Trigonometriske likninger

I denne seksjonen skal vi se på trigonometriske likninger, altså likninger som involverer

. Fra nå av kommer vi til å bruke , og det er en fordel å være komfortabel med dette før du leser videre. Ta gjerne en titt på lynkurset Radianer.

 

Eksempel 1

Vi løser likingen $2\sin x+2=1$. Om vi trekker fra $2$ og dividerer med $2$, får vi $\sin x=-\frac{1}{2}$. Taster vi inn ${\sin }^{-1}(-\frac{1}{2})$ på kalkulatoren, får vi $x=-\frac{\pi }{6}$. Speiler vi denne vinkelen om $y$-aksen, får vi $x=-\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{5\pi }{6}$. I tillegg vil alle omløp av disse vinklene være løsninger, så den generelle løsningen er $$x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{ og }x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi n$$ for alle heltall $n$. Det er vanlig å skrive løsningen slik at de første tallene er i intervallet $[0,2\pi ]$ (første omløp): $$x=\frac{11\pi }{6}+2\pi n\text{ og }x=\frac{7\pi }{6}+2\pi n.$$

 

Eksempel 2

Vi løser likningen $\sqrt{2}\cos x+1=0$. Da er $\cos x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$, og taster vi inn på kalkulatoren ${\cos }^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$, får vi løsningen $x=\frac{3\pi }{4}$. Speilingen om $x$-aksen har samme cosinusverdi, så $2\pi -\frac{3\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$ er også en løsning. I tillegg kommer alle omløp av disse til å være løsninger, så den generelle løsningen er $$x=\frac{3\pi }{4}+2\pi n\text{ og }x=\frac{5\pi }{4}+2\pi n$$ for alle heltall $n$.

 

Eksempel 3

Vi løser likningen $$2\tan x=1.$$ Da er $\tan x=\frac{1}{2}$, så vi får løsningen $x\approx 0,46$. Husk at $$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.$$ Om vi roterer vinkelen ${180}^{\circ }$, altså $\pi$ radianer, vil forholdet mellom første og andre-koordinatet på enhetssirkelen forbli det samme. Dermed er $$\tan x=\tan (x+\pi n)$$ for alle heltall $n$ og den generelle løsningen er $$x=0,46+\pi n$$ for alle heltall $n$.

 

Eksempel 4

Vi løser likningen $${\cos }^2\left(x\right)-\frac{7}{3}\cos x+\frac{2}{3}=0.$$ Setter vi $u=\cos x$, får andregradslikningen $$u^2-\frac{7}{3}u+\frac{2}{3}=0.$$ Denne har løsninger $u=2$ og $u=\frac{1}{3}$ slik at $\cos x=\frac{1}{3}\text{ eller }\cos x=2.$ Vi vet at cosinus kun gir verdier i det lukkede intervallet $[-1,1]$, så vi kan ignorere den andre løsningen. Da står vi igjen med $\cos x=\frac{1}{3}$. Bruker vi ${\cos }^{-1}$ på kalkulatoren, får vi $x\approx 1,23.$ Speiling om $x$-aksen gir løsningen $x=2\pi -1,23\approx 5,05$. I tillegg vil alle omløp av disse være løsninger. Da får vi den generelle løsningen $$x=1,23+2\pi n\text{ og }x=5,05+2\pi n.$$

 

Eksempel 5

Et bioteknologisk selskap skal gå til innkjøp av nytt utstyr. Fordi prisen på utstyret varierer svært mye med tiden, setter de opp en modell med at prisen på utstyret etter $t$ år kommer til å være $$p\left(t\right)=3\cos t+4$$ hvor $p$ er pris i millioner. Selskapet vil kjøpe utstyret så billig og så fort som mulig. Når skal de gå til utstyrsinnkjøp?

Vi vet at den minste verdien til $\cos t$ er $-1$. Dermed er den minste verdien til $3\cos t$ lik $-3$. Den laveste prisen til produktet er derfor en million ($3\cos t+4$ ikke kan bli mindre enn $1$). For å finne ut når denne prisen inntreffer, må vi løse likningen $$3\cos t+4=1$$ for tiden $t$.

Vi skriver dette om til $\cos t=-1$, som gir løsningen $$t=\pi +2\pi n$$ for alle heltall $n$. Den minste positive verdien for $t$ får vi ved å se på $n=0$, altså når $t=\pi \approx 3,14$.

Svaret er at ifølge deres modell tar det litt over 3 år før selskapet bør gå til innkjøp av utstyret.