrykk er et uttrykk på formen PxQx, der Px og Qx er polynomer. En rasjonal funksjon er en funksjon som er gitt ved et rasjonalt uttrykk.

Legg merke til at definisjonen krever at teller og nevner i brøken er polynomer. Eksempler på rasjonale uttrykk er derfor

 2x2    og     x3+43x22x+1,

mens uttrykk som

 2ex      og     2x2+x+1x3

ikke er rasjonale.

Akkurat som man legger sammen rasjonale tall, kan man også legge sammen rasjonale uttrykk ved å sette på felles brøkstrek og forenkle så mye som mulig:

2x-1+3x-2=2x-2+3x-1x-1x-2=5x-7x2-3x+2.

Den enkleste typen delbrøkoppspalting er denne:

Regel. Delbrøkoppspalting 1

Hvis x1,...,xn er forskjellige tall og Px er et polynom av grad mindre enn n, kan man alltid finne konstanter A1,...,An slik at

Pxx-x1x-x2...x-xn=A1x-x1+A2x-x2+...+Anx-xn.