Konjugatsetningen

Konjugatsetningen kan likne på en kombinasjon av første og andre kvadratsetning. Den tar for seg produktet $(a+b)(a-b)$. La oss regne ut dette uttrykket:

$(a+b)(a-b)=a^2+a(-b)+ab+b(-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$

Vi vet altså at 

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.    

Dette kalles konjugatsetningen. Nå skal vi se på et eksempel med tall.

Eksempel.

La $a=2$ og $b=-4$. Vi setter inn for a og b i $(a+b)(a-b)$:

$(a+b)(a-b)=(2+(-4\left)\right)(2-(-4\left)\right)=(-2)(2+4)=(-2)\cdot 6=-12$

Nå setter vi inn for a og b i $a^2-b^2$:

$a^2-b^2=2^2-{(-4)}^2=4-16=-12$

Vi ser at svaret er det samme!

Geometrisk illustrasjon og begrunnelse

Vi velger at $a>b>0$. Vi ønsker vi å finne aralet til et rektangel med sidelengder $a+b$ og $a-b$.

La oss først tegne et rektangel med lengde a og bredde $a+b$ . Hvis vi deler dette rektangelet, ser vi at vi har det blå rektangelet har høyden lik $a+b$ og bredden lik $a-b$. Nå skal vi finne arealet til det blå rektangelet på to ulike måter.

Arealet til et rektangel er produktet av høyden og bredden, $(a+b)(a-b)$.

Men vi kan også finne dette arealet ved å trekke fra arealet av hele store rektanglet det grønne og gule arealet. 

• Arealet av hele figuren er $a(a+b)$.
• Arealet av det grønne rektanglet er $ab$.
• Arealet av det gule kvadratet er $b^2$.

Arealet til det blå rektangelet er

$a(a+b)-ab-b^2=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2$.

Begge fremgangsmåter er for ett og samme areal og derfor vet vi at uttrykkene vi fant er like,

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.  Dette er jo konjugatsetningen!