Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

REA3024 2015 Vår

Del 1
Del 2
Eksamensinformasjon

Eksamenstid:
5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 3 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:
Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Del 1 har 9 oppgaver. Del 2 har 4 oppgaver.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, kan en alternativ metode gi lav/noe uttelling.

Bruk av digitale verktøy som graftegner og CAS skal dokumenteres med utskrift eller gjennom en IKT-basert eksamen.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

viser regneferdigheter og matematisk forståelse
gjennomfører logiske resonnementer
ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
forklarer framgangsmåter og begrunner svar
skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger
vurderer om svar er rimelige

Andre opplysninger:
Kilder for bilder, tegninger osv.:

London Eye, en.wikipedia.org, www.saylor.org (01.12.2014)
Alle grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng) Nettkode: E-4DNB

Deriver funksjonene

a)

$f (x) = - 3 \cos x$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Funksjonen $f (x)$ er en konstant multiplisert med en funksjon, $\cos x$ , som vi vet hvordan vi skal derivere.

Siden den deriverte av en konstant multiplisert med en funksjon, er den samme konstanten multiplisert med den deriverte av funksjonen holder det å huske at $(\cos x)' = - \sin x$ . Den deriverte av $f (x)$ er altså $f' (x) = (- 3 \cos x)' = - 3 (\cos x)' = - 3 (- \sin x) = 3 \sin x .$

Svar: $f' (x) = 3 \sin x$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Sinus

Forholdet mellom lengdene til motstående katet og hypotenus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant.

$\sin (A) = \sin (u) = \frac{{motstående}_{katet}}{hypotenus} = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}$

sinus

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Derivasjon av trigonometriske funksjoner.

b)

$g (x) = \sin^{2} x$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Tanker

Funksjonen $g (x)$ er kvadratet av en funksjon $\sin x$ , som vi vet hvordan vi skal derivere.

Siden vi vet hvordan vi kan derivere $u (x) = \sin x$ og $h (u) = u^{2}$ begynner vi med å skrive $g (x) = \sin^{2} x = u (x)^{2} = h (u (x))$ . Ved å benytte kjerneregelen for derivasjon, som sier at $(h (u (x)))' = h' (u (x)) \cdot u' (x)$ , finner vi da at $g' (x) = u' (x) h' (u) = (\cos x) \cdot 2 u (x)$

$= \cos x \cdot 2 \sin x = \sin 2 x$

Svar: $g' (x) = 2 \sin x \cos x = \sin 2 x$

Mer om

Denne oppgaven er om

Sinus

sinus

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

For flere forklaringer og eksempler på derivasjon, se artikkelen Kjerneregelen.

c)

$h (x) = x^{3} \cdot e^{- x}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Funksjonen $h (x)$ er produktet av to funksjoner, $x^{3}$ og $e^{- x}$ , som vi vet hvordan vi kan derivere hver for seg.

Ved å sette $u (x) = x^{3}$ og $v (x) = e^{- x}$ kan vi bruke produktregelen for derivasjon, som sier at $(u v)' = u' v + v u'$ , til å finne

$h' (x) = (u (x) v (x))' = u' (x) v (x) + u (x) v' (x) =$

$= (3 x^{2}) (e^{- x}) + (x^{3}) ((- x)' e^{- x}) = 3 x^{2} e^{- x} - x^{3} e^{- x}$

somvi godt kan skrive $h' (x) = x^{2} e^{- x} (3 - x) .$

Svar: $h' (x) = 3 x^{2} e^{- x} - x^{3} e^{- x} = x^{2} e^{- x} (3 - x)$

Mer om

Denne oppgaven er om

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

Eksempel: log₁₀(1000) = 3 ettersom 10³ = 1000.

logaritme

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

For flere forklaringer og eksempler på derivasjon, se artikkelen Derivasjonsregler.

Oppgave 2 (5 poeng) Nettkode: E-4DNF

Regn ut integralene

a)

$\int_{1}^{2} (x^{2} + 2 x - 3) dx$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Siden integralet av en sum er en sum av integraler kan vi integrere $x^{2}$ , $2 x$ og $- 3$ hver for seg.

Først bruker vi at integralet av en sum er en sum av integraler til å konstatere at $\begin{matrix} \int_{1}^{2} (x^{2} + 2 x - 3) d x = \int_{1}^{2} x^{2} d x + 2 \int_{1}^{2} x d x - 3 \int_{1}^{2} d x . \end{matrix}$ Siden den deriverte av $\frac{1}{n + 1} x^{n + 1}$ er $x^{n}$ følger det videre at $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$ . Altså kan vi skrive $\begin{matrix} \int_{1}^{2} x^{2} d x + 2 \int_{1}^{2} x d x - 3 \int_{1}^{2} d x & = {[\frac{1}{3} x^{3}]}_{1}^{2} + 2 {[\frac{1}{2} x^{2}]}_{1}^{2} - 3 {[x]}_{1}^{2} \\ = (\frac{1}{3} 2^{3} - \frac{1}{3} 1^{3}) + 2 (\frac{1}{2} 2^{2} - \frac{1}{2} 1^{2}) - 3 (2 - 1) \\ = \frac{7}{3} + 3 - 3 = \frac{7}{3} . \end{matrix}$ Altså har vi funnet at $\begin{matrix} \int_{1}^{2} (x^{2} + 2 x - 3) d x = \frac{7}{3} . \end{matrix}$

Svar: $\frac{7}{3}$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Sum

Resultatet av en addisjon.

Eksempel: 2 + 5 + 1 = 8, her kalles 8 for sum.

sum

Integrasjon

Det motsatte av derivasjon. En grenseoperasjon på en funksjon som kan tolkes som arealet begrenset av grafen til funksjonen og x-aksen.

Se Integralregning

integrasjon

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Bestemte integraler.

b)

$\int_{}^{} \frac{3 x}{x^{2} - x - 2} dx$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Inne i integralet er det en brøk med polynom i nevner og teller. Dette ville vært mye lettere å løse dersom vi klarte å dele opp integralet ved hjelp av delbrøkoppspalting.

Før vi kan bruke delbrøkoppspalting må vi faktorisere polynomet i nevneren – det gjør vi ved å finne nullpunktene til polynomet. Med andre ord må vi finne de $x$ -verdiene som tilfredsstiller $x^{2} - x - 2 = 0$ . Annengradsformelen gir løsningene $\begin{matrix} x = \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{1 - 4 \cdot (- 2)} = \frac{1 \pm 3}{2} = {\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}, \end{matrix}$ det betyr at nevneren kan faktoriseres $x^{2} - x - 2 = (x + 1) (x - 2)$ . Altså kan det se ut som om delbrøkoppspalting er den beste metoden. Her kan du enten se at $3 x = 2 (x + 1) + (x - 2)$ , eller sette opp kravet $\begin{matrix} \frac{3 x}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2} . \end{matrix}$ Dette kan du skrive som $3 x = A (x - 2) + B (x + 1)$ . Siden denne likningen må være oppfylt for alle verdier av $x$ må $3 x = A x + B x$ og $0 = - 2 A + B$ . Delbrøkoppspaltingen løses altså av $A = 1$ og $B = 2$ . Integralet kan altså skrives på formen $\begin{matrix} \int \frac{3 x}{x^{2} - x - 2} d x = \int \frac{d x}{x + 1} + \int \frac{2 d x}{x - 2} . \end{matrix}$ Disse integralene kan vi løse ved enten å bruke substitusjonen $u = x + 1$ og $v = x - 2$ slik at $\begin{matrix} \int \frac{3 x}{x^{2} - x - 2} d x = \int \frac{d u}{u} + \int \frac{2 d v}{v} = \ln | u | + 2 \ln | v | + C = \ln | x + 1 | + 2 \ln | x - 2 | + C, \end{matrix}$ eller ved å komme på at den deriverte til $\ln |x + a|$ er $\frac{1}{x + a}$ .

Svar: $\ln | x + 1 | + 2 \ln | x - 2 | + C .$

Mer om

Denne oppgaven er om

Integrasjon

Det motsatte av derivasjon. En grenseoperasjon på en funksjon som kan tolkes som arealet begrenset av grafen til funksjonen og x-aksen.

Se Integralregning

integrasjon

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

Nevner

Tallet som står under brøkstreken i en brøk.
Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.

Eksempel : $\frac{3}{7}$ . Tallet 7 er nevneren.

nevner

Tellestrek

Tellestreker bruker vi for å få en oversikt når vi teller opp antall. Det er lurt å gruppere fem og fem streker, slik at vi enklere får telt opp til slutt.

teller

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Integrasjon av rasjonale uttrykk.

c)

$\int_{}^{} x \cdot \ln x dx$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

$\ln x$ blir mye lettere å håndtere dersom vi får lov til å derivere den. Derfor kan det være lurt å bruke delvis integrasjon.

Vi benytter delvis integrasjon, som sier at $\begin{matrix} \int u (x) v' (x) d x = u (x) v (x) - \int u' (x) v (x) d x, \end{matrix}$ ved å sette $u (x) = \ln x$ og $v' (x) = x$ . Den deriverte av $\ln x$ er $\frac{1}{x}$ , så $u' (x) = \frac{1}{x}$ og siden $v' (x) = x$ har vi $v (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ . Dette gir $\begin{matrix} \int x \ln x d x & = u (x) v (x) - \int u' (x) v (x) d x = \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x \\ = \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x d x = \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C . \end{matrix}$

Svar: $\begin{matrix} \int x \ln x d x = \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Integrasjon

Det motsatte av derivasjon. En grenseoperasjon på en funksjon som kan tolkes som arealet begrenset av grafen til funksjonen og x-aksen.

Se Integralregning

integrasjon

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

Eksempel: log₁₀(1000) = 3 ettersom 10³ = 1000.

logaritme

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Delvis integrasjon.

Oppgave 3 (4 poeng) Nettkode: E-4DNJ

a)

Bruk en integrasjonsmetode til å vise at $\int_{}^{} x \cdot e^{x^{2}} dx = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Siden den deriverte av $e^{x^{2}}$ er $2 x e^{x^{2}}$ kan det se ut som om substitusjonsmetoden er den beste å bruke her.

Vi bruker substitusjonen $u (x) = e^{x^{2}}$ og ser at vi da kan skrive $\begin{matrix} \int x e^{x^{2}} d x = \int \frac{1}{2} u' (x) d x = \int \frac{1}{2} d u = \frac{1}{2} u (x) + C = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C . \end{matrix}$

Svar: Substitusjon med $u (x) = e^{x^{2}}$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Integrasjon

Det motsatte av derivasjon. En grenseoperasjon på en funksjon som kan tolkes som arealet begrenset av grafen til funksjonen og x-aksen.

Se Integralregning

integrasjon

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Integrasjon ved substitusjon.

b)

Løs differensiallikningen

$y' + 2 x y = 4 x, y (0) = 8$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Dette er en lineær, første ordens differensiallikning som ser ut til å være separabel. Vi kan bruke metoden med integrerende faktor, men det er kanskje raskere å separere variablene på hver sin side av likhetstegnet, for så å integrere opp begge sider.

Vi kan løse differensiallikningen ved å benytte integrerende faktor. Siden koeffisienten til det lineære $y$ -leddet er $2 x$ og $\begin{matrix} \int 2 x d x = x^{2} + C, \end{matrix}$ kan vi multiplisere begge sider av differensiallikningen med $e^{x^{2}}$ . Da får vi at $\begin{matrix} e^{x^{2}} y' + 2 x e^{x^{2}} y = 4 x e^{x^{2}} . \end{matrix}$ Her kan vi kjenne igjen produktregelen for derivasjon, og dermed skrive differensiallikningen på formen $\begin{matrix} (e^{x^{2}} y)' = 4 x e^{x^{2}} . \end{matrix}$ Ved å integrere begge sider får vi da at $\begin{matrix} \int (e^{x^{2}} y)' d x = y e^{x^{2}} + C_{1} \end{matrix}$ og ifølge oppgave $3 a)$ må $\begin{matrix} 4 \int x e^{x^{2}} d x = 2 e^{x^{2}} + C_{2} . \end{matrix}$ Det gir $\begin{matrix} y e^{x^{2}} = 2 e^{x^{2}} + C \end{matrix}$ der $C = C_{2} - C_{1}$ . At $y (0) = 8$ gir oss kravet

$y (0) e^{0^{2}} = 2 e^{0^{2}} + C \Rightarrow C = y (0) - 2 = 8 - 2 = 6$

Ved nå å multiplisere begge sider av likningen med $e^{- x^{2}}$ ser vi at den spesielle løsningen kan skrives $\begin{matrix} y = 2 + 6 e^{- x^{2}} . \end{matrix}$

Svar: $y = 2 + 6 e^{- x^{2}}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Differensiallikning

En likning hvor den ukjente er en funksjon og der den deriverte, funksjonens differensialkvotient, inngår.

Et eksempel er y'' - y = 0 eller $\frac{d^{2} f (x)}{d x^{2}} - f (x) = 0$

differensiallikning

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

Eksempel: log₁₀(1000) = 3 ettersom 10³ = 1000.

logaritme

Integrasjon

Det motsatte av derivasjon. En grenseoperasjon på en funksjon som kan tolkes som arealet begrenset av grafen til funksjonen og x-aksen.

Se Integralregning

integrasjon

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Separable differensiallikninger.

Oppgave 4 (3 poeng) Nettkode: E-4DNS

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

$S (x) = 2 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}} + . . ., x \neq 0$

a)

Bestem konvergensområdet til rekken.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Rekken $S (x)$ består av ledd på formen $1 / x$ opphøyd i et positivt. Hvis $1 / x$ har større tallverdi enn én vil tallene altså bare bli større og større utover i rekken. Da kan ikke rekken konvergere.

En uendelig geometrisk rekke $C + C γ + C γ^{2} + C γ^{3} + . . .$ konvergerer for alle $γ$ slik at $| γ | < 1$ . Vi må altså ha $| \frac{1}{x} | = \frac{1}{| x |} < 1 .$ Siden $| x |$ er positiv når $x \neq 0$ får vi $| x | > 1$ som betyr at konvergensområdet til den uendelige geometriske rekken er $\begin{matrix} x \in (- \infty, - 1) \cup (1, \infty) . \end{matrix}$

Svar: $\begin{matrix} x \in (- \infty, - 1) \cup (1, \infty) . \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Uendelige rekker

En rekke er en sum av elementene i en tallfølge. Rekken kalles uendelig hvis den består av uendelig antall elementer.

Eksempel : $\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$

( ∞ er tegnet for uendelighet )

uendelig rekke

Intervall

Et intervall er det samme som et tallområde. Tallene 4, 5, 6 og 7 ligger i intervallet 4–7 (fire til sju).

Dersom vi ikke har sagt noe annet, lar vi øvre og nedre grense høre med til intervallet.

intervall

Union

Unionen av to mengder A og B er en ny mengde $A \cup B$ som består av alle elementer som forekommer i minst en av A og B.

Eksempel: hvis $A = \{2, 4, 5, 18\} o g B = \{1, 2, 4, 24\}$ er to mengder, blir unionen $A \cup B = \{1, 2, 4, 5, 18, 24\}$ .

union

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

Konvergens

Konvergens betyr i matematikk å nærme seg en grense.

Se Konvergent tallfølge

konvergens

For flere forklaringer og eksempler på rekker, se artikkelen Uendelige rekker.

Visste du at

At en uendelig geometrisk rekke $C + C γ + C γ^{2} + C γ^{3} + . . .$ konvergerer for $| γ | < 1$ kan vi se ved først å observere at i en endelig geometrisk rekke $S_{N} = C + C γ + C γ^{2} + C γ^{3} + . . . + C γ^{N}$ er $S_{N} - γ S_{N} = C (1 - γ^{N + 1})$ siden $γ S_{N} = S_{N + 1} - 1$ . Dette betyr at $S_{N} = C \frac{1 - γ^{N + 1}}{1 - γ}$ . Når $N$ går mot uendelig må $γ^{N + 1}$ forsvinne. Dette skjer når $| γ | < 1$ .

b)

Bestem $x$ slik at $S (x) = 4$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi bør først finne et uttrykk for $S (x)$ . Deretter kan vi sette dette lik $4$ og løse for $x$ .

Hvis en uendelig geometrisk rekke $C + C γ + C γ^{2} + C γ^{3} + . . .$ konvergerer, må den konvergere mot $C / (1 - γ)$ . Altså må vi ha $\begin{matrix} S (x) = 2 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}} + . . . = \frac{2}{1 - (\frac{1}{x})} . \end{matrix}$ Kravet for at $S (x) = 4$ blir altså $\begin{matrix} \frac{2}{1 - (\frac{1}{x})} = 4 . \end{matrix}$ Det kan vi skrive som $2 = 4 - \frac{4}{x}$ , som videre gir $1 = \frac{2}{x}$ . Altså er $S (x) = 4$ hvis $x = 2$ .

Svar: $x = 2$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Konvergens

Konvergens betyr i matematikk å nærme seg en grense.

Se Konvergent tallfølge

konvergens

Uendelige rekker

En rekke er en sum av elementene i en tallfølge. Rekken kalles uendelig hvis den består av uendelig antall elementer.

Eksempel : $\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$

( ∞ er tegnet for uendelighet )

uendelig rekke

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

For flere forklaringer og eksempler på rekker, se artikkelen Geometriske rekker.

Oppgave 5 (6 poeng) Nettkode: E-4DO2

Punktene $A (3, 0, 0)$ , $B (0, 4, 0)$ og $C (0, 0, 1)$ er gitt.

a)

Bestem $\vec{A B} \times \vec{A C}$ . Bestem arealet av $Δ A B C$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Lengden av kryssproduktet mellom to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er lik arealet av parallellogrammet de utspenner. Arealet til trekanten definert av to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ må da være lik halve lengden av kryssproduktet.

Vi finner først vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ ved $\begin{matrix} \vec{A B} & = \vec{B} - \vec{A} = [- 3, 4, 0] \\ \vec{A C} & = \vec{C} - \vec{A} = [- 3, 0, 1] . \end{matrix}$ Kryssproduktet blir da

$\vec{A B} \times \vec{A C} = |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ - 3 & 4 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{matrix}| = |\begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}| \vec{i} - |\begin{matrix} - 3 & 0 \\ - 3 & 1 \end{matrix}| \vec{j} + |\begin{matrix} - 3 & 4 \\ - 3 & 0 \end{matrix}| \vec{k}$

$= 4 \vec{i} - 3 \vec{j} + 12 \vec{k} = [4, 3, 12]$

Lengden av vektoren $\vec{A B} \times \vec{A C}$ er lik arealet av parallellogrammet utspent av vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ . Ettersom $△ A B C$ utgjør halve parallellogrammet finner vi arealet av trekanten ved å beregne $\frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} |$ . Da finner vi at $\begin{matrix} A r e a l △ A B C & = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} | = \frac{1}{2} \sqrt{4^{2} + 3^{2} + 12^{2}} \\ = \frac{1}{2} \sqrt{16 + 9 + 144} = \frac{1}{2} \sqrt{169} = \frac{1}{2} \sqrt{13^{2}} = \frac{13}{2} = 6, 5 \end{matrix}$ er arealet av trekanten $△ A B C$ .

Svar: $\begin{matrix} \vec{A B} \times \vec{A C} & = [4, 3, 12] \\ A r e a l △ A B C & = \frac{13}{2} \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektor

Parallellogram

Et parallellogram er en firkant med parvis parallelle sider. Vinklene er parvis like store.

parallellogram

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Kryssprodukt - areal og volum.

Visste du at

At lengden til vektoren $\vec{a} \times \vec{b}$ er lik arealet av parallellogrammet utspent av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er en ganske rar definisjon. Siden $\vec{a} \times \vec{b}$ er en vektor, er vi vant til å tenke på den som en lengde med en retning. Problemet er at det ikke gir mening å snakke om lengder som måles i areal. Ser vi for eksempel på parallellogrammet utspent av $\vec{u} = [1 m, 0, 0]$ og $\vec{v} = [0, 1 m, 0]$ er $\vec{u} \times \vec{v} = [0, 0, 1 m^{2}]$ . Altså er vektoren $\vec{u} \times \vec{v}$ én kvadratmeter lang – hvor langt er egentlig dette?

b)

Punktene $A$ , $B$ og $C$ ligger i et plan $α$ . Bestem likningen for planet $α$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Det må finnes en normalvektor $\vec{n}$ som står orthogonalt på alle vektorer i planet $α$ . Denne vektoren må være parallell med kryssproduktet $\vec{A B} \times \vec{A C}$ .

Ved å velge vektoren $\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C} = [4, 3, 12]$ som normalvektor for planet $α$ kan vi sette opp planlikningen $\begin{matrix} 4 x + 3 y + 12 z + C = 0 \end{matrix}$ for en eller annen konstant $C$ . Alternativt kan vi skrive $\vec{n} \cdot (\vec{a} - \vec{p}) = 0$ for en kjent vektor $\vec{p}$ i $α$ og for alle vektorer $\vec{a}$ i $α$ . Konstanten $C$ kan vi finne ved å kreve at punktet $C (0, 0, 1)$ må ligge i $α$ . Vi får da $\begin{matrix} 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 12 \cdot 1 + C = 0 \Rightarrow C = - 12 . \end{matrix}$ Altså kan likningen for planet $α$ skrives $\begin{matrix} 4 x + 3 y + 12 z - 12 = 0 . \end{matrix}$

Svar: Likningen for planet $α$ er $\begin{matrix} 4 x + 3 y + 12 z - 12 = 0 . \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektor

Plan

Et plan har uendelig utstrekning i to dimensjoner. Vi kan tenke på ei slett, uendelig tynn papirflate.

plan

Normalvektor

En normalvektor $\vec{n}$ for et plan står vinkelrett på alle linjer i planet.

normalvektor

Parallell

To rette linjer i et plan er parallelle når de ikke skjærer hverandre. Avstanden mellom linjene er den samme uansett hvor du måler.

Tegnet som forteller at to linjer er parallelle: $∥$

Eksempel: $g ∥ f$ , leses "linja g er parallell med linja f".

parallell

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Likning til et plan.

Visste du at

Dersom vi bare ser på likningen for planet, $4 x + 3 y + 12 z - 12 = 0$ , kan vi umidderbart lese av en del av planets egenskaper. Vi kan først og fremst se at normalvektoren, den vektoren som står vinkelrett på alle vektorer mellom to punkter i planet, er parallell med $[4, 3, 12]$ . Videre kan vi se at siden den vektoren fra origo til punktet i planet som ligger nærmest origo har retningsvektor som er parallell med normalvektoren, må det punktet som er nærmest origo ligge i en avstand $\begin{matrix} d = \frac{12}{\sqrt{4^{2} + 3^{2} + 12^{2}}} = \frac{12}{13} . \end{matrix}$

c)

En partikkel starter i origo $O (0, 0, 0)$ . Etter tiden $t$ er partikkelen i et punkt $P$ gitt ved

$\vec{O P} = [t, \frac{t^{2}}{3}, - \frac{t}{4}], t \geq 0$

Hvor lang tid tar det før partikkelen treffer planet $α$ ? Bestem koordinatene til punktet der partikkelen treffer $α$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Partikkelen treffer planet $α$ når vektoren $\vec{O P}$ tilfredsstiller planlikningen for $α$ . Ved å kreve dette kan vi finne tiden $t$ og derfor også posisjonen $P$ .

Partikkelen treffer planet når $\vec{O P}$ tilfredsstiller planlikningen for $α$ . Altså må $\begin{matrix} 4 P_{x} + 3 P_{y} + 12 P_{z} - 12 = 4 t + 3 \frac{1}{3} t^{2} - 12 \frac{1}{4} t - 12 = t^{2} + t - 12 = 0 . \end{matrix}$ Ved å benytte annengradslikningen for å finne tiden $t$ som tilfredsstiller dette får vi $\begin{matrix} t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} + 4 \cdot 12}}{2} = \frac{- 1 \pm 7}{2} = {\begin{matrix} 3 \\ - 4 \end{matrix} . \end{matrix}$ Dette betyr at partikkelen har truffet planet $α$ før, nemlig da $t = - 4$ , og at den kommer til å treffe planet $α$ når $t = 3$ . Siden vi ikke liker å arbeide med negativ tid anser vi $t_{α} = 3$ for å være det eneste interessante tidspunktet. Koordinatene til punktet der partikkelen treffer $α$ er da gitt av

$\vec{O P} = [t_{α}, \frac{1}{3} t_{α}^{2}, - \frac{1}{4} t_{α}] = [3, \frac{1}{3} \cdot 3^{2}, - \frac{1}{4} \cdot 3] = [3, 3, - \frac{3}{4}]$

eller $P (3, 3, - 3 / 4)$ .

Svar: Partikkelen treffer planet $α$ i punktet $P (3, 3, - 3 / 4)$ ved tiden $t = 3$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Plan

Et plan har uendelig utstrekning i to dimensjoner. Vi kan tenke på ei slett, uendelig tynn papirflate.

plan

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektor

Andregradslikning

En likning hvor x opptrer i andre potens. Vi kan alltid skrive en slik likning på formen:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Likningen kan løses ved hjelp av abc-formelen.

annengradslikning

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formel

For flere forklaringer og eksempler på vektor, se artikkelen Parametriserte kurver.

Oppgave 6 (2 poeng) Nettkode: E-4DO7

En tallfølge $\{a_{n}\}$ er gitt ved at $a_{1} = - 1$ og $a_{n + 1} = a_{n} + n - 1$

Bruk induksjon til å bevise at $a_{n} = \frac{n (n - 3)}{2}, n \in ℕ$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi må vise at påstanden holder for $a_{1}$ og at hvis den stemmer for $a_{k}$ , så må den også stemme for $a_{k + 1}$ .

Påstanden stemmer for $n = 1$ siden $\frac{1}{2} n (n - 3) = \frac{1}{2} 1 (1 - 3) = - 1 = a_{1}$ . La oss nå anta at påstanden stemmer for $n = k$ . Betyr dette at påstanden også må stemme for $n = k + 1$ ? Følgen er definert ved $a_{k + 1} = a_{k} + k - 1$ , og siden påstanden stemmer for $n = k$ må vi ha $\begin{matrix} a_{k + 1} & = a_{k} + k - 1 = \frac{k (k - 3)}{2} + k - 1 = \frac{k^{2} - 3 k + 2 k - 2}{2} \\ = \frac{k^{2} - k - 2}{2} . \end{matrix}$ Siden $\begin{matrix} \frac{(k + 1) (k + 1 - 3)}{2} = \frac{k^{2} - k - 2}{2} \end{matrix}$ har vi altså vist at hvis $a_{k} = \frac{1}{2} k (k - 3)$ så må $\begin{matrix} a_{k + 1} = \frac{1}{2} (k + 1) (k + 1 - 3) . \end{matrix}$ Det er alt vi trenger for å konkludere med at $\begin{matrix} a_{n} = \frac{n (n - 3)}{2} for alle n \in ℕ ved induksjon. \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Matematisk induksjon

En metode til å bevise en påstand P(n) der det inngår et positivt heltall n. Følgende to skritt må gjennomføres:

Bevis påstanden for n =1.
Bevis at for ethvert positivt tall k vil man fra hypotesen P(k) kunne slutte at hypotesen også gjelder for P(k+1).

Siden vi vet fra 1. at hypotesen gjelder for P(1) kan vi ved hjelp av 2. slutte at den også gjelder for P(2). Fra dette kan vi slutte at den også må gjelde for P(3), og så videre for alle P(n).

matematisk induksjon

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

For flere forklaringer og eksempler på bevisføring, se artikkelen Induksjonsbevis.

Oppgave 7 (6 poeng) Nettkode: E-4DRB

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = 3 - 3 \cos (1 - x^{2}), x \in ⟨- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}⟩$

a)

Bestem nullpunktene til $f$ ved regning.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Nullpunktene til $f (x)$ er nøyaktig de $x$ -verdiene som tilfredsstiller $f (x) = 0$ .

Vi finner alle punkter $x$ som oppfyller $f (x) = 0$ .

$\begin{matrix} f (x) = 3 - 3 \cos (1 - x^{2}) & = 0 \\ \Rightarrow \cos (1 - x^{2}) & = 1 \\ \Rightarrow 1 - x^{2} & = & 2 π n, n \in ℤ \end{matrix}$

Videre gir dette $\begin{matrix} x = \pm \sqrt{1 - 2 π n} . \end{matrix}$ Siden $x \in ⟨ - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} ⟩$ må $n = 0$ . Nullpunktene til $f$ er altså $x = - 1 og x = 1$ .

Svar: $Nullpunkter for f er x = - 1 og x = 1$

Mer om

Denne oppgaven er om

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkt

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

Pi (π)

$π$ er forholdet mellom sirkelens omkrets og diameter. Dette forholdet er alltid konstant og tilnærmet lik 3,14.

For flere forklaringer og eksempler på likninger, se artikkelen Trigonometriske likninger.

b)

Bruk $f' (x)$ til å bestemme $x$ -verdien til eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

De punktene $x$ som tilfredsstiller $f' (x) = 0$ er topp-, bunn- eller vendepunkter til $f$ . Hvilke av disse det er kan vi finne ved å studere fortegnet til $f' (x)$ rundt disse punktene.

Den deriverte av $f (x)$ er $\begin{matrix} f' (x) & = {(3 - 3 \cos (1 - x^{2}))}^{'} = (- 3 (\cos (1 - x^{2}))' = 3 (1 - x^{2})' \sin (1 - x^{2}) \\ = 3 (- 2 x) \sin (1 - x^{2}) = - 6 x \sin (1 - x^{2}) . \end{matrix}$ Vi finner nå alle verdier for $x$ som tilfredsstiller $f' (x) = 0$ . Hvis $\begin{matrix} f' (x) = - 6 x \sin (1 - x^{2}) = 0 \end{matrix}$ må enten $6 x = 0$ eller $\sin (1 - x^{2}) = 0$ . Det betyr at $x = 0$ eller

$1 - x^{2} = n π, n \in ℤ .$

Da er $\begin{matrix} x = \pm \sqrt{1 - n π} \end{matrix}$ og siden $x \in ⟨ - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} ⟩$ må $n = 0$ . Altså er $f' (x) = 0$ i punktene $x = - 1$ , $x = 0$ og $x = 1$ . Ved å velge tilfeldige punkter i de fire intervallene $⟨ - π / 2, - 1 ⟩$ , $⟨ - 1, 0 ⟩$ , $⟨ 0, 1 ⟩$ og $⟨ 1, π / 2 ⟩$ kan vi konstruere følgende fortegnslinje

som betyr at $f (x)$ har bunnpunkter i $x = - 1$ og $x = 1$ , og et toppunkt i $x = 0$ .

Svar: $f (x)$ har bunnpunkter i $x = - 1$ og $x = 1$ , og toppunkt i $x = 0$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Fortegnsskjema

Et fortegnsskjema er en grafisk framstilling av hvordan fortegnet til ulike faktorer i et uttrykk endrer seg med x.

fortegnslinje

Vendepunkt

Et vendepunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $x = a$ , der funksjonen bytter mellom å være konveks og konkav. I et vendepunkt skifter den annenderiverte $f'' (x)$ fortegn.

vendepunkt

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkt

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er mindre enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

bunnpunkt

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

Sinus

En trigonometrisk funksjon.
Sinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom lengden til motstående katet og hypotenus.

sinus

Intervall

Et intervall er det samme som et tallområde. Tallene 4, 5, 6 og 7 ligger i intervallet 4–7 (fire til sju).

Dersom vi ikke har sagt noe annet, lar vi øvre og nedre grense høre med til intervallet.

intervall

Punkt

I geometrien tegnes punkt som en prikk eller et kryss. Den knyttes til en fast posisjon og har ingen utstrekning. Et punkt har en stor bokstav som navn, for eksempel A eller B.

punkt

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Pi (π)

$π$ er forholdet mellom sirkelens omkrets og diameter. Dette forholdet er alltid konstant og tilnærmet lik 3,14.

For flere forklaringer og eksempler på funksjonsdrøfting, se artikkelen Fortegnslinja 1.

c)

Nedenfor er det tegnet tre grafer. Én av dem er grafen til $f$ . Avgjør hvilken.

Begrunn svaret.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi leter etter en graf med nullpunkter i $x = \pm 1$ , bunnpunkter i $x = \pm 1$ og toppunkt i $x = 0$ .

Den eneste grafen med nullpunkter i $x = \pm 1$ , bunnpunkter i $x = \pm 1$ og toppunkt i $x = 0$ er (1). Derfor må dette være grafen til $f$ .

Svar: Graf (1) er grafen til $f$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Graf

En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

graf

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkt

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkt

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er mindre enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

bunnpunkt

For flere forklaringer og eksempler på ekstremalpunkter, se artikkelen Topp- og bunnpunkter.

Oppgave 8 (4 poeng) Nettkode: E-4DRF

En trigonometrisk formel er gitt ved

$\cos (u + v) = \cos u \cdot \cos v - \sin u \cdot \sin v$

a)

Bruk formelen til å bestemme et uttrykk for $\cos (2 x)$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Uttrykket i likningen i oppgaveteksten gir en generell formel for cosinus til en sum av to vinkler $u$ og $v$ . Denne formelen holder også i spesialtilfellet der $u = v$ .

Siden likningen i opppgaveteksten holder for alle verdier av $u$ og $v$ , må den også holde for $x = u = v$ . Da sier formelen at $\begin{matrix} \cos (2 x) = \cos x \cos x - \sin x \sin x = \cos^{2} x - \sin^{2} x, \end{matrix}$ som betyr at vi har funnet et uttrykk for $\cos (2 x)$ .

Svar: $\begin{matrix} \cos (2 x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x . \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Sinus

sinus

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

For flere forklaringer og eksempler på trigonometriske funksjoner, se artikkelen Trigonometriske formler.

b)

Skriv uttrykket $\cos^{4} x - \sin^{4} x$ så enkelt som mulig.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi kan bruke konjugatsetningen til å faktorisere uttrykket. Forhåpentligvis kan vi bruke resultatet fra deloppgave a) og andre trigonometriske identiteter til å finne et forenklet uttrykk.

Ifølge konjugatsetningen er $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ . Hvis $a = \cos^{2} x$ og $b = \sin^{2} x$ er da $\begin{matrix} \cos^{4} x - \sin^{4} x = (\cos^{2} x + \sin^{2} x) (\cos^{2} x - \sin^{2} x) . \end{matrix}$ Ved å benytte den trigonometriske identiteten som sier at $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ for alle $x$ og resultatet fra deloppgave a), er $\begin{matrix} \cos^{4} x - \sin^{4} x = \cos (2 x) . \end{matrix}$

Svar: $\begin{matrix} \cos^{4} x - \sin^{4} x = \cos (2 x) \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Konjugatsetningen

Konjugatsetningen kalles også tredje kvadratsetning:

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

konjugatsetningen

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

Sinus

sinus

For flere forklaringer og eksempler på trigonometriske funksjoner, se artikkelen Sinus, cosinus og tangens.

Oppgave 9 (2 poeng) Nettkode: E-4DRI

Løs likningen

$\sin x + \cos x = 1, x \in [0, 2 π]$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Ved å bruke formelen $a \sin (c x) + b \cos (c x) = d \cos (c x + ϕ)$ kan vi skrive $\sin x + \cos x$ på formen $d \cos (x + ϕ)$ . Det gjør likningen mye lettere å løse.

Likningen blir mye lettere å løse dersom vi klarer å finne to konstanter $d$ og $ϕ$ slik at $\sin x + \cos x = d \cos (x + ϕ)$ . Her har vi to muligheter. Vi kan enten gjenkjenne definisjonen av skalarproduktet $\vec{a} \cdot \vec{b} = ∥ \vec{a} ∥ \cdot ∥ \vec{b} ∥ \cos θ$ fra omskrivningen $\sin x + \cos x = [1, 1] \cdot [\cos x, \sin x] = ∥ [1, 1] ∥ \cdot ∥ [\cos x, \sin x] ∥ \cos θ$ og se at siden $∥ [\cos x, \sin x] ∥ = 1$ må $d = ∥ [1, 1,] ∥ = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$ .

Vi husker at formelen $a \sin (c x) + b \cos (c x) = d \cos (c x + ϕ)$ alltid tilfredsstiller $d = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ . Det giri $d = \sqrt{2}$ . Vi har altså at $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \cos (x + ϕ)$ . Siden $ϕ$ er en konstant uavhengig av verdien av $x$ kan vi velge $x = 0$ og se at $\begin{matrix} \sin 0 + \cos 0 = \sqrt{2} \cos (0 + ϕ) \Leftrightarrow \cos ϕ = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow ϕ = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{π}{4}, \end{matrix}$

Hvis vi velger $ϕ$ i første omløp, gjenstår det å løse likningen $\begin{matrix} \sqrt{2} \cos (x + \frac{π}{4}) = 1, \end{matrix}$

$x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 π n og x + \frac{π}{4} = π - \frac{π}{4} + 2 π n for n \in ℤ$

som gir

$x = 2 π n og x = \frac{π}{2} + 2 π n for n \in ℤ$

Siden $x \in [0, 2 π]$ har likningen altså de tre løsningene $x = 0$ , $x = \frac{π}{2}$ og $x = 2 π$ . Dette kan vi skrive $\begin{matrix} x \in {0, \frac{π}{2}, 2 π} \end{matrix}$

Svar: $\begin{matrix} x \in {0, \frac{π}{2}, 2 π} \end{matrix}$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Sinus

sinus

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

For flere forklaringer og eksempler på trigonometriske funksjoner, se artikkelen Periodiske funksjoner.

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng) Nettkode: E-4DRK

Roger planlegger en sykkeltur. Han regner med å kunne starte med farten 26 km/h. Etter hvert vil farten avta etter formelen

$v (t) = 26 - 0, 08 \cdot s (t)$

- $v (t)$ og $s (t)$ er begge funksjoner som er avhengige av tiden $t$ målt i timer

- $v (t)$ er farten målt i kilometer per time

- $s (t)$ er den tilbakelagte veilengden målt i kilometer

a)

Bestem farten etter 125 km.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Etter $125$ km er $s (t) = 125$ . Dette kan vi bruke for å finne farten $v (t)$ på samme tidspunkt.

Etter $125$ km er $s (t) = 125$ og derfor $\begin{matrix} v (t) = 26 - 0, 08 s (t) = 26 - 0, 08 \cdot 125 = 16, \end{matrix}$ som betyr at Roger sykler med en fart på $16$ kilometer per time etter han har syklet $125$ kilometer.

Svar: Farten etter $125$ km er $16$ kilometer per time.

Mer om

Denne oppgaven er om

Differensiallikning

En likning hvor den ukjente er en funksjon og der den deriverte, funksjonens differensialkvotient, inngår.

Et eksempel er y'' - y = 0 eller $\frac{d^{2} f (x)}{d x^{2}} - f (x) = 0$

differensiallikning

For flere forklaringer og eksempler på funksjoner, se artikkelen En video om funksjoner.

b)

Formelen ovenfor kan vi skrive som differensiallikningen

$s' (t) = 26 - 0, 08 \cdot s (t)$

Bestem $s (t)$ når $s (0) = 0$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi kan finne $s (t)$ ved å løse likningen

$s' (t) = 26 - 0, 08 \cdot s (t)$

for $s (t)$ . I likningen inngår bare $s (t)$ og dens deriverte. Det betyr at likningen er en første ordens lineær differensiallikning.

Vi skal løse differensiallikningen

$s' (t) = 26 - 0, 08 s$

Først ordner vi likningen slik:

$s' + 0, 08 s = 26$

Likningen er lineær første ordens med integrerende faktor $e^{0, 08 t}$ . Vi multipliserer med integrerende faktor og får

$s' e^{0, 08 t} + 0, 08 e^{0, 08 t} s = 26 e^{0, 08 t}$

Venstresiden er $(s e^{0, 08 t})$ ′ så vi kan integrere begge sider og få

$s e^{0, 08 t} = \frac{26}{0, 08} e^{0, 08 t} + C$

Etter multiplikasjon med $e^{- 0, 08 t}$ får vi

$s = 325 + C e^{- 0, 08 t}$

Opplysningen $s (0) = 0$ gir

$s (0) = 325 + C e^{- 0, 08 \cdot 0} = 325 + C = 0$

Det følger at $C = - 325$ Løsningen på initialverdiproblemet er derfor

$\begin{matrix} s (t) = 325 - 325 e^{- 0, 08 t} . \end{matrix}$

Alternativ løsning (numerisk)

Dette kan gjøres i CAS ved å bruke kommandoen
s(t):=LøsODE[y’=26-0.08y,y,t,(0,0)]

Svar: $\begin{matrix} s (t) = 325 - 325 e^{- 0, 08 t} . \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Differensiallikning

En likning hvor den ukjente er en funksjon og der den deriverte, funksjonens differensialkvotient, inngår.

Et eksempel er y'' - y = 0 eller $\frac{d^{2} f (x)}{d x^{2}} - f (x) = 0$

differensiallikning

Integrasjon

Det motsatte av derivasjon. En grenseoperasjon på en funksjon som kan tolkes som arealet begrenset av grafen til funksjonen og x-aksen.

Se Integralregning

integrasjon

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

Eksempel: log₁₀(1000) = 3 ettersom 10³ = 1000.

logaritme

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

For flere forklaringer og eksempler på differensiallikninger, se artikkelen Separable differensiallikninger.

c)

Hvor langt sykler Roger den første timen? Hvor lang tid bruker han på 125 km?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Siden $t$ er målt i timer holder det å finne strekningen $s (1)$ etter én time. For å finne hvor lang tid han bruker på $125$ kilometer må vi løse $s (t) = 125$ for tiden $t$ .

Etter én time har Roger syklet en lengde gitt av $\begin{matrix} s (1) = 325 - 325 e^{- 0, 08} \approx 24, 99 . \end{matrix}$ Altså har Roger syklet omlag $24, 99$ kilometer i løpet av det første timen. For å finne tiden Roger bruker på å sykle $125$ kilometer må vi løse $\begin{matrix} 325 - 325 e^{- 0, 08 t} = 125 \Rightarrow e^{- 0.08 t} = \frac{200}{325} \Rightarrow t = - \frac{1}{0.08} \ln \frac{200}{325} \approx 6.07 \end{matrix}$ Altså tar det Roger litt over seks timer å sykle $125$ kilometer.

Alternativ løsning (numerisk)

Dette kan gjøres i CAS ved å bruke kommandoene
s(1)

og

NLøs[ s(t)=125 ]

Svar: Roger har syklet omlag $24, 99$ kilometer i løpet av det første timen. Etter rundt $6.07$ timer har Roger syklet $125$ kilometer.

Mer om

Denne oppgaven er om

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

Eksempel: log₁₀(1000) = 3 ettersom 10³ = 1000.

logaritme

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

For flere forklaringer og eksempler på likninger, se artikkelen Eksponentiallikninger.

Oppgave 2 (6 poeng) Nettkode: E-4DRO

Hjørnene i en pyramide $A B C P$ er $A (0, 0, 0)$ , $B (1, 0, - 1)$ , $C (1, 1, 0)$ og $P (t, 2 t + 1, t^{2} + 2), t \in ℝ$ .

a)

Bestem et uttrykk for volumet $V (t)$ av pyramiden.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Volumet av en pyramide med trekantet grunnflate, også kalt et tetraeder, som er utspent av vektorene $\vec{a}$ , $\vec{b}$ og $\vec{c}$ er gitt som $\frac{1}{6} |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ .

Først finner vi tre vektorer som utspenner pyramiden. Ved å ta utgangspunkt i $A$ ser vi at pyramiden utspennes av $\begin{matrix} \vec{A B} & = [1, 0, - 1] \\ \vec{A C} & = [1, 1, 0] \\ \vec{A P} & = [t, 2 t + 1, t^{2} + 2] . \end{matrix}$ Deretter beregner vi kryssproduktet $\vec{A B} \times \vec{A C}$ ved

$\vec{A B} \times \vec{A C} = |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}| = \vec{i} - \vec{j} + \vec{k} = [1, - 1, 1]$

Volumet blir altså

$V (t) = \frac{1}{6} |\vec{A P} \cdot (\vec{A B} \times \vec{A C})| = \frac{1}{6} |[t, 2 t + 1, t^{2} + 2] \cdot [1, - 1, 1]|$

$= \frac{1}{6} |t - 2 t - 1 + t^{2} + 2| = \frac{1}{6} |t^{2} - t + 1|$

og siden $t^{2} - t + 1$ alltid er positiv kan vi skrive $\begin{matrix} V (t) = \frac{1}{6} (t^{2} - t + 1) . \end{matrix}$

Svar: $\begin{matrix} V (t) = \frac{1}{6} (t^{2} - t + 1) . \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektor

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

Tetraeder

Et legeme som begrenses av fire kongruente, likesidede trekanter.

Se Platonske legemer

tetraeder

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volum

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Kryssprodukt - areal og volum.

b)

Bestem koordinatene til $P$ slik at $V (t) = \frac{7}{2}$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Ved å finne $t$ slik at $V (t) = \frac{7}{2}$ kan vi sette inn for $t$ i koordinatene til punktet $P$ .

At $V (t) = \frac{7}{2}$ betyr at $\begin{matrix} V (t) = \frac{1}{6} (t^{2} - t + 1) = \frac{7}{2} \Rightarrow t^{2} - t - 20 = 0 . \end{matrix}$ Ifølge annengradsformelen skjer dette når $\begin{matrix} t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 20}}{2} = \frac{1 \pm 9}{2} \in {- 4, 5} . \end{matrix}$ Altså er koordinatene til $P$ slik at $V (t) = \frac{7}{2}$ gitt av

$P (- 4, 2 (- 4) + 1, {(- 4)}^{2} + 2) = P (- 4, - 7, 18)$

eller

$P (5, 2 \cdot 5 + 1, 5^{2} + 2) = P (5, 11, 27) .$

Svar: $P (- 4, - 7, 18) eller P (5, 11, 27)$

Mer om

Denne oppgaven er om

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formel

Andregradslikning

En likning hvor x opptrer i andre potens. Vi kan alltid skrive en slik likning på formen:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Likningen kan løses ved hjelp av abc-formelen.

andregradslikning

For flere forklaringer og eksempler på andregradslikninger, se artikkelen abc-formelen.

c)

Bestem koordinatene til $P$ slik at volumet $V (t)$ blir minst mulig.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Siden $V (t)$ er gitt som en annengradsfunksjon der annengradsleddet har en positiv koeffisient finner vi $t$ slik at $V (t)$ er minimal ved å kreve at den deriverte, $V' (t)$ , er null.

Vi finner først $V' (t)$ på følgende måte $\begin{matrix} V' (t) = (\frac{1}{6} (t^{2} - t + 1))' = \frac{1}{6} (2 t - 1) . \end{matrix}$ Deretter krever vi $V' (t) = 0$ , som gir $\begin{matrix} V' (t) = \frac{1}{6} (2 t - 1) = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2} . \end{matrix}$ Til slutt bruker vi denne verdien, $t = \frac{1}{2}$ , til å finne koordinatene til punktet $P$ slik at volumet $V (t)$ blir minst mulig ved innsetting $\begin{matrix} P (\frac{1}{2}, 2 \frac{1}{2} + 1, {(\frac{1}{2})}^{2} + 2) = P (\frac{1}{2}, 2, \frac{9}{4}) . \end{matrix}$

Svar: Koordinatene til $P$ slik at volumet $V (t)$ blir minst mulig er $\begin{matrix} P (\frac{1}{2}, 2, \frac{9}{4}) . \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Andregradslikning

En likning hvor x opptrer i andre potens. Vi kan alltid skrive en slik likning på formen:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Likningen kan løses ved hjelp av abc-formelen.

annengradslikning

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volum

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er mindre enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

bunnpunkt

For flere forklaringer og eksempler på ekstremalpunkter, se artikkelen Topp- og bunnpunkter.

Oppgave 3 (6 poeng) Nettkode: E-4DRT

London Eye er et pariserhjul med diameter lik 135 m. En runde tar 30 min. Passasjerene går ombord i pariserhjulet fra en plattform som ligger 2 m over bakkenivå.

Etter $t$ min fra ombordstigning er en passasjer $h (t)$ m over bakkenivå. Det kan vises at

$h (t) = - 67, 5 \cos (\frac{π}{15} t) + 69, 5$

a)

Bruk graftegner til å tegne grafen til $h$ for $t \in [0, 30]$ . Bestem grafisk når passasjeren er 50 m over bakkenivå.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

At passasjeren er $50$ m over bakkenivå betyr at $h (t) = 50$ . Altså kan vi finne tidspunktene passasjeren er $50$ m over bakkenivå ved å finne skjæringspunktene mellom den horisontale linjen $g (t) = 50$ og $h (t)$ .

Vi bruker geoGebra med kommandoene
f(t) := -67.5\cos(\pi t/ 15) + 69.5
g(t) := Funksjon[50,0,30]
h(t) := Funksjon[f(t),0,3]
Skjæring[h, g, 0, 30]

Ifølge figuren skjærer grafen til $g (t) = 50$ grafen til $h (t)$ altså ved tidspunktene $t = 6, 1$ og $t = 23, 9$ . Passasjeren er med andre ord $50$ m over bekknivå etter $6, 1$ minutter og etter $23, 9$ minutter.

Svar:

Passasjeren er $50$ m over bekknivå etter $6, 1$ minutter og etter $23, 9$ minutter.

Mer om

Denne oppgaven er om

Graf

graf

Skjæringspunkt

Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.

skjæringspunkt

For flere forklaringer og eksempler på grafer, se artikkelen Grafen til en funksjon.

b)

Bestem vendepunktene på grafen til $h$ .

Forklar hvilken praktisk informasjon verdiene av $h' (7, 5)$ og $h' (22, 5)$ gir.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

En funksjon har vendepunkt der dens deriverte går fra å vokse til å avta eller omvendt. Med andre ord må vi finne nullpunktene til den andrederiverte, $h ″ (t)$ , av funksjonen $h (t)$ .

Først finner vi et uttrykk for den andrederiverte av høyden $h (t)$ . Den første deriverte er gitt av $\begin{matrix} h' (t) & = (- 67, 5 \cos (\frac{π}{15} t) + 69, 5)' = - 67, 5 (\cos (\frac{π}{15} t))' \\ = 67, 5 (\frac{π}{15} t)' \sin (\frac{π}{15} t) = 67, 5 \frac{π}{15} \sin (\frac{π}{15} t) = 4, 5 π \sin (\frac{π}{15} t), \end{matrix}$ ved å bruke kjerneregelen med kjernen $\frac{π}{15} t$ og at den deriverte av $\cos t$ er $- \sin t$ . Videre finner vi at den andrederiverte er gitt av

$h^{''} (t) = {(4, 5 π \sin (\frac{π}{15} t))}^{'} = 4, 5 π {(\frac{π}{15 t})}^{'} \cos (\frac{π}{15} t)$

$= 4, 5 π \frac{π}{15} \cos (\frac{π}{15} t) = 0, 3 π^{2} \cos (\frac{π}{15} t)$

ved å bruke kjerneregelen med kjernen $\frac{π}{15} t$ og at den deriverte av $\sin t$ er $\cos t$ . Vendepunktene er nøyaktig de verdiene for $t$ som tilfredsstiller likningen $h ″ (t) = 0$ . Altså

$0, 3 π^{2} \cos (\frac{π}{15} t) = 0 \Rightarrow \frac{π}{15} t = \frac{π}{2} + n π for n \in ℤ$

som har løsningene

$t = 7, 5 + 15 n for n \in ℤ$

I tidsintervallet $[0, 30]$ har pariserhjulet altså to vendepunkter, nemlig

$t = 7, 5 og t = 22, 5 .$

Siden $h$ er en harmonisk funksjon, vil $h ″$ være harmonisk med likevektslinje $y = 0$ . Det medfører at $h ″$ bytter fortegn i nullpunktene sine. Den momentane vekstfarten i disse punktene, $h' (7, 5)$ og $h' (22, 5)$ , beskriver henholdsvis den maksimale stigningen og den maksimale nedstigningen. Med andre ord vil verdien av $h' (7, 5)$ gi oss den største farten en passasjer vil bevege seg med oppover, mens $h' (22, 5)$ vil være den største farten en passasjer vil bevege seg med nedover.

Alternativ løsning

Siden $h (t)$ er en harmonisk svingning er vendepunktene til $h (t)$ nøyaktig skjæringspunktene med likevektslinjen. Siden $h (t)$ er gitt av en cosinusfunksjon uten faseledd, og svingningen har periode $30$ min må vendepunktene i intervallet $t \in [0, 30]$ være $t = \frac{1}{4} 30 = 7, 5$ og $t = \frac{3}{4} 30 = 22, 5$ .

Svar: Grafen til $h$ har vendepunkter ved tidspunktene $t = 7, 5 og t = 22, 5 .$ $h' (7, 5)$ og $h' (22, 5)$ er henholdsvis maksimal fart oppover og maksimal fart nedover.

Mer om

Denne oppgaven er om

Graf

graf

Intervall

Et intervall er det samme som et tallområde. Tallene 4, 5, 6 og 7 ligger i intervallet 4–7 (fire til sju).

Dersom vi ikke har sagt noe annet, lar vi øvre og nedre grense høre med til intervallet.

intervall

Vendepunkt

Et vendepunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $x = a$ , der funksjonen bytter mellom å være konveks og konkav. I et vendepunkt skifter den annenderiverte $f'' (x)$ fortegn.

vendepunkt

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

Sinus

sinus

For flere forklaringer og eksempler på vendepunkter, se artikkelen Vendepunkt og vendetangent.

Visste du at

Siden $h' (t)$ kan tolkes som passasjerens fart oppover kan vi tenke på $h ″ (t)$ som aksellerasjonen passasjeren vil oppleve oppover. De to vendepunktene er altså de eneste tidspunktene i løpet av turen der passasjeren ikke vil oppleve noen vertikal aksellerasjon.

Oppgave 4 (6 poeng) Nettkode: E-4DS9

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = x^{2} + a x + b, D_{f} = ℝ$

Tangentene i punktene $Q (s, f (s))$ og $R (t, f (t))$ skjærer hverandre i et punkt $P$ .

Se skisse 1.

a)

Vis at likningene for de to tangentene er

$g (x) = (a + 2 s) x + b - s^{2}$ og $h (x) = (a + 2 t) x + b - t^{2}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

En tangent til en funksjon $f (x)$ i punktet $(x_{0}, f (x_{0}))$ er $f^{'} (x)$ .

For å finne stigningstallet til tangentene til $f (x)$ i punktene $Q$ og $R$ må vi først komme frem til et uttrykk for $f' (x)$ . Siden den deriverte av en sum er summen av de deriverte har vi $\begin{matrix} f' (x) = (x^{2} + a x + b)' = 2 x + a . \end{matrix}$ Stigningstallet i $Q$ er altså $f' (s) = 2 s + a$ og stigningstallet i $R$ er $f' (t) = 2 t + a$ . Siden $g (x)$ er en rett linje kan den skrives på formen $g (x) = A x + B$ der $A$ er stigningstallet og $B$ er en konstant. Siden vi har funnet stigningstallet kan vi skrive $\begin{matrix} g (x) = (a + 2 s) x + B \end{matrix}$ og siden $g (x)$ må gå gjennom punktet $Q (s, f (s))$ må vi ha $\begin{matrix} g (s) = f (s) = (a + 2 s) s + B . \end{matrix}$ Ved å bruke uttrykket for $f (x)$ kan vi skrive dette som $\begin{matrix} s^{2} + a s + b = (a + 2 s) s + B, \end{matrix}$ som betyr at $B = b - s^{2}$ og derfor $\begin{matrix} g (x) = (a + 2 s) x + b - s^{2} . \end{matrix}$ For å finne $h (x)$ bruker vi samme fremgangsmåte. Siden $h (x)$ er en rett linje med stigningstall $a + 2 t$ kan vi skrive $h (x) = (a + 2 t) x + B$ der $B$ er en konstant vi kan bestemme ved å kreve at $\begin{matrix} f (t) = (a + 2 t) t + B, \end{matrix}$ siden $h (x)$ må gå gjennom punktet $R$ . Dette gir at $\begin{matrix} t^{2} + a t + b = (a + 2 t) t + B \Rightarrow B = b - t^{2}, \end{matrix}$ og derfor $\begin{matrix} h (x) = (a + 2 t) t + b - t^{2} . \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangent

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

Punkt

I geometrien tegnes punkt som en prikk eller et kryss. Den knyttes til en fast posisjon og har ingen utstrekning. Et punkt har en stor bokstav som navn, for eksempel A eller B.

punkt

Linje

En rett linje som vanligvis kalles linje, er en rett strek som har en posisjon og retning. En linje fortsetter uendelig i begge retninger.

linje

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær funksjon

For flere forklaringer og eksempler på tangenter, se artikkelen Ettpunktsformelen og likning for tangentlinjen.

b)

Bruk CAS til å vise at $x$ -koordinaten til punktet $P$ er gitt ved $x_{P} = \frac{s + t}{2}$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Punktet $P$ er skjæringspunktet mellom to tangenter for $f$ i punktene $R$ og $Q$ .

Først definerer vi funksjonen $f (x)$ med kommandoen
f(x):=x^2+a*x+b

Deretter definerer vi de to tangentene $g (x)$ og $h (x)$ ved hjelp av Tangent-funksjonen
g(x):=Tangent[s, f(x) ]
h(x):=Tangent[t, f(x) ]

Deretter finner vi skjæringspunktet mellom $g$ og $h$ ved å bruker Skjæring-funksjonen-funksjonen
L:=Skjæring[g, h]

og siden denne alltid gir en liste av skjæringspunkter bruker vi kommandoen
P:=Element[L, 1]

til å plukke ut det første, og eneste, elementet i listen og kaller dette for $P$ . $x$ -koordinaten til punktet $P$ finner vi ved å bruke funksjonen x(P)
x_P:=x(P)

Resultatet blir da $x_{p} = \frac{1}{2} (s + t)$ , som er det vi ønsket å vise.

Svar:

f(x):=x^2+a*x+b
g(x):=Tangent[s, f(x) ]
h(x):=Tangent[t, f(x) ]
L:=Skjæring[g, h]
P:=Element[L, 1]
x_P:=x(P)

Mer om

Denne oppgaven er om

Skjæringspunkt

skjæringspunkt

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangent

For flere forklaringer og eksempler på lineære likninger, se artikkelen Lineære likninger.

Visste du at

Vi kan tenkte på resultatet $\frac{1}{2} (s + t)$ som gjennomsnittet av $s$ og $t$ . Med andre ord vil to tangenter til $f$ alltid skjære hverandre nøyaktig midt mellom de to tangentpunktene $x = s$ og $x = t$ .

c)

Den vertikale linjen $x = x_{P}$ deler området mellom grafen og tangentene i to områder.

Se skisse 2.

Bruk CAS til å vise at arealene av de to områdene er like store for alle verdier av $a$ og $b$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Integralet av en funksjon er arealet under funksjonens graf. Hvis vi klarer å bruke integrasjon til å finne et uttrykk for de to arealene som funksjon av $s$ og $t$ holder det å vise at disse funksjonene er like.

Vi begynner med å gi de to arealene navn. Arealet mellom avgrenset av grafene $f$ og $g$ og punktene $x = s$ og $x = x_{P}$ kaller vi $A_{1}$ . Siden $f (x)$ er en parabel med positiv koeffisient foran $x^{2}$ er alltid $f (x) \geq g (x)$ . Vi kan altså finne ved å evaulere integralet $\begin{matrix} A_{1} = \int_{s}^{x_{P}} [f (x) - g (x)] d x . \end{matrix}$ I CAS kan vi beregne dette ved kommandoen
A_1:=IntegralMellom[f, g, s, x_P]

Helt tilsvarende kan vi definere det andre arealet ved $\begin{matrix} A_{2} = \int_{x_{P}}^{t} [f (x) - h (x)] d x, \end{matrix}$ som betyr at vi kan bruke kommandoen
A_2:=IntegralMellom[f, h, x_P, t]

for å finne et uttrykk for det andre arealet. For å undersøke om arealene er like, altså om $A_{1} = A_{2}$ , holder det å skrive
A_1==A_2

Ettersom resultatet da blir ”true” har vi løst oppgaven.

Svar:

A_1:=IntegralMellom[f, g, s, x_P]
A_2:=IntegralMellom[f, h, x_P, t]
A_1==A_2

Mer om

Denne oppgaven er om

Integrasjon

Det motsatte av derivasjon. En grenseoperasjon på en funksjon som kan tolkes som arealet begrenset av grafen til funksjonen og x-aksen.

Se Integralregning

integrasjon

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Graf

graf

For flere forklaringer og eksempler på integrasjon, se artikkelen Bestemte integraler.

REA3024 2015 Vår

Del 1

Del 2

Eksamensinformasjon

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng) Nettkode: E-4DNB

a)

Løsningsforslag a)

Sinus

Cosinus

Derivasjon

b)

Løsningsforslag b)

Sinus

Cosinus

Derivasjon

c)

Løsningsforslag c)

Eksponentialfunksjon

Logaritme

Derivasjon

Oppgave 2 (5 poeng) Nettkode: E-4DNF

a)

Løsningsforslag a)

Sum

Integrasjon

Polynom

Derivasjon

b)

Løsningsforslag b)

Integrasjon

Brøk

Polynom

Nevner

Tellestrek

c)

Løsningsforslag c)

Integrasjon

Derivasjon

Logaritme

Oppgave 3 (4 poeng) Nettkode: E-4DNJ

a)

Løsningsforslag a)

Integrasjon

Eksponentialfunksjon

Derivasjon

b)

Løsningsforslag b)

Differensiallikning

Eksponentialfunksjon

Logaritme

Integrasjon

Derivasjon

Oppgave 4 (3 poeng) Nettkode: E-4DNS

a)

Løsningsforslag a)

Uendelige rekker

Intervall

Union

Brøk

Konvergens

b)

Løsningsforslag b)

Konvergens

Uendelige rekker

Ligning

Oppgave 5 (6 poeng) Nettkode: E-4DO2

a)

Løsningsforslag a)

Vektor

Parallellogram

Areal

Trekant

b)

Løsningsforslag b)

Vektor

Plan

Normalvektor

Parallell

Ligning