Derivasjon av trigonometriske funksjoner

Merk at vi kan bruke dette til å utlede den deriverte til $\tan x$. Siden $$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$ kan vi bruke brøkregelen for derivasjon. Da vil $$\left(\tan x\right)\prime =\frac{\left(\sin x\right)\prime \cos x-\sin x\left(\cos x\right)\prime }{{\cos }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$ da ${\cos }^2+{\sin }^{2}x=1$ ved Pytagorassetningen. Alternativt kan vi la være å bruke Pytagoras og skrive ut brøken: $$\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}+\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x.$$

Eksempel 1

Vi deriverer funksjonen $f\left(x\right)=e^{3x}\cos 2x$. Vi bruker kjerneregelen på begge faktorene i tillegg til produktregelen:

$$f\prime \left(x\right)=3e^{3x}\cos 2x+e^{3x}\cdot (-2)\sin 2x$$

$$=3e^{3x}\cos 2x-2e^{3x}\sin 2x=e^{3x}(3\cos 2x-2\sin 2x).$$

Eksempel 2

En gruppe biologer måler fiskebestanden i et vann. Antall fisk etter $x$ uker kan modelleres med funksjonen $$f\left(x\right)=45+3x+20\cos \left(\frac{\pi }{4}x\right)$$ hvor $x$ er i det lukkede intervallet $[0,26]$. Vi vil finne ut når fiksebestanden synker mest. Vi deriverer først en gang: $$f\prime \left(x\right)=3-\frac{20\pi }{4}\sin \left(\frac{\pi }{4}x\right).$$ Vi trenger ikke å derivere en gang til. Uttrykk på denne formen kan vi finne topp- og bunnpunktene til uten videre derivasjon. Bunnpunktene til $f\prime \left(x\right)$ forekommer når $\sin \frac{\pi }{4}x=1$. Da er $\frac{\pi }{4}x=\pi$. I tillegg må vi ta med alle omløp: $$\frac{\pi }{4}x=\pi +2\pi n.$$ Vi multipliserer alt med $\frac{4}{\pi }$: $$x=4+8n.$$ Dette vil være bunnpunktene til funksjonen. Da vi ønsker $x$ i intervallet $[0,26]$ er $n=0,1$ eller $2$. Dermed synker fiskebestanden mest i uke 4, 12 og 20.