Uendelige rekker

Rekkene med endelig antall ledd gir oss én verdi. Partiellsummene i endelige rekker ser ut som  $s_n=a_1+...+a_n$. Dette er ikke tilfellet med uendelige rekker.

Eksempel 1

Rekken $\underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum 1}}$ divergerer, fordi $s_n=n$ og $\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n\to \infty .$

Eksempel 2

La oss se at rekken $\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=2.$

Denne rekken er geometrisk med kvotienten $k=\frac{1}{2}.$ Vi vet at

$s_n=\frac{a_1\left(k^n-1\right)}{k-1}=\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^n-1}{-\frac{1}{2}}.$

Når $n\to \infty$ går ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\to 0$ og vi har at $s=\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=\frac{-1}{-\frac{1}{2}}=2.$

Eksempel 3

En laksebestand har holdt seg stabil på 700 over flere år. Vi ønsker at bestanden skal øke til 1900 og stabilisere seg der. Dette gjøres ved å tilføer en viss mengde laks til elven hvert år. Om $L$ er antall laks i elven ved slutten av året, innfører vi $k\cdot L$ laks, hvor $0<k<1.$ Finn $k$.

Vi har en uendelig geometrisk rekke

$\sum _{n=1}^{\infty }700\cdot k^{n-1}.$ 

Vi trenger at

$s=\frac{700}{1-k}=1900$

og finner at $k\approx 0.63.$

Eksempel 4

Anta at en uendelig rekke er gitt ved

$\sum _{n=0}^{\infty }{3x}^n \mathrm{for} x \in \mathrm{ℝ}.$

Finn verdiene for $x$ slik at rekken konvergerer.

Vi merker at dette er en geometrisk rekke

$3\left(1+x+x^2+x^3+...\right)$

med kvotient $k=x.$ Dermed konvergerer rekken for $x\in \left(-1,1\right).$