Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

MAT1013 2014 Vår

Eksamenstid:

5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:

Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:

Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Du skal svare på alle oppgavene.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

viser regneferdigheter og matematisk forståelse
gjennomfører logiske resonnementer
ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
vurderer om svar er rimelige
forklarer framgangsmåter og begrunner svar
skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger

Andre opplysninger:

Kilder for bilder, tegninger osv.

Båt: (http://lokalhistoriewiki.no/, 7.07.2016)
Andre tegninger, grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (1 poeng) Nettkode: E-4BDP

Regn ut og skriv svaret på standardform

$2, 5 \cdot 10^{15} \cdot 3, 0 \cdot 10^{- 5}$

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (2 poeng) Nettkode: E-4BDR

Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig

$9^{\frac{1}{2}} \cdot 6^{0} \cdot 4^{- 1} \cdot \sqrt[3]{8^{2}}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi skal regne ut et stykke der alle grunntallene har en

Eksponent

En potens er et tall på formen xⁿ, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. n kalles eksponenten.

xⁿ = x · x · x...· x, n ganger
eksponent

. Her får vi bruk for reglene for potensregning.

Vi kan ta for oss faktor for faktor, og begynner med den første, $9^{\frac{1}{2}}$ .

Her kan vi bruke potensregelen at for $a > 0$ har vi at $a^{\frac{1}{m}} = \sqrt[m]{a}$ og får da

$9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$

Fra potensregler har vi også at $a^{0} = 1$ når $a \neq 0$ , og får da at

$6^{0} = 1$

I neste faktor kan vi bruke at $a^{- m} = \frac{1}{a^{m}}$ og får da at

$4^{- 1} = \frac{1}{4}$

I den siste faktoren kan vi bruke at $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ og at når $a > 0$ har vi $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ . Vi kan også skrive $8$ om til en potens med grunntall $2$ , $8 = 2^{3}$ . Dette gir

$\sqrt[3]{8^{2}} = \sqrt[3]{(2^{3})^{2}} = \sqrt[3]{2^{6}} = (2^{6})^{\frac{1}{3}} = 2^{2} = 4$

Dermed får vi at:

$9^{\frac{1}{2}} \cdot 6^{0} \cdot 4^{- 1} \cdot \sqrt[3]{8^{2}} = 3 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} \cdot 4 = 3$ .

Svar: $3$

Mer om

Denne oppgaven er om

Potens

En potens består av et grunntall opphøyd i en eksponent. Eksponenten sier hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv. En potens skrives på formen $x^{n}$ , som leses x opphøyd i n-te.

Eksempel: $4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4$

potenser

Kubikkrot

Kubikkroten av et tall $n$ , skrevet $\sqrt[3]{n}$ , er det tallet som opphøyet i $3$ gir $n$ .

Eksempel: Kubikkroten av $8$ er $\sqrt[3]{8} = 2$ , fordi $2^{3} = 8$ .

kubikkrot

For flere eksempler og forklaringer se lynkurset Potenser og røtter.

For å øve mer, se oppgavesettet om potenser i Treningsleiren.

Oppgave 3 (1 poeng) Nettkode: E-4BDT

Løs likningen

$2^{2 - x} \cdot 2^{1 + 2 x} = 32$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi har en likning der begge $x$ -ene er i

Eksponent

En potens er et tall på formen xⁿ, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. n kalles eksponenten.

xⁿ = x · x · x...· x, n ganger

eksponenten

til grunntallet

$2$ . Vi ser at vi også kan skrive høyresiden som en

Potens

toerpotens

Vi kan skrive $32 = 2^{5}$ , da får vi

$\begin{matrix} 2^{2 - x} \cdot 2^{1 + 2 x} & = 2^{5} \end{matrix}$

Ved potensreglene har vi at vi kan finne produktet av to potenser med samme grunntall ved å addere eksponenetene, så da får vi videre at venstresiden kan skrives

$2^{2 - x} \cdot 2^{1 + 2 x} = 2^{(2 - x) + (1 + 2 x)} = 2^{3 + x}$

Dermed har vi

$2^{3 + x} = 2^{5}$

Begge grunntallene er nå like, så vi trenger kun å se på eksponentene for å løse ligningen. Da får vi at:

$\begin{matrix} 3 + x & = & 5 \\ x & = & 5 - 3 \\ x & = & 2 \end{matrix}$

Svar: $x = 2$

Mer om

Denne oppgaven er om

Potens

potenser

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

Eksponentialligning

En eksponentialligning er en ligning der én eller flere potenser har den ukjente i eksponenten.

Eksempel med $x$ som ukjent: $2 \cdot 10^{x} = 4$ eller ${1, 03}^{x} = 2$

eksponentiallikninger

. .

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen om Eksponentiallikninger. For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med potenser finner du i lynkurset Potenser og røtter.

For å øve mer, se oppgavesettet om likninger med eksponentialfunksjoner i Treningsleiren.

Oppgave 4 (1 poeng) Nettkode: E-4BDV

Bestem $c$ slik at uttrykket

$x^{2} + 8 x + c$

blir et fullstendig kvadrat.

Løs oppgaven her

Oppgave 5 (2 poeng) Nettkode: E-4BDX

Løs likningssystemet

$[\begin{matrix} 2 x - 3 y = - 7 \\ 3 x - y = 7 \end{matrix}]$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Dette er et likningsett hvor vi har to likninger med to ukjente. I den andre likningen kan vi greit uttrykke $y$ med $x$ , og bruke substitusjonsmetoden, eller innsettingsmetoden som den også blir kalt.

Vi begynner med å nummerere likningene:

$\begin{matrix} 2 x - 3 y & = - 7 & (1) \\ 3 x - y & = 7 & (2) \end{matrix}$

Vi vil bruke substitusjonsmetoden for å løse likningsettet, og da bruker vi likning $(2)$ til å uttrykke $y$ avhengig av $x$

$\begin{matrix} 3 x - y & = 7 \\ - y & = 7 - 3 x \\ y & = 3 x - 7 \end{matrix}$

Da kan vi sette inn dette uttrykket for $y$ i $(1)$ :

$\begin{matrix} 2 x - 3 y & = - 7 \\ 2 x - 3 (3 x - 7) & = - 7 \\ 2 x - 9 x + 21 & = - 7 \\ - 7 x & = - 28 \\ x & = 4 \end{matrix}$

For å finne $y$ setter vi inn for $x = 4$ i $(2)$ :

$\begin{matrix} 3 \cdot 4 - y & = 7 \\ - y & = 7 - 12 \\ y & = 5 \end{matrix}$

Så vi har at $x = 4, y = 5$ løser likningsettet.

Svar: Likningssystemet har løsningen $x = 4$ , $y = 5$ .

Alternativ løsning

Mer om

Denne oppgaven handler om

Ligningssett

Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.

likningsystem

For flere forklaringer og eksempler, ser artikkelen Likningssystemer.

Visste du at?

Hva betyr det egentlig at likningssystemet har løsning $x = 4$ og $y = 5$ ? Begge likningene er rette linjer, og løsningen gir oss skjæringspunktet for linjene.

Oppgave 6 (3 poeng) Nettkode: E-4BDZ

Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig

$\frac{6}{x - 3} - \frac{5 x + 15}{x^{2} - 9} + 1$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi har to brøker av algebraiske uttrykk og et heltall som skal legges sammen. For å trekke sammen brøker, må disse ha

Fellesnevner

Brøker med ulik nevner kan utvides slik at begge brøkene får samme nevner. Denne nevneren kalles fellesnevneren til brøkene.

Eksempel: $\frac{2}{21} + \frac{1}{6} = \frac{4}{42} + \frac{7}{42}$ , 42 er fellesnevner for disse to brøkene.

fellesnevner

. Her vil vi få bruk for kvadratsetningene eller konjugatsetningen.

Vi vil at alle leddene skal ha fellesnevner, og da begynner vi med å faktorisere de leddene som kan faktoriseres. Det første og siste leddet kan vi foreløbig ikke gjøre noe med, men i det andre leddet kan vi faktorisere både teller og nevner.

I telleren, $5 x + 15$ , har begge leddene $5$ som felles faktor. Det medfører at vi kan skrive telleren slik:

$5 x + 15 = 5 (x + 3)$

Nevneren kan vi skriv om til

$x^{2} - 9 = x^{2} - 3^{2}$

og fra

Konjugatsetningen

Konjugatsetningen kalles også tredje kvadratsetning:

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

konjugatsetningen

har vi at:

$x^{2} - 3^{2} = (x - 3) (x + 3)$

Nå har vi samme faktoren i teller og nevner, og da kan vi forkorte brøken:

$\frac{5 x + 15}{x^{2} - 9} = \frac{5 (x + 3)}{(x - 3) (x + 3)} = \frac{5}{x - 3}$

Nevneren her er den samme som i det første leddet i uttrykket, så da mangler det bare å skrive $1$ , slik at alle leddene har fellesnevner. Dette kan vi skrive som en

Utvide brøk

Å utvide en brøk betyr å multipliseres teller og nevner med samme tall. Brøken beholder samme verdi.

Eksempel: $\frac{3}{7}$ er utvidet til $\frac{6}{14}$ , fordi $\frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{6}{14}$

utvidet brøk

$1 = \frac{x - 3}{x - 3}$

Nå har alle leddene fellesnevner, og vi kan trekke sammen hele uttrykket:

$\begin{matrix} \frac{6}{x - 3} - \frac{5 x + 15}{x^{2} - 9} + 1 & = & \frac{6}{x - 3} - \frac{5}{x - 3} + \frac{x - 3}{x - 3} \\ = & \frac{6 - 5 + x - 3}{x - 3} \\ = & \frac{x - 2}{x - 3} \end{matrix}$

Svar: $\frac{x - 2}{x - 3}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Andregradsuttrykk

Et uttrykk på formen $a x^{2} + b x + c$ , hvor $x$ er den størrelsen som varierer, og $a, b$ og $c$ er konstante tall.

andregradsuttrykk

Konjugatsetningen

Konjugatsetningen kalles også tredje kvadratsetning:

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

konjugatsetning

For flere forklaringer og eksempler se artiklene Konjugatsetningen og Parenteser og faktorisering.. For flere eksempler og forklaringer om brøker se artikkelen Forkorte og utvide brøk. .

For å øve mer, se oppgavesettet om forenkling av sammensatte rasjonale uttrykk i Treningsleiren.

Oppgave 7 (4 poeng) Nettkode: E-4BE1

I en klasse er det 25 elever. 15 av elevene har eldre søsken. 18 av elevene har yngre søsken. 2 av elevene har ikke søsken.

a)

Systematiser opplysningene ovenfor i et venndiagram.

Løs oppgaven her

b)

Vi velger tilfeldig én elev fra klassen.

Bestem sannsynligheten for at eleven har eldre, men ikke yngre, søsken.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi skal bestemme sannsynligheten for en

Hendelse

En hendelse eller begivenhet er en delmengde av utfallsrommet. En hendelse består av ett eller flere utfall.

Se Gunstig utfall

hendelse

. Sannsynligheten er antall

Gunstig utfall

Et gunstig utfall er den hendelsen som er interessant for oss.

Eksempel: Vi skal finne sannsynligheten for å få terningkast 1 eller 6. Av de seks mulige utfallene er 1 og 6 gunstige utfall.

Se Hendelse

gunstige utfall

dividert med antall mulige

Utfall

Mulig resultat av en hendelse.

Eksempel: Du kaster en terning og får seks øyne. Utfallet er seks. Du kaster en mynt og får kron. Kron er utfallet.

utfall

Vi bruker venn-diagrammet fra a). Sannsynligheten finner vi ved

$\frac{antall gunstige}{antall mulige}$ .

Gunstige utfall er de elevene som kun har eldre søsken. Fra venn-diagrammet kan vi lese av at det er $5$ . Mulige utfall er $25$ , siden det er antallet elever i klassen.

Sannsynligheten for at eleven har eldre, men ikke yngre søsken er derfor:

$P (kun eldre søsken) = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

Svar: P(kun eldre søsken) $= \frac{1}{5}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.

Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.

Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.

Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.

sannsynlighet

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Betinget sannsynlighet og produktsetningen i lynkurset Sannsynlighet (del II).

For å øve mer, se oppgavesettet om betinget sannsynlighet i Treningsleiren.

c)

Vi velger tilfeldig én av elevene som har eldre søsken.

Bestem sannsynligheten for at eleven også har yngre søsken.

Løs oppgaven her

Oppgave 8 (3 poeng) Nettkode: E-4BEC

I $Δ A B C$ er $A C = 10$ , $B C = 7$ og $∠ B = 90^{\circ}$ .

Lag en skisse, gjør beregninger, og avgjør om følgende påstander er riktige:

1) Arealet av trekanten er større enn $24, 5$

2) $\sin A > \cos A$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Her må vi bruke

Pytagoras læresetning

Pytagoras læresetning sier at:

Arealet av kvadratet utspent av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene utspent av katetene.

Hvis lengden av katetene er a og b, og lengden av hypotenusen er c, har vi denne sammenhengen : $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Setningen kan brukes til å finne lengden til en side i en trekant.

Pytagoras læresetning

for å finne den siste siden. Vi får bruk for formelen for arealet av en trekant.

Vi begynner med å tegne en hjelpefigur.

For å kunne avgjøre om påstandene er riktig eller ikke, må vi vite lengden til $A B$ . Den kan vi finne ved å bruke med Pytagoras læresetning som gir

${A C}^{2} = {A B}^{2} + {B C}^{2}$

$A B = \sqrt{10^{2} - 7^{2}} = \sqrt{100 - 49} = \sqrt{51}$ .

Nå kan vi se på hver av påstandene for å avgjøre om de er riktige.

Påstand 1):

Vi har nå grunnlinje, $B C$ , og høyde $A B$ til trekanten $A B C$ . Da kan vi finne arealet ved

$A = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{B C \cdot A B}{2} = \frac{7 \cdot \sqrt{51}}{2}$ .

Hvis $A B$ hadde vært lik $7$ ville arelaet blitt $\frac{7 \cdot 7}{2} = \frac{49}{2} = 24, 5$ . Siden $51 > 49$ , har vi at $\sqrt{51} > 7$ . Derfor er $\frac{7 \cdot \sqrt{51}}{2} > 24, 5$ .

Påstand $1$ er riktig.

Påstand 2):

Vi har en rettvinklet trekant. Da vet vi at:

$\sin A = \frac{motstående katet}{hypotenus} og \cos A = \frac{hosliggende katet}{hypotenus}$

I denne oppgaven er:

$\sin A = \frac{C B}{A C} = \frac{7}{10}$

$\cos A = \frac{A B}{A C} = \frac{\sqrt{51}}{10}$

Siden $\sqrt{51} > \sqrt{49} = 7$ er $\cos A > \sin A$ , og påstand 2 er feil.

Svar: Påstand 1 er riktig, og påstand 2 er feil.

Mer om

Denne oppgaven er om

Pytagoras læresetning

Trigonometri

Læren om forholdet mellom vinkler og sider i en trekant. De trigonometriske funksjonene sinus og cosinus er de viktigste redskapene i denne teorien.

trigonometri

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Pytagoras læresetning. Flere eksempler på trigonometriske funksjoner sinus og cosinus finner du i lynkurset Trigonometri.

For å øve mer, se oppgavesettet om lengde- og vinkelberegninger ved hjelp av sinus, cosinus og tangens i Treningsleiren.

Siden

" role="presentation">51‾‾‾√>7 er

$\sin A$ , altså er påstanden feil.

Siden

" role="presentation">51‾‾‾√>7 er

$\sin A$ , altså er påstanden feil.

Siden

" role="presentation">51‾‾‾√>7 er

$\sin A$ , altså er påstanden feil.

Oppgave 9 (5 poeng) Nettkode: E-4BEE

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$

a)

Bestem nullpunktene til $f$ ved regning.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

Nullpunktene

finner vi ved å sette funksjonsuttrykket lik 0. Da får vi en

Andregradslikning

En likning hvor x opptrer i andre potens. Vi kan alltid skrive en slik likning på formen:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Likningen kan løses ved hjelp av abc-formelen.

andregradslikning

som vi løser ved hjelp av

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formelen

Vi vil finne $x$ -verdiene som gjør at funksjonsuttrykket er lik null, det vil si:

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 x - 3 = 0$ er en andregradslikning som vi kan løse med abc-formelen

$\begin{matrix} x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2} \\ = & \frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2} \\ = & \frac{- 2 \pm 4}{2} \end{matrix}$

Da får vi at nullpunktene er

$x_{1} = \frac{- 2 + 4}{2} = 1 og x_{2} = \frac{- 2 - 4}{2} = - 3$ .

Svar: $f (x)$ har nullpunkter i $x = 1$ og $x = - 3$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkt

For flere eksempler og forklaringer om andregradslikninger se lynkurset Andregradslikninger. Flere forlaringer på hva et nullpunkt er, og hvordan man finner det finner du i lynkurset Funksjonsdrøfting.

For å øve mer, se oppgavesettet om nullpunkter i Treningsleiren.

b)

Grafen til $f$ har en tangent med stigningstall $2$ .

Bestem likningen til denne tangenten.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi skal finne tangenten til grafen i et punkt $(a, f (a))$ . At $f$ har en

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangent

med stigningstall

$2$ betyr at

$f' (x) = 2$ i dette punktet.

Vi vil løse $f' (x) = 2$ for $x$ for å finne $x$ -verdien i tangeringspunktet. Vi begynner med å finne

$f' (x) = (x^{2} + 2 x - 3)' = 2 x + 2$

og videre finner vi $f' (x) = 2$

$\begin{matrix} f' (x) = 2 x + 2 & = 2 \\ 2 x & = 0 \\ x & = 0 \end{matrix}$

Det betyr at tangenten med stigningstall $2$ går gjennom punktet på grafen der $x = 0$ . Vi må nå regne ut $f (0)$ :

$f (0) = 0^{2} + 2 \cdot 0 - 3 = - 3$ ,

som betyr at tangenten går gjennom punktet $(0, - 3)$

Likningen til tangenten skriver vi på formen $y = a x + b$ , der $a$ er stigningstallet, som vi vet er $2$ , så $y = 2 x + b$ . Punktet $(0, - 3)$ ligger på denne linja, så vi kan finne $b$ ved å sette inn $x = 0$ og $y = - 3$ .

$\begin{matrix} - 3 = & 2 \cdot 0 + b \\ b = & - 3 \end{matrix}$

Svar: Tangenten har likning $y = 2 x - 3$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangent

Flere forklaringer på tangenter til grafer finner du i lynkurset Funksjonsdrøfting.

For å øve mer, se oppgavesettet om lineære funksjoner i Treningsleiren.

c)

Tegn grafen til $f$ sammen med tangenten fra oppgave b).

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Fra a) og b) kjenner vi noen av punktene på grafen. Fra fortegnet foran andregradsleddet vet vi at grafen vil ha et bunnpunkt, og det kan vi finne ved å regne $f' (x) = 0$ .

Vi har allerede funnet noen punkter på grafen; punktene $(1, 0)$ og $(- 3, 0)$ fra a), og punktet $(0, - 3)$ fra b).

Siden vi har et positivt andregradsledd vil grafen ha et bunnpunkt, og det kan vi finne ved

$f' (x) = 0$ , som gir $2 x + 2 = 0 \Rightarrow 2 x = - 2 \Rightarrow x = - 1$ .

Så grafen har bunnpunkt i $x = - 1$ . Funksjonsverdien i dette punktet er

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) - 3 = 1 - 2 - 3 = - 4$

$(- 1, - 4)$ er bunnpunktet til grafen.

Vi kan regne ut et par punkter til,

$f (- 4) = {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5$

$f (2) = 2^{2} + 2 \cdot 2 - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$ .

Nå har vi punktene

$(1, 0), (- 3, 0), (0, - 3) (- 1, - 4), (- 4, 5) og (2, 5)$ .

Vi skal også tegne tangenten $y = 2 x - 3$ . Den er en rett linje, som vi vet at går gjennom punktet $(0, - 3)$ . Vi trenger kun å regne ut et punkt til som den går gjennom. For eksempel $x = 2$ . Da får vi

$y = 2 \cdot 2 - 3 = 1$ ,

så tangenten vil også gå gjennom punktet $(2, 1)$ .

Nå tegner vi et koordinatsystem og navngir aksene. Deretter tegner vi inn punktene vi har funnet for $f$ , og tegner en graf gjennom dem. Så tegner vi inn de to punktene vi har funnet for tangenten, og tegner en rett linje gjennom de to punktene.

Svar:

Mer om

Denne oppgaven handler om å tegne

Graf

En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

grafen

til en

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Flere eksempler på hvordan man tegner en graf finner du i artikkelen Grafen til en funksjon.

For å øve mer, se oppgavesettet om grafisk framstilling i Treningsleiren.

Oppgave 10 (2 poeng) Nettkode: E-4BEI

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = x^{2} + b x + c$

Grafen til $f$ skjærer $y$ - aksen i punktet $(0, 4)$ og har ett nullpunkt.

Bestem $b$ og $c$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Fordi dette er en andregradspolynom med ett

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkt

, får vi kun ett svar når vi løser

Andregradslikning

En likning hvor x opptrer i andre potens. Vi kan alltid skrive en slik likning på formen:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Likningen kan løses ved hjelp av abc-formelen.

andregradslikningen

$f (x) = 0$ . Mer konkret betyr dette at uttrykket under rottegnet i

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formelen

er 0.

Vi får vite at grafen skjærer $y$ -aksen i punktet $(0, 4)$ , det vil si at $f (0) = 4$ . Nå kan vi sette inn for $x = 0$ i funksjonsuttrykket vårt

$0^{2} + b \cdot 0 + c = 4$

som betyr at vi må ha $c = 4$ .

Fra abc-formelen har vi at likningen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

For at $f$ kun skal ha ett nullpunkt må utrykket under kvadratrottegnet, $b^{2} - 4 a c = 0$ . Vi vet at $a = 1$ og $c = 4$ . Dermed kan vi sette inn for $a og c$ og løse likningen

$\begin{matrix} b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 & = & 0 \\ b^{2} & = & 16 \\ b & = & ± 4 . \end{matrix}$

Svar: $c = 4$ og $b = \pm 4$ .

Mer om

Denne oppgaven handler om

Skjæringspunkt

Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.

skjæringspunkt

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkt

Mer om hvordan du finner disse kan du lese om i lynkurset Funksjonsdrøfting.

For å øve mer, se oppgavesettet om nullpunkt og andregradslikninger i Treningsleiren.

Visste du at?

Dette gir oss $f (x) = x^{2} - 4 x + 4$ og $f (x) = x^{2} + 4 x + 4$ . De to løsningene svarer til fullstendige kvadrat. Både $(x + 2)^{2}$ og $(x - 2)^{2}$ har bare ett nullpunkt hver, og går gjennom punktet $(0, 4)$ . Prøv å tegne dette ved hjelp av et digitalt hjelpemiddel.

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng) Nettkode: E-4BEM

Uke (x)	1	3	9	15	20
Lengde (y)	3,4 km	5, 1 km	8, 5km	15, 5km	18,0 km

Tabellen ovenfor viser hvor langt Janne jogget noen uker etter at hun begynte å trene. Den første uka jogget hun 3,4 km, den tredje uka jogget hun 5,1 km, og så videre.

a)

Bestem den lineære funksjonen som passer best med tallene i tabellen ovenfor.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi bruker regresjon i

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

for å lage den

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjonen

som passer best med tallene i tabellen.

Vi skriver informasjonene som er gitt inn i et regneark i GeoGebra. Regnearket finner vi ved å velge "Regneark" under "Vis"-menyen.

Verdiene for uke $(x)$ skriver vi inn i kolonne $A$ og for verdiene for lengde $(y)$ i kolonne $B$ .

Nå kan vi bruke regresjonsverktøyet i GeoGebra. Etter vi har skrevet inn informasjonen i regnearket, kan vi markere kolonnene og velge "Regresjonsanalyse" i nedrykksmenyen fra knappen med et histogram på. I vinduet som kommer opp velger vi "Analyser".

Da får vi opp vinduet

Vi skal finne den lineære funksjonen som passer best med tallene i tabellen, så da velger vi "Lineær" under "Regresjonsmodell", og får opp

Her kan vi se at $y = 0.8 x + 2.47$ er den lineære funksjonen som passer best til tallene vi har fått oppgitt.

Svar: $y = 0.8 x + 2.47$

Alternativ løsning 1

Alternativ løsning 2

Mer om

Denne oppgaven er om

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

Regresjon

Regresjon er å finne en funksjon som passer til et datasett. Altså, en funksjon som går gjennom, eller er nærmest flest mulig punkter i datasettet.

regresjon

For flere forklaringer og eksempler på regresjon se artikkelen Regresjon 1 i lynkurset Kultur og modellering. For mer om lineære funksjoner se artikkelen Rette linjer (lineære funksjoner) i lynkurset Funksjoner (del I). Lynkurset om GeoGebra er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om lineære funksjoner i Treningsleieren.

b)

Hvor langt vil Janne jogge i uke 25 ifølge funksjonen i oppgave a) ?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi skal finne funksjonsverdien i $x = 25$ .

Vi skal finne hvor langt Janne vil jogge i uke $25$ . Da kan vi bruke funksjonen vi fant i a) og finne verdien til $f$ når $x = 25$ . Vi bruker "Regresjonsanalyse"-vinduet fra a).

Til høyre i dette vinduet kan vi lese "Symbolsk utregning", og her kan vi skrive inn den $x$ -verdien vi vil ha funksjonsverdien til, så får vi den direkte.

Så for å finne $f (25)$ skriver vi inn $x = 25$ og får $y = 22, 344$ .

Svar: Janne vil jogge litt under $22, 5 km$ i uke $25$ .

Alternativ løsning

Vi kan også bruke CAS til å regne $f (25)$ .

Det første vi kan gjøre er å definere funksjonen.

Da skriver vi

f:=0.8x+2.47,

og for å finne hvor langt Janne vil jogge i uke $25$ skriver vi

f(25).

Da får vi

Så Janne løper $22, 47$ km i uke $25$ . Dette svaret skiller seg noe fra svaret vi fikk over. Dette er fordi vi rundet av til to desimaler når vi definerte funksjonen, mens GeoGebra ikke har rundet av funksjonen.

Mer om

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

For flere eksempler og forklaringer se Grafisk løsning av likninger. Flere eksempler på egenskaper ved funksjoner finner du i lynkurset Funksjonsdrøfting.

For å øve mer, se oppgavesettet om skjæringspunkt i Treningsleiren.

c)

I hvilken uke jogget Janne for første gang mer enn 10 km ifølge funksjonen i oppgave a) ?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi må finne et tall $x$ slik at $0.8 x + 2.47 \geq 10$ . Det gir oss en likning med en ukjent.

Likningen kan vi løse i CAS i GeoGebra. I b) brukte vi CAS, og definerte at $f (x)$ var funksjonen vi fant i a).

Vi kan skrive inn likningen

g(x)=10,

og trykke på " $x \approx$ ", som gir

Det gir oss at $x \approx 9, 41$ .

Siden oppgaven spør oss om hvilken uke Janne først løp mer enn $10 km$ må vi runde av oppover. Hun løp ikke langt nok i uke $9$ , men det gjorde hun i uke $10$ .

Svar: Janne jogget for første gang mer enn $10 km$ i uke $10$ .

Alternativ løsning

Denne oppgaven kan vi også løse grafisk. Vi vil se når grafen til $f (x)$ har $y$ -verdier som er større enn $10$ . Da kan vi se når grafen skjærer med linja $y = 10$ . I inntastingsfeltet skriver vi "y=10".

Da får vi en rett horisontal linje, som blir hetende $h$ , med konstant $y$ -verdi lik $10$ .

For å finne skjæringspunktet mellom grafen og linja $h$ kan vi skrive "Skjæring[h,f]", eller bruke verktøyet "Skjæring mellom to objekt" som vi kan finne i nedrykksmenyen fra knappen med et punkt $A$ på. Vi trykker da på de to linjene til $f$ og $h$ , og får skjæringspunktet mellom de to linjene.

Legg merke til at $x$ -koordinaten ikke er helt den samme som vi fikk over. Det er fordi GeoGebra regner med flere desimaler i funksjonen enn det vi gjorde når vi definerte i CAS. Men svaret blir fortstt at Janne vil jogge mer en $10 km$ for første gang i uke $10$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Skjæringspunkt

skjæringspunkt

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen ulikhet. Flere eksempler på egenskaper ved funksjoner finner du i lynkurset Funksjonsdrøfting.

For å øve mer, se oppgavesettene om ulikheter og skjæringspunkt i Treningsleieren.

Oppgave 2 (9 poeng) Nettkode: E-4BEQ

Funksjonen $f$ gitt ved

$f (x) = 0, 0017 x^{3} - 0, 13 x^{2} + 2, 3 x + 72, x \in [0, 52]$

viser hvor mange kilogram $f (x)$ en idrettsutøver veide $x$ uker etter 1. januar 2013.

a)

Tegn grafen til $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi kan bruke GeoGebra til å tegne funksjonsgrafen og må huske at $f$ er definert på intervallet $x \in [0, 52]$ .

I GeoGebra kan vi bruke følgende kommando for å tegne grafen til en funksjon definert over et gitt intervall:

Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]

Funksjonen vi vil tegne er $f (x) = {0, 0017 x}^{3} - {0, 13 x}^{2} + 2, 3 x + 72$ , på intervallet $x \in [0, 52]$ , så da skriver vi

f(x)=Funksjon[0.0017x^3-0.13x^2+2.3x+72, 0, 52]

Det gir denne grafen:

Svar:

b)

Hvor mye veide idrettsutøveren 1. januar 2013, og hvor mye veide han ett år (52 uker) senere?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi skal finne verdien til funksjonen $f$ i endepunktene.

1. Januar 2013 er det samme som uke $0$ , og ett år senere vil si uke $52$ . Dette betyr at vi skal regne ut $f (0)$ og $f (52)$ . I a) tegnet vi grafen i GeoGebra. Dette gjør at vi raskt og enkelt kan regne ut funksjonsverdien til $f$ når $x = 0$ og $x = 52$ . Vi går til inntastingsfeltet og skriver:

f(0)

Da ser vi at vi får opp $a = 72$ under under "Tall" i algebrafeltet.

Vi gjør det samme for

f(52)

og får $b = f (52) = 79, 1$ .

Dette forteller oss at 1.januar 2013 veide idrettsutøveren $72 kg$ , og ett år senere veide han $79, 1 kg$ .

Alternativ løsning

Vi kan også bruke CAS i GeoGebra, og da kan vi bruke det samme GeoGebra-vinduet som i a). Der har vi allerede definert funksjonen $f$ . For å sjekke skriver vi inn

f(x)

og ser at den er definert som i a).

Vi vil bestemme funksjonsverdiene til $f$ når $x = 0 og x = 52$ , for å finne vekten til idrettsutøveren i uke $0$ og i uke $52$ .

Da skriver vi inn

f(0)

f(52)

For å få svarene som desimaltall trykker vi på knappen " $\approx$ ", øverst i venstre hjørne.

Da ser vi at vi får $f (0) = 72 og f (52) = 79, 1136 \approx 79, 1$ .

Svar: 1. januar veide idrettsutøveren $72, 0 kg$ og ett år senere veide han $79, 1 kg$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Skjæringspunkt

skjæringspunkt

For flere eksempler og forklaringer se Grafisk løsning av likninger. Flere eksempler på egenskaper til funksjoner finner du i lynkurset Funksjonsdrøfting.

For å øve mer, se oppgavesettet om skjæringspunkt i Treningsleiren.

c)

Omtrent hvor mange uker i løpet av 2013 veide han mer enn 70 kg?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi tegner linjen $y = 70$ og ser når grafen har $y$ -verdier større enn $70$ .

Vi skal finne når idrettsutøveren veier mer enn $70$ kg, det vil si vi vil se når grafen til $f$ har $y$ -verdier som er større enn $70$ . Da kan vi tegne inn linja $l : y = 70$ , og se når grafen til $f$ ligger over linja $l$ .

Vi tegner linja i samme koordinatsystem som $f$ , ved å skrive

l: y=70.

Vi bruker verktøyet

"Skjæring mellom to objekt", og velger $f$ og $l$ .

Da ser vi på grafen at funksjonen $f$ og linja $l$ skjærer hverandre i to punkt.

Vi ser at kun mellom de to skjæringspunktene er $f (x) < 70$ . Vi leser av $x$ -verdiene i skjæringspunktene, $x \approx 47, 4$ og $x \approx 29, 9$ .

Differansen mellom de to $x$ -verdiene vil gi oss antall uker utøveren veide under $70 kg$ .

Han veide under $70 kg$ i $47, 4 - 29, 9 = 17, 5$ uker.

Det vil si at han veide mer enn $70 kg$ i $52 - 17, 5 = 34, 5$ uker.

Svar: Han veide over $70 kg$ i omtrent $34, 5 uker$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$
funksjoner

og

Skjæringspunkt

Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.
skjæringspunkt
.

For flere eksempler og forklaringer se Grafisk løsning av likninger. Flere eksempler på hvordan man finner skjæringspunkter finner du i lynkurset Funksjonsdrøfting.

For å øve mer, se oppgavesettet om skjæringspunkt i Treningsleieren.

d)

Når veide idrettsutøveren mest, og når veide han minst?

Hvor mye gikk han i gjennomsnitt ned i vekt per uke i den perioden han gikk ned i vekt?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

Punktene der idrettsutøveren veide mest og minst er

Ekstremalpunkt

Vi sier at et punkt $x = a$ er et ekstremalpunkt for en funksjon $f (x)$ hvis det enten er et toppunkt eller bunnpunkt for funksjonen.

ekstremalpunkter

for

$f$ .

Vi skal finne når idrettsutøveren veide mest, og når han veide minst. Dette tilsvarer henholdsvis toppunktet og bunnpunktet til grafen til $f$ , som er ekstremalpunktene til $f$ . Disse kan vi finne ved hjelp av kommandoen

Ekstremalpunkt[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]

i GeoGebra.

I vårt tilfelle er funksjonen $f$ , så vi skriver:

Ekstremalpunkt[f, 0 , 52 ]

Vi får da opp to punkter.

Punkt $C$ er et topppunkt og punkt $D$ er et bunnpunkt. Idrettsutøveren veide mest omtrent midt i uke $12$ , da veide han $83, 8 kg$ . Han veide minst omtrent midt i uke $40$ , da veide han $64, 8 kg$ .

Han gikk ned i vekt i perioden mellom når han veide mest, og når han veide minst. For å finne gjennomsnittlig vekttap per uke må vi se på hvor mye han gikk ned i vekt og dividere det på antall uker han gikk ned i vekt.

$\frac{antall kg}{antall uker} = \frac{83, 8 - 64, 8}{39, 6 - 11, 4} = \frac{19}{28, 2} \approx 0, 67 kg$ .

Svar: Idrettsutøveren veide mest i uke 12, og minst i uke 40. I perioden han gikk ned i vekt, gikk han i gjennomsnitt ned $0, 67 kg$ per uke.

Alternativ løsning

Vi kan finne gjennomsnittlig endringen i vekten til idrettsutøveren ved å se på stigningstallet til linja gjennom $C og D$ .

Da kan vi bruke verktøyet "Linje gjennom to punkt" i GeoGebra. Da får vi at linja gjennom $C og D$ kan skrives som $y = - 0, 6758 x + 91, 5425$ , som forteller at den gjennomsnittlige endringen i vekt er $- 0, 6758$ kg per uke, altså et gjennomsnittlig vekttap på omtrent $0, 7$ kg per uke.

Mer om

Denne oppgaven handler om

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkter

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er mindre enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

bunnpunkter.

Flere forklaringer og eksempler på hvordan vi finner disse kan du lese om i artikkelen Topp- og bunnpunkter.

For å øve mer, se oppgavesettet om ekstremalpunkter i Treningsleiren.

e)

Bestem $f' (3)$ og $f' (25)$

Hva forteller disse to svarene om vekten til idrettsutøveren?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag e)

Jeg tenker

Vi finner den deriverte i to punkt. Den deriverte i et punkt er det samme som den momentane vekstfarten det punktet.

Vi skal evaluere den deriverte av funksjonen for $x$ -verdiene $x = 3$ og $x = 25$ .

Dette kan vi løse i GeoGebra og vi bruker CAS. Funksjonen $f$ er allerede definert, og da kan vi få den deriverte i punktene ved å skrive

f'(3)

f'(25).

Vi trykker på " $\approx$ " for å få svaret som desimaltall.

Disse to svarene forteller oss at i uke $3$ så økte vekten på idrettsutøveren med $1, 57 kg$ i uka, og i uke $25$ så gikk vekten ned med $1, 01 kg$ i uka.

Dette trenger ikke å bety at $f (4) = f (3) + 1, 57$ . Vi har kun funnet vekstfarten nøyaktig i starten av uke $4$ og $26$ .

Svar: $f ´ (3) = 1, 57$ og $f ´ (25) = - 1, 01$ . Disse to svarene forteller hvor mye vektendringen til idrettsutøveren var i uke 4 og uke 26.

Mer om

Denne oppgaven handler om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Flere forklaringer på momentan vekstfart finner du i lynkurset Derivasjon.

For å øve mer, se oppgavesettet om veksthastighet i Treningsleiren.

Oppgave 3 (4 poeng) Nettkode: E-4BEW

En bedrift produserer to ulike typer soveposer. Undersøkelser viser at 10 % av soveposene av type 1 og 15 % av soveposene av type 2 har en feil med glidelåsen.

På lageret ligger 1000 soveposer av type 1 og 4000 soveposer av type 2.

a)

Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

En krysstabell er en presentasjonsform vi bruker for å systematisere informasjonen, slik at det skal være enklere å få oversikt over de ulike

Utfall

Mulig resultat av en hendelse.

Eksempel: Du kaster en terning og får seks øyne. Utfallet er seks. Du kaster en mynt og får kron. Kron er utfallet.

utfallene.

Vi kan begynne med å sette opp de kategoriene som er rader og kolonner i krysstabellen, og starter med en krysstabell med kun kategoriene.

	Type 1	Type 2	Sum
Feil
Ikke feil
Sum

Vi vet at vi totalt har $1000$ soveposer av type 1 og $4000$ av type 2, det betyr at vi kan skrive inn

	Type 1	Type 2	Sum
Feil
Ikke feil
Sum	1000	4000

Av de $1000$ soverposer av type 1 har $10 %$ av dem har en feil med glidelåsen. Da får vi $1000 \cdot 0, 1 = 100$ soverposer av type 1 med feil, som betyr at $1000 - 100 = 900$ soveposer av type 1 uten feil. Vi kan fylle inn i tabellen.

	Type 1	Type 2	Sum
Feil	100
Ikke feil	900
Sum	1000	4000

Blant de $4000$ soveposer av type 2 har $15 %$ en feil med glidelåsen. Da får vi $4000 \cdot 0, 15 = 600$ soverposer av type 2 med feil, og $4000 - 600 = 3400$ soveposer av type 2 uten feil. Nå kan vi fylle inn neste kolonne:

	Type 1	Type 2	Sum
Feil	100	600
Ikke feil	900	3400
Sum	1000	4000

Nå gjenstår det bare å summere soveposene med og uten feil. Da får vi til slutt krysstabellen under.

Svar:

	Type 1	Type 2	Sum
Feil	100	600	700
Ikke feil	900	3400	4300
Sum	1000	4000	5000

Mer om

Denne oppgaven handler om

Krysstabell

En krysstabell er en måte å framstille data på. Når tabellen er satt opp, er det enklere å finne den ønskede sannsynligheten.

krysstabell

Flere eksempler på hvordan man systematiserer informasjon finner du i lynkurset Statistikk.

b)

Bjarne har tilfeldig tatt to soveposer fra lageret. Det viser seg at begge soveposene har feil med glidelåsen.

Bestem sannsynligheten for at én av soveposene er av type 1 og at én er av type 2.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Dette handler om

Betinget sannsynlighet

Den betingede sannsynligheten $P (A | B)$ er sannsynligheten for en hendelse A forutsatt (gitt) at hendelsen B har inntruffet.

$P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ .

betinget sannsynligheten

. Vi skal finn sannsynligheten for en

Hendelse

En hendelse eller begivenhet er en delmengde av utfallsrommet. En hendelse består av ett eller flere utfall.

Se Gunstig utfall

hendelse

Bjarne har tatt to soverposer tilfeldig, og begge har feil. Utvalget av soveposer med feil består av $700$ soveposer. Bjarne trekker to soveposer, og kan først trekke en av type 1 og så en av type 2, eller omvendt. Dette betyr at Bjarne kan trekke soveposer på to måter.

Sannsynligheten for at den første soveposen med feil er av type 1 finner vi ved å se på forholet mellom antall gunstige (altså type 1 med feil) og antall mulige (alle med feil):

$P (type 1 | feil) = \frac{antall gunstige}{antall mulige} = \frac{100}{700}$ .

Når én sovepose er tatt, er antall mulige redusert med 1, altså 699 soverposer med feil igjen, hvorav 600 er av type 2.

$P (type 2 | feil) = \frac{antall gunstige}{antall mulige} = \frac{600}{699}$ .

Sannsynligheten for først å trekke en sovepose av type 1 og så en av type 2 er lik:

$P (type 1 deretter type 2 | feil) = P (type 1 | feil) \cdot P (type 2 | feil) = \frac{100}{700} \cdot \frac{600}{699}$

Sannsynligheten for å trekke i motsatt rekkefølge:

$P (type 2 deretter type 1 | feil) = P (type 2 | feil) \cdot P (type 1 | feil) = \frac{600}{700} \cdot \frac{100}{699}$

Sannsynligheten for å trekke to soveposer med feil på der den ene er av type 1 og den andre av type 2 er lik finner vi ved å addere de to sannsynlighetene:

$P (en av hver | feil med glidlåsen) = \frac{100}{700} \cdot \frac{600}{699} + \frac{600}{700} \cdot \frac{100}{699} \approx 0, 245$ , altså $24, 5 %$ .

Svar: Sannsynligheten for at han har trukket en sovepose av hver type med feil er $24, 5 %$ .

Mer om

Denne oppgaven handler om

Betinget sannsynlighet

Den betingede sannsynligheten $P (A | B)$ er sannsynligheten for en hendelse A forutsatt (gitt) at hendelsen B har inntruffet.

$P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ .

betinget sannsynlighet

Produktsetningen

Produktsetningen sier at $P (A \cap B) = P (A | B) \cdot P (B)$ , hvor $P (A | B)$ er den sannsynligheten for at A inntreffer gitt B.

produktsetningen

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Betinget sannsynlighet og produktsetningen i lynkurset Sannsynlighet (del II).

For å øve mer, se oppgavesettet om betinget sannsynlighet i Treningsleiren.

Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4SJL

I en skål er det åtte hvite og seks røde kuler. Du skal trekke tre kuler tilfeldig.

a)

Systematiser de ulike utfallene i et valgtre.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi lager et

Valgtre

Gir oss oversikt over alle mulige kombinasjoner av utfall for en gitt hendelse.

Valgtre er det samme som utfallstre.

valgtre

Sannsynlighet

Sannsynligheten

for at vi trekker, la oss si, en rød kule, er lik andelen røde kuler i skålen.

Vi skal trekke tre tilfeldige kuler fra skålen, og starter med det første valget. I skålen er det $8$ hvite og $6$ røde kuler, og da er det totalt $8 + 6 = 14$ kuler i skålen. Sannsynligheten for å trekke hvit og rød blir henholdsvis $\frac{8}{14} og \frac{6}{14}$ . Vi lar de stå uforkortet for å kunne se det store bildet til slutt.

Nå kan vi sette opp de første grenene, og lar hvite punkt svare til at vi trekker en hvit kule og tilsvarende for røde punkt.

Neste gang vi trekker, er det bare $13$ kuler igjen i skålen. Hvis vi trakk en hvit kule først, er vi på den venstre siden i valgtreet over, og da er det $7$ hvite og $6$ røde kuler igjen. Dermed blir sannsynligheten for å trekke hvit og rød henholdsvis $\frac{7}{13} og \frac{6}{13}$ . Hvis den første kulen vi trakk var rød, vil sannsynlighetene være $\frac{8}{13} og \frac{5}{13}$ .

Når vi har trukket to kuler er det bare $12$ kuler igjen i skålen. I hver av endepunktene i treet over må vi finne ut hvor mange røde og hvite kuler det er igjen. Ta for eksempel den venstre grenen av treet, der vi har trukket to hvite kuler. Da er det $6$ hvite og $6$ røde kuler igjen, og sannsynligheten for å trekke disse blir henholdsvis $\frac{6}{12} og \frac{6}{12}$ . Vi gjør det samme for de andre valgene, og fyller inn siste rad med grener i treet. Da blir valgtreet som vist under.

Svar:

Mer om

Denne oppgaven er om

Valgtre

Gir oss oversikt over alle mulige kombinasjoner av utfall for en gitt hendelse.

Valgtre er det samme som utfallstre.

valgtre

Sannsynlighet

sannsynlighet

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Utfallstre i lynkurset Sannsynlighet (del I).

b)

Bestem sannsynligheten for at du trekker to hvite og én rød kule. Marker hvordan du finner løsningen i valgtreet i oppgave a).

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi kan bruke valgtreet vårt. Vi må finne alle måter vi kan trekke ut to hvite og én rød kule.

Hvert valg i valgtreet representerer en farge på kulene. I valgtreet under har vi skrevet ned hvilke kuler man står igjen med til slutt i hver av sluttvalgene; H betyr en hvit kule og R betyr en rød.

Vi har markert (i rødt) de tre valgene som gir to hvite og én rød kule, nemlig HHR, HRH og RHH.Vi må regne ut sannsynligheten for at hver av disse skjer, og summere opp for å finne den totale sannsynligheten.

Valgtreet er satt opp slik at det er lett å finne sannsynligheten for sluttresultatene – bare velg et sluttresultat, og multipliser sannsynlighetene for at nøyaktig disse valgene skulle bli tatt. Vi tar før eksempel sannsynligheten for HHR, altså først trekke to hvite og deretter en rød. Sannsynligheten for å først trekke hvit er $\frac{8}{14}$ , og sannsynligheten for å trekke hvit igjen er i så fall $\frac{7}{13}$ . Til slutt er sansynligheten for å trekke en rød lik $\frac{6}{12}$ , og dermed er sannsynlighetene for at alle disse tre tingene inntreffer, lik

$P (H H R) = \frac{8}{14} \cdot \frac{7}{13} \cdot \frac{6}{12} = \frac{2}{13} .$

Tilsvarende er sannsynlighetene for å trekke HRH og RHH henholdsvis

$P (H R H) = \frac{8}{14} \cdot \frac{6}{13} \cdot \frac{7}{12} = \frac{2}{13} og$

$P (R H H) = \frac{6}{14} \cdot \frac{8}{13} \cdot \frac{7}{12} = \frac{2}{13} .$

Vi summerer opp, og finner at sannsynligheten for å trekke to hvite og én rød kule er

$\frac{2}{13} + \frac{2}{13} + \frac{2}{13} = \frac{6}{13}$ .

Svar: $\frac{6}{13}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

sannsynlighet

Produktsetningen

Produktsetningen sier at $P (A \cap B) = P (A | B) \cdot P (B)$ , hvor $P (A | B)$ er den sannsynligheten for at A inntreffer gitt B.

produktsetningen

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Betinget sannsynlighet og produktsetningen i lynkurset Sannsynlighet (del II).

For å øve mer, se oppgavesettet om betinget sannsynlighet og produktsetningen i Treningsleiren.

Oppgave 5 (2 poeng) Nettkode: E-4BF2

Et trestykke er 35 cm langt. Trestykket skal deles i fire deler.

To deler skal være like lange. Den tredje delen skal være dobbelt så lang som de to like delene til sammen, og halvparten så lang som den fjerde delen.

Bestem lengden av hver av de fire delene.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi systematiserer informasjonen og setter opp en likning for å løse problemet.

Vi har to deler som er like lange, og vi gir hver av dem lengde $x$ , og tilsammen har de lengde $2 x$ . Den tredje delen skal være dobbelt så lang som de to første til sammen, altså må den ha lengde $4 x$ . Den fjerde delen er dobbelt så lang som del 3, altså har den lengde lik $8 x$

Tilsammen skal vi ha at lengden av alle delene er $x + x + 4 x + 8 x = 35$ cm.

Denne likningen kan vi løse i CAS ved å skrive inn likningen og trykke på "x=". Da får vi at $x = 2, 5$ , som er lengden på de første to delene.

Da får vi videre at den tredje delen er

$4 x = 4 \cdot 2, 5 cm = 10 cm$

og den tredje er

$8 x = 8 \cdot 2, 5 cm = 20 cm$ .

Svar: De to like stykkene er $2, 5 cm$ hver, det tredje er $10 cm$ og det siste er $20 cm$ .

Alternativ løsning

Vi kan også løse likningen for hånd. Da får vi at

$x + x + 4 x + 8 x = 35$

$14 x = 35$

$x = \frac{35}{14} = 2, 5$ .

Så de første delene er $2, 5$ cm, og da kan vi regne ut de to andre som over.

Mer om

Denne oppgaven er om

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Fra problem til likning i lynkurset Likninger med én ukjent.

For å øve mer, se oppgavesettet om førstegradslikninger i Treningsleiren.

Oppgave 6 (3 poeng) Nettkode: E-4BF8

Regn ut arealet av $Δ A B C$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

For å finne arealet til en trekant kan vi bruke

Arealsetningen

For en trekant $△ A B C$ er arealet gitt ved $A = \frac{sin (∠ A) \cdot A B \cdot A C}{2}$ .

arealsetningen

, men for å bruke den på

$Δ A B C$ mangler vi en vinkel. Da kan vi bruke

Cosinussetningen

La $A B C$ være en trekant. Anta at vi kjenner sidene $A B$ , $A C$ og $∠ A$ mellom dem. Da er

$B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2 (A B \cdot A C) \cos ∠ A .$

cosinussetningen

for å finne denne.

For å bruke arealsetningen må vi kjenne to sidelengder i $△ A B C$ og størrelsen på vinkelen mellom dem. I oppgaven har vi ikke fått oppgitt noen vinkelstørrelser, så da må vi først finne en vinkel.

Fra cosinussetningen har vi at

$B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2 \cdot A C \cdot A B \cdot \cos ∠ A$ .

Vi kan sette inn for sidelengdene, og da får vi at

$5^{2} = 4^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos ∠ A$ .

Denne likningen kan vi løse i CAS, og skriver inn

5^2=4^2+8^2-2*4*8*cos(A^°),

og trykker på " $x \approx$ ".

Da får vi at $A = 3 {0, 75}^{\circ}$ .

Noen versjoner av CAS kan gi andre, litt uforståelige, løsninger for $A$ . Et alternativ er å skrive inn

Løs[{5^2=4^2+8^2-2*4*8*cos(A°),A>0,A<180}],

som i linje 3 fra CAS-utklippet under.

Da vil CAS gi et svar for $A$ som ligger mellom $0 og 180$ .

Vi bruker dette til å sette inn i arealsetningen;

$A_{Δ A B C} = \frac{\sin ∠ A \cdot A B \cdot A C}{2}$ .

Nå kan vi sette inn for vinkelen og sidene, og bruke CAS til å finne arealet. Da skriver vi

(sin(A^°)*8*4)/2

og trykker på " $\approx$ ".

Da får vi at

$A_{Δ A B C} \approx 8, 18$ .

Svar: Arealet til $△ A B C$ er $\approx 8, 18$ .

Alternativ løsning

Vi kan også gjøre utregningen for hånd, og vi begynner med å finne vinkelen. Da gjør vi om på uttrykket fra cosinussetningen slik at vi får:

$\cos ∠ A = \frac{B C^{2} - A C^{2} - A B^{2}}{- 2 (A C \cdot A B)}$

Videre nå setter vi inn informasjonen vi har,

$\cos ∠ A = \frac{5^{2} - 4^{2} - 8^{2}}{- 2 \cdot 4 \cdot 8} = \frac{- 55}{- 64} \approx 0, 859$

For å finne vinkelen tar vi:

$\cos^{- 1} 0, 859$

Da får vi at:

$∠ A \approx 30, 75^{\circ}$

Vi har nå regnet ut en vinkel i trekanten, og har nå nok informasjonen til å kunne bruke arealsetningen:

$A_{△ A B C} = \frac{\sin (∠ A) \cdot A B \cdot A C}{2}$

Vi setter inn den informasjonen vi har:

$A_{△ A B C} = \frac{\sin (30, 78^{\circ}) \cdot 8 \cdot 4}{2} = \sin (30, 75^{\circ}) \cdot 16 \approx 8, 18$

Mer om

I denne oppgaven bruker vi arealsetningen og cosinussetningen.

For flere forklaringer og eksempler se artiklene Arealsetningen og Cosinussetningen i lynkurset Trigonometri.

For å øve mer, se oppgavesetet om areal og cosinussetningen i Treningsleiren.

Oppgave 7 (4 poeng) Nettkode: E-4BFC

En båt ligger fortøyd ved en brygge med et stramt tau som går fra C til B. Tauet er 3,0 m langt. Se skissen ovenfor.

a)

Bestem avstanden $A B$ fra båten til bryggen når $∠ v = 52^{\circ}$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

På figuren er det illustrert en rettvinklet trekant, og da kan vi bruke

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

til å finne avstanden.

Vi vet at hypotenusen i $△ A B C$ er taustykket $B C$ , siden $∠ A$ er rett. Vi vet at $∠ v = 52^{\circ}$ , og vil finne $A B$ , som er den hosliggende kateten til $∠ v$ . Fra definisjonen til cosinus har vi at

$\cos v = \frac{hosliggende katet}{hypotenus} = \frac{A B}{B C}$

Vi vet hva $∠ v$ er, og vi vet $B C$ . Vi gjør om uttrykket for å få den ukjente $A B$ alene, når vi multipliserer med $B C$ på begge sider får vi:

$A B = B C \cdot \cos v$

Vi setter inn den informasjonen vi har:

$A B = 3, 0 m \cdot \cos 52^{\circ} \approx 1, 85 m$

Lengden $A B$ er det samme som avstanden mellom bryggen og båten.

Svar: Avstanden fra båten til bryggen er omtrent $1, 85 m$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklet trekant

Vinkel

En vinkel er en geometrisk figur satt sammen av to rette linjer med samme startpunkt. Vinkler måles i grader.

vinkel

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

Flere forklaringer og bruksområder finner du i artikkelen Sinus, cosinus og tangens.

For å øve mer, se oppgavesettet om lengdeberegninger ved hjelp av sinus, cosinus og tangens i Treningsleiren.

b)

Vannstanden synker med 30 cm.

Bestem avstanden fra båten til bryggen nå.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Den nye vannstanden gjør at lengden $A C$ øker med $30 cm$ . Vi må først finne den nye lengden til $A C$ , og vi kan bruke

Pytagoras læresetning

Vi kan begynne med å tegne en hjelpefigur:

Vi ønsker å finne lengden $A' B'$ . Tauet, som nå er siden $B' C$ , har fortsatt lengde $3, 0 m$ . Dersom vi finner lengden $A' C$ kan vi bruke Pytagoras læresetning til å finne den nye avstanden til bryggen.

Vi kan begynne med å finne lengden $A' C$ , ved å regne ut lengden $A C$ og legge til $30 cm$ . Det kan vi gjøre ved å bruke

Sinus

Forholdet mellom lengdene til motstående katet og hypotenus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant.

$\sin (A) = \sin (u) = \frac{{motstående}_{katet}}{hypotenus} = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}$

sinus

$\sin v = \frac{motstående katet}{hypotenus} = \frac{A C}{B C}$ .

Vi multipliserer med $B C$ på begge sider for å få $A C$ alene:

$A C = B C \cdot \sin v$ .

Vi setter inn den informasjonen vi har, og får:

$A C = 3, 0 m \cdot \sin 52^{\circ} \approx 2, 36 m$

Lengden til $A' C$ finner vi ved å legge til $30 cm = 0, 3 m$

$A' C = A C + 0, 30 m \approx 2, 36 m + 0, 30 m \approx 2, 66 m$ .

Vi bruker nå

Pytagoras læresetning

$(B' C)^{2} = (A B')^{2} + (A' C)^{2}$

Vi omformulerer og får:

$(A B')^{2} = (B C)^{2} - (A' C)^{2}$

Vi setter inn den informasjonen vi har:

$\begin{matrix} (A' B')^{2} & = & {(3, 0 m)}^{2} - {(2, 66 m)}^{2} \\ (A' B')^{2} & = & 9, 0 m^{2} - 7, 0756 m^{2} \\ (A' B')^{2} & = & 1, 9244 m^{2} \\ A' B' & = & \sqrt{1, 9244 m^{2}} \\ A' B' & \approx & 1, 39 m \end{matrix}$

Svar: Avstanden fra bryggen til båten er $1, 39 m$ .

Mer om

Denne oppgaven handler om

Pytagoras læresetning

Flere forklaringer og eksempler finner du i Pytagoras' setning.

For å øve mer, se oppgavesettet om Pytagoras læresetning i Treningsleiren.

Visste du at?

I denne oppgaven var det mange lange desimaltall som skulle regnes videre med. Husk på å bruke de uavrundede verdiene der det er mulig, så avrundingsfeil ikke vokser seg større. Et eksempel på dette er at vi i oppgave a) skriver at båten er 1,85 m fra bryggen, men når vi regner videre med tallet bruker vi $3 \cdot \cos (52^{\circ})$ for å få et mer presist svar.

Oppgave 8 (4 poeng) Nettkode: E-4BFG

$Δ A B C$ har grunnlinje $A B = 8$ .

Punktet $D$ ligger på $A B$ . $C D = 6$ og $∠ B D C = 90^{\circ}$ . Se skissen til høyre.

Vi setter $B D = x$

a)

Vis at sammenhengen mellom lengden $x$ og omkretsen $f (x)$ av $Δ A B C$ er gitt ved

$f (x) = 8 + \sqrt{x^{2} + 36} + \sqrt{x^{2} - 16 x + 100}, x \in [0, 8]$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Figuren kan deles opp i to rettvinklete trekanter. Vi skal finne et uttrykk for hypotenusen i hver av trekantene. Her må vi bruke

Pytagoras læresetning

Vi skal finne sammenhengen mellom omkretsen til $△ A B C$ = $A B + B C + A C$ og $x$ . For å vise sammenhengen vil vi at omkretsen skal være en funksjon av $x$ ;

$f (x) = A B + B C + A C$ .

Så vi vil uttrykke disse sidelengdene ved $x$ .

I oppgaven får vi opplyst at $A B = 8$ .

Videre kan vi finne et uttrykk for $B C$ , som er hypotenusen i $△ B C D$ . Da kan vi bruke Pytagoras læresetning, som gir at

$B C^{2} = B D^{2} + C D^{2}$

Vi kan sette inn for $B D = x og C D = 6$ og får da:

$\begin{matrix} B C^{2} & = & x^{2} + 6^{2} \\ B C & = & \sqrt{x^{2} + 36} \end{matrix}$

Dersom vi ser på uttrykket vi fikk oppgitt i oppgaven er dette likt det andre leddet i $f (x)$ .

$A C$ er hypotenusen i $△ A C D$ , og igjen bruke vi Pytagoras læresetning:

$A C^{2} = A D^{2} + C D^{2}$

Vi setter inn for $A D = 8 - x og C D = 6$ og får:

${A C}^{2} = {(8 - x)}^{2} + 6^{2}$

For å regne ut det første leddet bruker vi

Andre kvadratsetning

Andre kvadratsetning sier at

${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .

andre kvadratsetning

$\begin{matrix} {A C}^{2} & = & 8^{2} - 2 \cdot 8 \cdot x + x^{2} + 36 \\ {A C}^{2} & = & x^{2} - 16 x + 64 + 36 \\ A C & = & \sqrt{x^{2} - 16 x + 100} \end{matrix}$

Nå har vi at $A B = 8$ , $B C = \sqrt{x^{2} + 36}$ og $A C = \sqrt{x^{2} - 16 x + 100}$ . Det gir:

$f (x) = A B + B C + A C = 8 + \sqrt{x^{2} + 36} + \sqrt{x^{2} - 16 x + 100}$

som var det vi skulle fram til.

Mer om

Denne oppgaven er om

Pytagoras læresetning

Flere eksempler på hvordan man kan bruke Pytagoras setning for å regne ut sidelengder finner du i artikkelen Pytagoras' setning.

For å øve mer, se oppgavesettet om Pytagoras læresetning i Treningsleiren.

b)

Bestem $x$ slik at omkretsen av $Δ A B C$ blir minst mulig.

Forklar at trekanten da vil være likebeint.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi kan løse oppgaven grafisk ved å tegne funksjonsgrafen med GeoGebra og finne bunnpunktet til grafen til $f (x)$ .

For å finne for hvilken $x$ -verdi omkretsen blir minst kan vi tegne grafen til $f (x)$ , og se hvor grafen har bunnpunkt.

I GeoGebra kan vi bruke følgende kommando for å tegne grafen av en funksjon definert over et gitt intervall:

Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]

Vi kan ikke ha negative lengder, så da må vi ha at $x$ -verdien vår må være større enn $0$ , og mindre enn $8$ , hvis ikke vil vi ha at $A D eller B D$ kan være negativ.

Det betyr at vi kan skrive inn

f(x) = Funksjon[ 8 + sqrt(x^2+36) + sqrt(x^2-16x+100), 0, 8]

som gir denne grafen:

Vi ser her at grafen har et bunnpunkt. Bunnpunktet er et

Ekstremalpunkt

Vi sier at et punkt $x = a$ er et ekstremalpunkt for en funksjon $f (x)$ hvis det enten er et toppunkt eller bunnpunkt for funksjonen.

ekstremalpunkt

, og GeoGebra har kommandoen:

Ekstremalpunkt[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]

Vi vil finne bunnpunktet til funksjonen vår, $f$ , så vi skriver:

Ekstremalpunkt[ f, 0, 8]

Vi får da opp et punkt.

Det punktet har koordinatene $(4, 22.42)$ . Det betyr at omkretsen er minst hvis $x = 4$ .

Når $x = 4$ er $D$ midtpunktet på linja $A B$ . Da vil $A C$ og $B C$ være like lange, og trekanten er da likebeint.

Svar: Omkretsen er minst når $x = 4$ . Den er likebeint fordi da er $D$ midtpunktet på $A B$ .

Alternativ løsning

Vi kan også finne bunnpunktet, ved å finne når den deriverte $f' (x) = 0$ . Da kan vi bruke CAS.

Vi definerer $f (x)$ ved å skrive inn

f(x):=8+sqrt(x^2+36)+sqrt(x^2-16x+100).

For å finne når den deriverte er lik $0$ skriver vi

f'(x)=0, og trykker på "x=".

Da får vi

For å finne omkretsen når $x = 4$ skriver vi inn

f(4)

som gir

Omkretsen til trekanten er minst når $x = 4$ , og da er den omtrent $22, 4$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

og ekstremalpunkter.

Flere forklaringer og eksempler finner du i lynkurset Derivasjon. For mer om funksjoners egenskaper se lynkurset Funksjonsdrøfting.

For å øve mer, se oppgavesettet om ekstremalpunkter i Treningsleiren.

Oppgave 9 (2 poeng) Nettkode: E-4BFO

Petter får i oppgave å vise at når omkretsen av trekanten i oppgave 8 er minst mulig, er trekanten likebeint. Han løser oppgaven med figurer. Se nedenfor.

Ved hjelp av figurene viser han hvor punktet $D$ må plasseres på linjestykket $A B$ for at lengden $A B + C B$ i figur 1 skal bli kortest mulig.

Forklar hva Petter har gjort, og at han har løst oppgaven riktig.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Den korteste avstanden mellom to punkter er en rett linje, og det ser ut som det er det Petter bruker når han løser oppgaven.

Vi begynner med å se på hva Petter har gjort på de ulike figurene.

I Figur 1 har han tegnet den figuren som vi får oppgitt i oppgaven.

Videre i Figur 2 har Petter speilet trekantene $△ A D C$ og $△ D B C$ . Linjestykket $D F = A C$ og $D E = B C$ .

I Figur 3 har Petter har speilet $△ D B E$ om linjen $A B$ og kalt den for $△ D B G$ .

Det siste Petter har gjort, i Figur 4, er å tegne en rett linje mellom $F$ og $G$ . Punktet der linja $F G$ skjærer $A B$ har Petter kalt $D'$ .

Omkretsen i den orginale trekanten, $A B + B C + A C$ er det samme som $A B + D G + D F$ i Figur 4. $A B$ har en faste lengde $8$ . For å finne den minste omkretsen, må lengden av $D G + F G$ være kortest mulig. Petter vet at i planet er den korteste veien mellom to punkt en rett linje. På Figur 4 ser vi at $D G + D F$ vil være minst når $D G + D F = D' G + D' F$ .

Siden $△ A D' F$ og $△ B D' G$ er rettvinklete trekanter, med toppvinklene $∠ A D' F = ∠ B D' G$ og $A D' = B D' = 4$ er de to trekantene

Kongruente figurer

To figurer er kongruente dersom alle sider og alle vinkler er parvis like store. To kongruente figurer vil kunne dekke hverandre fullstendig om de plasseres oppå hverandre, det vil si at to figurer er kongruente når de har lik form og størrelse.

kongruente

, og Petter har rett.

Mer om

Denne oppgaven handler om bevis.

Flere forklaringer og eksemler på hvordan man gjennomfører et bevis finner du i lynkurset Litt om mengder, logikk og bevis.

MAT1013 2014 Vår

Del 1

Del 2

Eksamensinformasjon

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (1 poeng) Nettkode: E-4BDP

Løsningsforslag

Standardform

Standardform