Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Trigonometriske formler

Ut fra symmetrien til enhetssirkelen kan vi enkelt bevise en rekke nyttige trigonometriske formler.

 

MatRIC: Trigonometriske identiteter


Rettighetshaver: MatRIC ved Universitetet i Agder / MatRIC

Teorem 1. Trigonometriske formler

For alle vinkler u∈ℝ har vi:

1a.   cos⁡(2π+u)=cos⁡ u    1b.   sin⁡(2π+u)=sin⁡ u
2a.   cos⁡(2π−u)=cos⁡ u   2b.   sin⁡(2π−u)=−sin⁡ u
3a.   cos⁡(π+u)=−cos⁡ u   3b.   sin⁡(π+u)=−sin⁡ u
4a.   cos⁡(π−u)=−cos⁡ u   4b.   sin⁡(π−u)=sin⁡ u
5a.   cos⁡(−u)=cos⁡ u   5b.   sin⁡(−u)=−sin⁡ u
6a.   cos⁡(π2−u)=sin⁡ u   6b.   sin⁡(π2−u)=cos⁡ u

Bevis

Det er på ingen måte nødvendig å gå rundt å huske alle disse formlene. Med litt trening går det svært raskt å utlede dem, kanskje til og med i hodet, når du trenger dem. Som illustrasjon beviser vi et par av punktene her.

Teorem 1-1a og 1b:

Å addere 2π til en vinkel, er det samme som å gå en ekstra runde rundt enhetssirkelen. (Husk at 2π tilsvarer 360∘.) Derfor vil både cos⁡ u og sin⁡ u forbli uendret når man legger til 2π.

Teorem 1-4a:

På figuren under har vi tegnet inn vinklene u og π−u i en enhetssirkel. På grunn av symmetri, er trekantene △OPA og △OQB likeformede. Spesielt er |OA| = |OB|. Punktene A og B har altså lik absoluttverdi, men forskjellig fortegn, og vi får at

cos⁡(π−u)=B=−A=−cos⁡ u

En av de viktigste trigonometriske formlene er enhetsformelen. Den er en reddende engel i mange oppgaver, så sørg for å bli god venn med denne:

Teorem 2. Enhetsformelen

For alle u∈ℝ gjelder relasjonen cos⁡2u+sin⁡2u=1.

Bevis

Dette er en pen anvendelse av Pythagoras: På figur 12 kan linjestykket OP betraktes som hypotenusen i en rettvinklet trekant der lengdene av katetene er cos⁡ u og sin⁡ u. Fordi OP er en radius i sirkelen, og dermed har lengde 1, gir Pythagoras at

cos⁡2u+sin⁡2u=OP2=1.


Formlene i Teorem 3 får man også bruk for rett som det er. Det kan være lurt å kunne dem utenat, i særdeleshet formlene for sin⁡ 2u og cos⁡ 2u .

Teorem 3.

Formlene for sin⁡ (u±v) og cos⁡ (u±v).

  •  sin⁡(u±v)=sin⁡ u⁢  cos⁡ v⁢ ±cos⁡ u⁢  sin⁡ v 
  •  cos⁡ (u+v)=cos⁡ u⁢ ⁢ cos⁡ v⁢ −sin⁡ u⁢  sin⁡ v
  • cosu-v=cos ucosv+sinusinv

Spesielt får vi for u=v:

  •  sin⁡2u=2sin⁡ u⁢ cos⁡ u 
  •  cos⁡ 2u⁢= cos⁡2u−sin⁡2u=2cos⁡2u−1=1−2sin⁡2u 

 

MatRIC: Utledning av summeformler


Rettighetshaver: MatRIC ved Universitetet i Agder / MatRIC

 

 

Del på Facebook

Del på Facebook

Hopp over bunnteksten