Separable differensiallikninger
Separable differensiallikninger er likninger på formen hvor .
Funksjonen i likningen er en funksjon av variabelen , som igjen er en funksjon av variabelen . Da er en funksjon på formen . Dere kjenner kanskje igjen denne situasjonen fra Kjerneregelen, eller, med annen notasjon, for
Generell løsningsmetode
Vi kan skrive likningen som Vi integrerer begge sider og får Vi substituerer på venstresiden med at Da står vi igjen med likheten
Eksempel 1
Vi løser likningen
Med notasjonen ovenfor er og . Vi skriver om likningen og får Vi integrerer begge sider og substituerer på venstresiden slik at Vi får at (Her har vi lagt sammen de to integrasjonskonstantene.) Multiplikasjon med tre gir Tar vi tredjerøtter får vi at
Eksempel 2
En forbukerøkonom skriver en artikkel om hvordan prisen av smågodt varierer i løpet av et år. Hun merker at endringen i prisen kan tilnærmet beskrives med funksjonen hvor er prisen per hekto ved tid , og er tid i måneder. Her er i intervallet . Vi vet at prisen i begynnelsen av januar er tretten kroner, og vi ønsker å finne prisen ved begynnelsen av august.
Vi løser den separable differensiallikningen. Vi multipliserer med og integrerer begge sider: Vi løser begge integralene og får at Vi dividerer med seks for å få Prisen til godteriet kan ikke være negativ, så vi dropper absoluttverdien: Da får vi at hvor er konstanten . Vi vet at prisen i begynnelsen av januar er tretten kroner. Dermed er da og . Dermed er gitt ved For å finne prisen ved starten av august må vi finne :
Svar: Dermed er prisen omtrent 11 kroner i begynnelsen av august.
Eksempel 3
Finn den generelle løsningen av differensiallikningen
som tilfredsstiller initialbetingelsen
Løsning. Her gjenkjenner vi lett at likningen er separabel siden variablene allerede er separert på hver sin side av likhetstegnet. Som beskrevet over integrerer vi derfor begge sider, og bruker at . Da får vi:
(der ) | |||
Dette er den generelle løsningen. Det gjenstår å avgjøre om vi skal ha pluss eller minus foran rottegnet, og verdien av konstanten . Initialbetingelsen sier at når . Siden gir dette at
Vi ser at vi er nødt til å velge minustegnet, og sette .
Svar:
Eksempel 4
Vi skal nå se en likning hvor kunnskap om separable differensiallikninger kan være nyttig, en integrallikning: Denne likningen er mindre skummel enn den kanskje først ser ut: vi kan derivere begge sider: Vi må forstå hva som egentlig står på venstresiden: uttrykket er en funksjon som avhenger av variabelen . Anta at er en antiderivert av . Da er Om vi deriverer dette uttrykket med hensyn til , kommer konstanten til å gå bort. Da står vi igjen med da er en antiderivert av . Vi har vist at Denne likningen er separabel: vi multipliserer med og integrerer begge sider: Da har vi at og vi får løsningen Merk at likningen kommer med en initialverdi siden vi vet at integralet Dermed er , så og vi løser for . Da har vi funnet den entydige løsningen
Svar:
Del på Facebook
Lynkurs 11.-13.trinn
Differensiallikninger
Består av:
- Integrasjon, første eksempel
- Separable differensiallikninger
- Integrerende faktor
- Andre ordens differensiallikninger
- Udempet og dempet svinging
- Ingen løsninger