Geometriske rekker

Eksempel 1

$1+3+9+27+...$ er en geometrisk rekke, fordi tallfølgen $\left\{1,3,9,27,...\right\}$ er geometrisk med kvotient $k=3$. La oss finne $s_8$ til denne geometriske rekken.

I en geometrisk tallfølge er leddene på formen $a_n=k^{n-1}\cdot a_1$ og derfor er

$s_8=1+3\cdot 1+...+3^7\cdot 1.$

Om vi multipliserer med kvotienten $3$ får vi

${3s}_8=3+3^2\cdot 1+...+3^7\cdot 1.$

Rekkene ovenfor er svært like. Vi trekker den første fra den andre og får at

${3s}_8-s_8={2s}_8=3^8\cdot 1-1$

og divisjon med $2$ gir

$s_8=\frac{3^8-1}{2}=3280.$ 

Eksempel 2

En geometrisk tallfølge er gitt ved $a_3=5 \mathrm{og} k=\pi$. Finn formler for $a_n \mathrm{og} s_n.$

Vi anvender formelen for en geometrisk tallfølge og får at $a_3=5={\pi }^2{a}_1.$ Vi løser for $a_1$ og får at $a_1=5{\pi }^{-2}.$ Dermed er

$a_n=k^{n-1}{a}_1={\pi }^{n-1}5{\pi }^{-2}=5{\pi }^{n-3}.$

Vi er ikke avhengig av formelen for $a_n$ for å finne $s_n$, dette er simpelthen

$s_n=\frac{a_1\left(k^n-1\right)}{k-1}=\frac{5{\pi }^{-2}\left({\pi }^n-1\right)}{\pi -1}.$

 
Eksempel 3

Syttenårlingen Arne har fått $1500$ kroner i bursdagspenger, og sparer til førerkort som koster $20000$ kroner. Han får $100$ kroner i ukelønn, men ukelønnen hans øker med en faktor på $1,05$ for hver uke han hjelper til hjemme.

Hvis Arne for eksempel velger å vaske kun den første uken, så er ukelønnen $100$ kroner den første uken, og $105$ kroner resten av året. Arne vil ha førerkortet på attenårsdagen, men vil nødig gjøre mer arbeid enn nødvendig. Hvor mange ganger må han gjøre husarbeid for å ha råd til førerkortet?

Da Arne allerede har $1500$ kroner, trenger han å spare $18500$ kroner. Om han velger å ikke gjøre husarbeid i det hele tatt får han kun 52⋅100=5200 kroner. Merk at den beste taktikken her er å gjøre husarbeid så tidlig som mulig, fordi det gir flest uker med mer i ukelønn. Om Arne gjør husarbeid de $n$ første ukene blir den totale lønnen $L$ i løpet av året

$L=100+1,05\cdot 100+{1,05}^2\cdot 100+...+{1,05}^n\cdot 100+\left(52-\left(n-1\right)\right){1,05}^n\cdot 100$

Sjekk at formelen ovenfor gir mening: for hver uke han gjør husarbeid øker lønnen hans med en faktor på $1,05$. Han gjør dette i $n\le 52$ uker, slik at han i uke $n+1$ får ${1,05}^n\cdot 100$ kroner. Denne lønnen holder han på i resten av ukene, og det er $52-\left(n+1\right)$ uker igjen av året. Vi merker at rekken vår er en sum av to geometriske rekker, en med kvotient $k=1,05$ og $n+1$ ledd, og en med kvotient $k=1$ og  $52-\left(n+1\right)$ ledd. La oss kalle disse $s_{n+1} \mathrm{og} S_{52-\left(n+1\right)}$. Vi vet at

$s_{n+1}=\frac{100\left({1,05}^{n+1}-1\right)}{1,05-1}$

og at

$S_{52-\left(n+1\right)}=\left(52-\left(n+1\right)\right)\cdot \left(100\cdot {1,05}^n\right)$

Vi må løse

$s_{n+1}+S_{52-\left(n+1\right)}=18500$

Vi kan løse likningen for eksempel i GeoGebra, hvor vi finner at eneste positive løsningen under $52$ er $n\approx 31$. Dermed må Arne spare i minst 31 uker for at han skal få råd til førerkort.