Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

REA3024 2014 Høst

Del 1
Del 2
Eksamensinformasjon

Eksamenstid:
5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:
Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Du skal svare på alle oppgavene i Del 1 og Del 2.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

viser regneferdigheter og matematisk forståelse
gjennomfører logiske resonnementer
ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
vurderer om svar er rimelige
forklarer framgangsmåter og begrunner svar
skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger

Andre opplysninger:
Kilder for bilder, tegninger osv.:

Alle grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (3 poeng) Nettkode: E-4DEQ

Deriver funksjonene

a)

$f (x) = 2 \cos (3 x)$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Funksjonen er en konstant multiplisert med en cosinus funksjon med en kjerne $3 x$ . Det kan derfor være lurt å benytte kjerneregelen for derivasjon.

Siden den deriverte av en konstant er lik $0$ kan vi skrive $\begin{matrix} f' (x) = (2 \cos (3 x))' = 2 (\cos (3 x))' . \end{matrix}$ Videre kan vi bruke kjerneregelen for derivasjon, som sier at den deriverte av en sammensatt funksjon $f (u (x))$ er $u' (x) f' (u (x))$ . Ved å sette $u (x) = 3 x$ får vi altså $\begin{matrix} f' (x) = 2 (\cos (3 x))' = 2 (3 x)' (- \sin 3 x), \end{matrix}$ siden $(\cos x)' = - \sin x$ og siden $(3 x)' = 3$ får vi $\begin{matrix} f' (x) = 2 \cdot 3 \cdot (- \sin u) = - 6 \sin (3 x) . \end{matrix}$

Svar: $\begin{matrix} f' (x) = - 6 \sin (3 x) \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

Sinus

Forholdet mellom lengdene til motstående katet og hypotenus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant.

$\sin (A) = \sin (u) = \frac{{motstående}_{katet}}{hypotenus} = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}$

sinus

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

For flere forklaringer og eksempler på derivasjon, se artikkelen Kjerneregelen.

Visste du at

En annen måte å skrive den deriverte av $f (x)$ med hensyn på $x$ er ved å skrive $\frac{d f}{d x}$ . Denne måten å skrive $f' (x)$ kan virke krunglete, men gir faktisk mye mer mening. Hvis $f (x)$ hadde vært en rett linje ville stigningstallet vært $\frac{Δ f}{Δ x}$ – endring i $f$ per endring i $x$ . Vi kan tenke på $\frac{d f}{d x}$ som en uendelig liten endring i $f$ per uendelig liten endring i $x$ . I stedet for å skrive kjerneregelen $(f (u (x)))' = u' (x) f' (u)$ kan vi med denne notasjonen skrive kjerneregelen $\frac{d f}{d x} = \frac{d f}{d u} \frac{d u}{d x}$ . Dette likner mer på en velkjent brøkregel, $\frac{a}{b} = \frac{a c}{b c}$ , enn en mystisk derivasjonsregel.

b)

$g (x) = 5 e^{x} \cdot \sin (2 x)$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Funksjonen er et produkt av to forskjellige funksjoner, $5 e^{x}$ og $\sin (2 x)$ , som ser greie ut å derivere hver for seg. Av den grunn bør vi benytte produktregelen for derivasjon.

Produktregelen konstanterer at hvis $u (x)$ og $v (x)$ er to funksjoner, må $(u v)' = u' v + u v'$ . Hvis vi setter $u (x) = 5 e^{x}$ og $v (x) = \sin (2 x)$ ser vi at $\begin{matrix} g' (x) = (u v)' = u' (x) v (x) + u (x) v' (x) . \end{matrix}$ Videre finner vi $u' (x)$ ved å derivere $5 e^{x}$ . Siden konstanter alltid kan tas utenfor derivasjonen og $e^{x}$ er sin egen deriverte må $\begin{matrix} u' (x) = 5 e^{x} . \end{matrix}$ Videre finner vi $v' (x)$ ved å derivere $\sin (2 x)$ . Kjerneregelen for derivasjon sier at hvis vi setter $k = 2 x$ er $\begin{matrix} (\sin 2 x)' = (2 x)' \cos (2 x) = 2 \cos 2 x . \end{matrix}$ Altså $\begin{matrix} v' (x) = (\sin 2 x)' = 2 \cos 2 x . \end{matrix}$ Den deriverte av $g (x)$ blir altså $\begin{matrix} g' (x) & = u' (x) v (x) + u (x) v' (x) = (5 e^{x}) (\sin 2 x) + (5 e^{x}) (2 \cos 2 x) \\ = 5 e^{x} \sin 2 x + 10 e^{x} \cos 2 x = 5 e^{x} (\sin 2 x + 2 \cos 2 x) . \end{matrix}$

Svar: $\begin{matrix} g' (x) = 5 e^{x} (\sin (2 x) + 2 \cos (2 x)) \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

Sinus

En trigonometrisk funksjon.
Sinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom lengden til motstående katet og hypotenus.

sinus

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

For flere forklaringer og eksempler på derivasjon, se artikkelen Å derivere sammensatte uttrykk.

Visste du at

Ved å studere uttrykket for $g' (x)$ kan vi gjenkjenne $g (x)$ . Vi kan nemlig skrive $g' (x) = 5 e^{x} \sin 2 x + 10 e^{x} \cos 2 x$ og siden $g (x) = 5 e^{x} \sin 2 x$ er $g' (x) = g (x) + 10 e^{x} \cos 2 x$ . Dette er en første ordens inhomogen differensiallikning. I stedet for å løse en differensiallikning har vi altså brukt en funksjon og dens deriverte til å lage en differensiallikning som løses av funksjonen.

Oppgave 2 (3 poeng) Nettkode: E-4DET

Bestem integralene

a)

$\int_{}^{} (x^{3} - 2 x) d x$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Inne i integraltegnet er det et polynom. Siden et integral av en sum er en sum av integraler kan vi integrere hvert ledd i polynomet enkeltvis.

Siden et integral av en sum er en sum av integraler kan vi skrive $\begin{matrix} \int (x^{3} - 2 x) d x = \int x^{3} d x + \int (- 2 x) d x \end{matrix}$ og siden $\int C f (x) d x = C \int f (x) d x$ for alle konstanter $C$ og integrerbare funksjoner $f (x)$ kan vi skrive $\begin{matrix} \int x^{3} d x + \int (- 2 x) d x = \int x^{3} d x - 2 \int x d x . \end{matrix}$ Videre vet vi at integralet av en funksjon $x^{n}$ er $\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$ siden den deriverte av $\frac{1}{n + 1} x^{n + 1}$ er $x^{n}$ . Altså har vi at

$\begin{matrix} \int x^{3} d x - 2 \int x d x = \frac{1}{4} x^{4} + C_{1} - 2 \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} = \frac{1}{4} x^{4} - x^{2} + C der {C = C}_{1} + C_{2} \end{matrix}$

Svar: $\begin{matrix} \int (x^{3} - 2 x) d x = \frac{1}{4} x^{4} - x^{2} + C \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Integrasjon

Det motsatte av derivasjon. En grenseoperasjon på en funksjon som kan tolkes som arealet begrenset av grafen til funksjonen og x-aksen.

Se Integralregning

integrasjon

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

For flere forklaringer og eksempler på integrasjon, se artikkelen Ubestemte integraler.

Visste du at

At den generelle konstanten, ofte kalt integrasjonskonstanten, må legges til kan forstås ved å se på et eksempel fra fysikken. Siden farten til et objekt er objektets endring i posisjon per tid må fart være den deriverte av objektets posisjon. Dette betyr at integralet av objektets fart må være posisjonen til objektet. Men det holder selvfølgelig ikke å vite hvor fort noe beveger seg hvis du ønsker å finne ut hvor objektet befinner seg. Du må også vite hvor objektet var, eller kommer til å være, på ett bestemt tidspunkt. Det er integrasjonskonstanten som tar høyde for dette problemet.

b)

$\int_{1}^{e} x \cdot \ln x d x$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

For å finne integralet av $x \ln x$ fra $1$ til $e$ bør vi velge en integrasjonsmetode der vi unngår å integrere $\ln x$ . Siden $\ln x$ er mye lettere å derivere enn den er å integrere kan det være lurt å prøve delvis integrasjon.

Delvis integrasjon sier at hvis $u (x)$ og $v (x)$ er to funksjoner, så er $\int u' v d x = u v - \int u v' d x$ .

Ved å sette $u' (x) = x$ og $v (x) = \ln x$ får vi $u (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ og $v' (x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$ . Altså har vi at

$\begin{matrix} \int_{1}^{e} x \ln x d x & = \int_{1}^{e} u' (x) v (x) d x = {[u (x) v (x)]}_{1}^{e} - \int_{1}^{e} u (x) v' (x) d x \\ = {[\frac{1}{2} x^{2} \ln x]}_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x = {[\frac{1}{2} x^{2} \ln x]}_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2} x d x = {[\frac{1}{2} x^{2} \ln x]}_{1}^{e} - {[\frac{1}{4} x^{2}]}_{1}^{e} . \end{matrix}$ Alt som gjenstår nå er å evaluere grensene $\begin{matrix} {[\frac{1}{2} x^{2} \ln x]}_{1}^{e} - {[\frac{1}{4} x^{2}]}_{1}^{e} & = (\frac{1}{2} e^{2} \ln e - \frac{1}{2} 1^{2} \ln 1) - (\frac{1}{4} e^{2} - \frac{1}{4} 1^{2}) \\ = (\frac{1}{2} e^{2} \cdot 1 - 0) - (\frac{1}{4} e^{2} - \frac{1}{4}) \\ = \frac{1}{4} e^{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} (e^{2} + 1) . \end{matrix}$ Vi har altså funnet at

$\begin{matrix} \int_{1}^{e} x \cdot \ln x d x = \frac{1}{4} (e^{2} + 1) . \end{matrix}$

Svar: $\begin{matrix} \int_{1}^{e} x \cdot \ln x d x = \frac{1}{4} (e^{2} + 1) \end{matrix}$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Integrasjon

Det motsatte av derivasjon. En grenseoperasjon på en funksjon som kan tolkes som arealet begrenset av grafen til funksjonen og x-aksen.

Se Integralregning

integrasjon

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

Eksempel: log₁₀(1000) = 3 ettersom 10³ = 1000.

logaritme

For flere forklaringer og eksempler på derivasjon, se artikkelen Delvis integrasjon.

Visste du at:

Selv om det ikke er en veldig annerkjent metode kan det ofte være vel så lett å løse et integral ved bare å gjette på ulike løsninger. For å finne integralet av $x \ln x$ kunne for eksempel den første gjetningen vært $x^{2} \ln x$ . Siden $(x^{2} \ln x)' = 2 x \ln x + x$ ser vi at ved å halvere begge sider får vi $(\frac{1}{2} x^{2} \ln x)' = x \ln x + \frac{1}{2} x$ . Dette er nesten riktig, vi har bare fått $\frac{1}{2} x$ for mye! Siden den deriverte av $\frac{1}{4} x^{2}$ er $\frac{1}{2} x$ kan vi imidlertid bare trekke $\frac{1}{4} x^{2}$ fra funksjonen vår. Da sitter vi igjen med $\frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2}$ , som er riktig ettersom $(\frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2})' = x \ln x$ . Ved å legge til en integrasjonskonstant $C$ har vi altså vist at

$\int x \ln x d x = \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C$

bare ved å gjette.

Oppgave 3 (4 poeng) Nettkode: E-4DEW

a)

Løs differensiallikningen

$y' - 2 y = 3$ når $y (0) = \frac{5}{2}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Utenom konstantledd inngår bare $y$ og dens førstederiverte, $y'$ i likningen

$y' - 2 y = 3 når y (0) = \frac{5}{2}$ .

Vi må altså løse en lineær differensiallikning av første orden.

Vi kan løse differensiallikningen ved å benytte et lurt triks kjent som ”integrerende faktor”. Idéen er å multiplisere begge sider av likningen med en funksjon slik at vi kan kjenne igjen produktregelen for derivasjon. Hvis

$f (x)$ er en deriverbar funksjon kan vi skrive $\begin{matrix} (f (x) y)' = f (x) y' + f' (x) y, \end{matrix}$ og ved å kreve at dette skal være lik venstresiden i differensiallikningen multiplisert med $f (x)$ får vi

$\begin{matrix} f (x) y' + f' (x) y = f (x) y' - 2 f (x) y, \end{matrix}$

som betyr at vi må ha $f' (x) = - 2 f (x)$ . En funksjon som tilfredsstiller dette er $f (x) = e^{- 2 x}$ . Ved å multiplisere begge sider av differensiallikningen med $e^{- 2 x}$ kan vi altså skrive $\begin{matrix} (e^{- 2 x} y)' = e^{- 2 x} y' - 2 e^{- 2 x} y = 3 e^{- 2 x} . \end{matrix}$ Hvis vi nå integrerer begge sider av likningen med hensyn på $x$ finner vi at $\begin{matrix} \int (e^{- 2 x} y)' d x = e^{- 2 x} y (x) + C_{1} \end{matrix}$ for en konstant $C_{1}$ og $\begin{matrix} \int 3 e^{- 2 x} d x = - \frac{3}{2} e^{- 2 x} + C_{2} \end{matrix}$ for en konstant $C_{2}$ . Ved å kombinere de to konstantene til en felles konstant $C = C_{2} - C_{1}$ kan vi altså skrive løsningen av differensiallikningen som $\begin{matrix} e^{- 2 x} y (x) = C - \frac{3}{2} e^{- 2 x} . \end{matrix}$ Ved å multiplisere begge sider av likningen med $e^{2 x}$ følger det at $\begin{matrix} y (x) = C e^{2 x} - \frac{3}{2}, \end{matrix}$ og siden $y (0) = \frac{5}{2}$ må

$y (0) = C e^{0} - \frac{3}{2} = C - \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow C = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 4$

Den spesielle løsningen av differensiallikningen er altså $\begin{matrix} y (x) = 4 e^{2 x} - \frac{3}{2} . \end{matrix}$

Svar: $\begin{matrix} y (x) = 4 e^{2 x} - \frac{3}{2} \end{matrix}$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Integrasjon

Det motsatte av derivasjon. En grenseoperasjon på en funksjon som kan tolkes som arealet begrenset av grafen til funksjonen og x-aksen.

Se Integralregning

integrasjon

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

Eksempel: log₁₀(1000) = 3 ettersom 10³ = 1000.

logaritme

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

Differensiallikning

En likning hvor den ukjente er en funksjon og der den deriverte, funksjonens differensialkvotient, inngår.

Et eksempel er y'' - y = 0 eller $\frac{d^{2} f (x)}{d x^{2}} - f (x) = 0$

differensiallikning

For flere forklaringer og eksempler på integrasjon, se artikkelen Integrerende faktor.

Visste du at

At $y (x) = 4 e^{2 x} - \frac{3}{2}$ løsningen til differensiallikningen $y' - 2 y = 3 når y (0) = \frac{5}{2}$ betyr ikke noe annet enn at $y (x)$ er den funksjonen som når den deriveres blir $3 + 2 y (x)$ og som i tillegg går gjennom punktet $(0, \frac{5}{2})$ . Det siste kravet er bare en annen måte å formulere kravet $y (0) = \frac{5}{2}$ på.

b)

Bestem likningen til tangenten i punktet $(0, \frac{5}{2})$ på grafen til $y$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

For å skrive likningen til tangenten i et punkt må vi både ha et stigningstall og et konstantledd for linjen. Stigningstallet får vi fra den deriverte, mens konstantleddet får vi fra hvor linjen skjærer $y$ -aksen.

Siden tangenten på grafen til funksjonen $y (x)$ fra oppgave $a)$ i punktet $(0, \frac{5}{2})$ er en rett linje kan den skrives som en lineær funksjon $t (x) = A x + B$ , der $A$ er stigningstallet og $B$ er konstantleddet til linjen. Siden $t (x)$ per definisjon deler stigningstall med $y$ i punktet $(0, \frac{5}{2})$ må $A = y' (0)$ . Selv om det er helt uproblematisk å derivere $y (x)$ for deretter å sette inn punktet $x = 0$ , er det enda lettere å huske at $y (x)$ tilfredsstiller likningen i 3a. Altså er $\begin{matrix} A = y' (0) = 3 + 2 y (0) = 3 + 2 \frac{5}{2} = 8 . \end{matrix}$ Konstantleddet, $B$ , finner vi ved å se hvor $t (x)$ skjærer $y$ -aksen. Vi vet imidlertid at $t$ går gjennom punktet $(0, \frac{5}{2})$ , som ligger på $y$ -aksen. Altså må konstantleddet være gitt som $y$ -koordinaten $B = \frac{5}{2}$ . Dette betyr at tangenten er gitt av funksjonsuttrykket $\begin{matrix} t (x) = 8 x + \frac{5}{2} . \end{matrix}$

Svar: $\begin{matrix} t (x) = 8 x + \frac{5}{2} \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangent

Graf

En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

graf

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær funksjon

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

For flere forklaringer og eksempler på tangenter, se artikkelen Ettpunktsformelen og likning for tangentlinjen.

Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4DEZ

Punktene $A (0, 6, 6)$ , $B (0, 0, 7)$ og $C (6, 0, 5)$ ligger i planet $α$ .

a)

Bestem likningen til $α$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

For å beskrive planet $α$ holder det å finne en vektor som står normalt på planet og et punkt i planet. For å finne normalvektoren kan vi beregne kryssproduktet mellom to vektorer i planet.

Vi begynner med å finne to vektorer mellom punkter i planet. Et naturlig valg er da vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ gitt ved

$\begin{matrix} \vec{A B} & = \vec{O B} - \vec{O A} = [0, - 6, 7 - 6] = [0, - 6, 1] \\ \vec{A C} & = \vec{O C} - \vec{O A} = [6, - 6, 5 - 6] = [6, - 6, - 1] . \end{matrix}$

Deretter beregner vi kryssproduktet $\vec{A B} \times \vec{A C}$

$\vec{A B} \times \vec{A C} = |\begin{matrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & - 6 & 1 \\ 6 & - 6 & - 1 \end{matrix}| = |\begin{matrix} - 6 & 1 \\ - 6 & - 1 \end{matrix}| \vec{e_{x}} - |\begin{matrix} 0 & 1 \\ 6 & - 1 \end{matrix}| \vec{e_{y}} + |\begin{matrix} 0 & - 6 \\ 6 & - 6 \end{matrix}| \vec{e_{z}}$

$= (6 + 6) \vec{e_{x}} + 6 \vec{e_{y}} + 36 \vec{e_{z}} = [12, 6, 36] .$

Det eneste viktige med denne vektoren er retningen. Det betyr at vi kan dividere vektorens lengde med $6$ og heller velge $\begin{matrix} \vec{n} = [2, 1, 6] \end{matrix}$ som normalvektor for planet. Alle vektorer $\vec{r} = [x, y, z]$ mellom punkter i planet må altså tilfredsstille

$\begin{matrix} \vec{n} \cdot \vec{r} = 2 x + y + 6 z = 0 . \end{matrix}$

Likningen for planet $α$ er imidlertid en likning for alle punkter $(x, y, z)$ – ikke alle vektorer! Dette kan vi ta høyde for ved å kreve at

$\begin{matrix} \vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{O P}) = 2 x + y + 6 z - 2 x_{P} - y_{P} - 6 z_{P} = 0, \end{matrix}$

der $P (x_{P}, y_{P}, z_{P})$ er et eller annet punkt i planet $α$ . Ved å velge $P = A$ får vi at $\begin{matrix} 2 x + y + 6 z - 6 - 6 \cdot 6 = 2 x + y + 6 z - 42 = 0 \end{matrix}$ er likningen for planet $α$ .

Alternativ løsning

Ved å huske at formelen til et plan som inneholder punktet $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ og har normalvektor $[a, b, c]$ kan skrives $\begin{matrix} [a, b, c] \cdot [x - x_{0}, y - y_{0}, z - z_{0}] = a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0 \end{matrix}$ holder det å bemerke at $\vec{n} = [2, 1, 6]$ står normalt på planet $α$ siden $\vec{A B} \times \vec{A C} = 6 [2, 1, 6]$ og at punktet $A (0, 6, 6)$ ligger i $α$ . Da får vi $\begin{matrix} a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) \\ = 2 (x - 0) + 1 (y - 6) + 6 (z - 6) \\ = 2 x + y + 6 z - 42 = 0, \end{matrix}$ som er likningen til planet $α$ .

Svar: $\begin{matrix} 2 x + y + 6 z - 42 = 0 \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Plan

Et plan har uendelig utstrekning i to dimensjoner. Vi kan tenke på ei slett, uendelig tynn papirflate.

plan

Normalvektor

En normalvektor $\vec{n}$ for et plan står vinkelrett på alle linjer i planet.

normalvektor

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Likning til et plan.

b)

Et punkt $P$ ligger på linjen gjennom punktene $O (0, 0, 0)$ og $A (0, 6, 6)$ .

Bestem mulige koordinater til $P$ slik at volumet av tetraederet $A B C P$ blir $42$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Dersom vi først klarer å bestemme volumet av tetraederet $A B C P$ som funksjon av koordinatene til $P$ vil vi kunne bruke kravet om at volumet er $42$ til å bestemme $P$ .

At punktet $P$ ligger mellom $O$ og $A$ betyr at vi kan uttrykke det ved $\vec{O P} = t \vec{O A}$ der $t \in ℝ$ . Volumet av et tetraeder utspent av tre vektorer $\vec{a}, \vec{b} og \vec{c}$ er nøyaktig en sjettedel av volumet til parallellepipedet utspent av de samme vektorene. Siden volumet av parallellpipedet utspent av $\vec{a}, \vec{b} og \vec{c}$ er $| (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} |$ er altså volumet av tetraederet utspent av $\vec{A B}, \vec{A C}$ og $\vec{A P}$ gitt av

$V = \frac{1}{6} |(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A P}|$

Vektorene $\vec{A B}, \vec{A C}$ og $\vec{A P}$ kan vi uttrykke $\begin{matrix} \vec{A B} & = \vec{O B} - \vec{O A} = [0, 0, 7] - [0, 6, 6] = [0, - 6, 1] \\ \vec{A C} & = \vec{O C} - \vec{O A} = [6, 0, 5] - [0, 6, 6] = [6, - 6, - 1] \\ \vec{A P} & = \vec{O P} - \vec{O A} = [0, 6 t, 6 t] - [0, 6, 6] = [0, 6 (t - 1), 6 (t - 1)] . \end{matrix}$

I a) fant vi at kryssproduktet $\vec{A B} \times \vec{A C} = [12, 6, 36]$ . Volumet av tetraederet er altså

$V = \frac{1}{6} |\vec{A O} \cdot (\vec{A B} \times \vec{A C})| = \frac{1}{6} |[12, 6, 36] \cdot [0, 6 (t - 1), 6 (t - 1)]|$

$= \frac{1}{6} |6 \cdot 6 (t - 1) + 36 \cdot 6 (t - 1)| = |6 (t - 1) + 36 (t - 1)| = |42 t - 42| = 42 |t - 1|$

For at volumet skal være lik $42$ må vi altså enten ha $t = 0$ eller $t = 2$ . Det er med andre ord to mulige koordinater for $P$ , nemlig $P (0, 0, 0) og P (0, 12, 12) .$

Svar: $P (0, 0, 0) og P (0, 12, 12)$

Mer om

Denne oppgaven er om

Tetraeder

Et legeme som begrenses av fire kongruente, likesidede trekanter.

Se Platonske legemer

tetraeder

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volum

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektor

Linje

En rett linje som vanligvis kalles linje, er en rett strek som har en posisjon og retning. En linje fortsetter uendelig i begge retninger.

linje

Koordinat

Koordinatene til et punkt måles langs aksene i et koordinatsystem og forteller nøyaktig hvor vi finner punktet.

Eksempel: I punktet (1,3) er 1 førstekoordinat og 3 er andrekoordinat.

Se Koordinatsystem

koordinat

Punkt

I geometrien tegnes punkt som en prikk eller et kryss. Den knyttes til en fast posisjon og har ingen utstrekning. Et punkt har en stor bokstav som navn, for eksempel A eller B.

punkt

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Kryssprodukt - areal og volum.

Oppgave 5 (4 poeng) Nettkode: E-4DF4

Figuren viser grafen til en funksjon $f (x)$ , der $x \in [0, 9]$ .

La $g (t) = \int_{0}^{t} f (x) d x$ , der $t \in [0, 9]$

a)

Bestem $g (2)$ . Forklar at den største verdien til $g (t)$ er $10$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

For å bestemme $g (2)$ må vi integrere funksjonen $f (x)$ fra $0$ til $2$ . Siden dette integralet er lik arealet under grafen til $f (x)$ holder det å beregne dette arealet.

Siden $g (t)$ er arealet under grafen til $f (x)$ fra $x = 0$ til $x = t$ , og $f (x)$ er konstant lik $4$ på intervallet $[0, 2]$ må $\begin{matrix} g (2) = \int_{0}^{2} f (x) d x = f (0) \cdot Δ x = 4 \cdot 2 = 8 . \end{matrix}$ Siden de eneste positive bidragene til $g (t)$ kommer fra punkter der $f (x) > 0$ , og $f (x) > 0$ for $x \in [0, 3]$ , kan $g (t)$ aldri ta større verdier enn $g (3)$ . Vi kan dele opp arealet under $f (x)$ mellom $x = 0$ og $x = 3$ i den rektangulære biten $x \in [0, 2]$ og den triangulære biten $x \in [2, 3]$ . Vi får da at $\begin{matrix} g (3) = r e k t a n g e l + t r e k a n t = 8 + \frac{1}{2} 4 \cdot 1 = 8 + 2 = 10 . \end{matrix}$ Altså kan ikke $g (t)$ ta større verdier enn $10$ .

Svar: $\begin{matrix} g (2) = 8 \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Integrasjon

Det motsatte av derivasjon. En grenseoperasjon på en funksjon som kan tolkes som arealet begrenset av grafen til funksjonen og x-aksen.

Se Integralregning

integrasjon

Graf

graf

Intervall

Et intervall er det samme som et tallområde. Tallene 4, 5, 6 og 7 ligger i intervallet 4–7 (fire til sju).

Dersom vi ikke har sagt noe annet, lar vi øvre og nedre grense høre med til intervallet.

intervall

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

For flere forklaringer og eksempler på integrasjon, se artikkelen Bestemte integraler.

Visste du at

Det at det bestemte integralet av en funksjon $f (x)$ fra $a$ til $b$ representerer arealet av området under grafen til $f$ mellom $a$ og $b$ er en veldig fin måte å tolke det bestemte integralet på. Når vi multipliserer to tall $a$ og $b$ kan vi ofte tenke på resultatet som arealet av rektangelet med lengde $a$ og bredde $b$ . På samme måte kan vi tenke på $f (x) d x$ som arealet av et uendelig tynt rektangel bredde $d x$ og med høyde $f (x)$ . Det mystiske integraltegnet, $\int$ , er faktisk bare en litt rar ”S” og er en forkortelse for ”sum”. Med andre ord kan vi lese $\int_{a}^{b} f (x) d x$ som ”summen av alle uendelig tynne rektangler med høyde $f (x)$ mellom $x = a$ og $x = b$ ”.

b)

Bestem nullpunktet til $g$ . Avgjør hvilke verdier av $t$ som gjør $g (t)$ negativ.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Nullpunktet til $g$ er nøyaktig den verdien for $t$ der grafen til $f$ har like stort areal over $x$ -aksen, som under $x$ -aksen.

Arealet over $x$ -aksen avgrenset av grafen til $f$ og intervallet $[0, 3]$ er like stort som arealet under $x$ -aksen avgrenset av $f$ og intervallet $[3, 6]$ .

Siden $f (x)$ er positiv for alle $x \in [0, 3)$ og negativ for alle $x \in (3, 6]$ betyr det at $g (6) = 0$ . Dette betyr at $t = 6$ er et nullpunkt for $g (t)$ og at $g (t)$ er negativ for alle $t > 6$ siden $f$ da er negativ. Merk imidlertid at $g (t)$ også forsvinner når $t = 0$ ettersom arealet under $f$ mellom $0$ og $0$ nødvendigvis må være $0$ .

Altså er nullpunktene for $g (t)$ nøyaktig de to punktene $t = 0 og t = 6$ . Hvis $t > 6$ er altså arealet under $x$ -aksen større enn arealet over $x$ -aksen. Det betyr at $g (t) < 0 for t \in (6, 9]$ .

Svar: $t = 0 og t = 6$

Mer om

Denne oppgaven er om

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkt

Intervall

Et intervall er det samme som et tallområde. Tallene 4, 5, 6 og 7 ligger i intervallet 4–7 (fire til sju).

Dersom vi ikke har sagt noe annet, lar vi øvre og nedre grense høre med til intervallet.

intervall

x-akse

Den horisontale aksen i et koordinatsystem.
Kalles også førsteakse.

x-akse

y-akse

Den loddrette aksen i et koordinatsystem.
Kalles også andreaksen.

y-akse

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

For flere forklaringer og eksempler på integrasjon, se artikkelen Halvar forteller om fundamentalteoremet.

Visste du at

Det å vite at en funksjon er antisymmetrisk (like stor på begge sider, men med motsatt fortegn) rundt et punkt kan være veldig nyttig når man beregner integraler. For eksempel kan vi med en gang si at $\int_{- 10}^{10} x^{3} e^{x^{2}} d x = 0$ siden funksjonen $x^{3} e^{x^{2}}$ er antisymmetrisk rundt Origo. Dette er fordi en funksjon som er er antisymmetrisk rundt Origo bidrar med like mye positivt areal fra den ene siden som den bidrar med negativt areal fra den andre siden.

Eksempler på funksjoner som er antisymmetriske rundt $x = 0$ er $x^{2 n + 1}$ der $n \in ℤ$ , $\sin x$ og $\tan x$ .

Oppgave 6 (4 poeng) Nettkode: E-4DF8

Ovenfor ser du grafen til en funksjon $f (x) = A \sin (c x + φ_{1}) + d$ .

a)

Bestem $A$ , $c$ , $d$ og $φ_{1}$ ved hjelp av grafen og de punktene som er markert på grafen.

Skriv opp funksjonsuttrykket til f (x).

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Ved å se på grafen kan vi lese av verdier som funksjonens største $y$ -verdi, avstanden mellom toppene og gjennomsnittshøyden til $f (x)$ . Vi kan bruke disse verdiene til å bestemme $A, c, d$ og $ϕ_{1}$ .

Vi begynner med å finne likevektslinjen $d$ . Fra grafen ser vi at $f (x)$ maksimalt tar verdien $f (x) = 7$ og minimalt $f (x) = 3$ . Disse toppene må komme fra sinusfunksjonen i $f (x)$ og siden sinus avviker like mye fra null i både positiv og negativ retning må likevektslinjen være verdien midt mellom maksimal- og minimalverdien til $f$ . Altså må $d = \frac{1}{2} (7 + 3) = 5$ . Det følger at forskjellen mellom likevektslinjen og maksimalverdien til $f (x)$ må være nøyaktig verdien av $A$ . Altså har vi at $A = 7 - 5 = 2$ .

For nå å finne $c$ finner vi først avstanden $Δ x$ mellom to nærstående topper – altså perioden til funksjonen. Fra grafen finner vi at den er $Δ x = 2.79 - (- 0.35) = 3.14$ som er omtrent lik $π$ . Avstanden mellom to topper på grafen til funksjonen $\sin (x + ϕ_{1})$ er $2 π$ . Da må vi ha $2 π = c Δ x$ , noe som betyr at $c = 2$ . Vi har altså funnet at $\begin{matrix} f (x) \approx 2 \sin (2 x + ϕ_{1}) + 5 . \end{matrix}$ Ved å benytte omskrivingen $2 x + ϕ_{1} = 2 (x - (- \frac{1}{2} ϕ_{1}))$ ser vi at størrelsen $- \frac{1}{2} ϕ_{1}$ må være grafens faseforskyvning, som vi ved å lese av ser at er omlag $2$ . Det betyr at $\begin{matrix} - \frac{1}{2} ϕ_{1} \approx 2 \Rightarrow ϕ_{1} \approx - 4 . \end{matrix}$ Altså har vi tilnærmet funksjonsuttrykket til å være $\begin{matrix} f (x) \approx 2 \sin (2 x - 4) + 5 . \end{matrix}$

Svar:
$\begin{matrix} f (x) \approx 2 \sin (2 x - 4) + 5 . \end{matrix}$ Merk at vi alltid kan legge til, eller trekke fra, $2 π$ fra vinkelen uten å endre verdien til uttrykket.

Mer om

Denne oppgaven er om

Trigonometriske funksjoner

Funksjonene sinus, cosinus, tangens og cotangens. Defineres enklest for en spiss vinkel i en rettvinklet trekant som forholdet mellom to av sidene i trekanten.

trigonometriske funksjoner

Pi (π)

$π$ er forholdet mellom sirkelens omkrets og diameter. Dette forholdet er alltid konstant og tilnærmet lik 3,14.

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

Gjennomsnittet finner du ved å:
1) summere alle data
2) dele summen på total antall data

Eksempel: Gjennomsnittet av 2, 2, 4, 3 er 2,75 fordi
1) $2 + 2 + 4 + 3 = 11$
2) antall data er 4. $11 : 4 = 2, 75$

gjennomsnitt

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkt

Graf

graf

For flere forklaringer og eksempler på trigonometri, se artikkelen Periodiske funksjoner.

b)

Grafen ovenfor kan også være grafen til $g (x) = A \cos (c x + φ_{1}) + d$ .

Skriv opp funksjonsuttrykket til $g (x)$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Formen til en cosinusfunksjon er identisk med en sinusfunksjon, den eneste forskjellen er en faseforskyvning.

En cosinusfunksjon ligger alltid et kvart omløp foran en sinusfunksjon. Med andre ord er det ikke behov for å gjøre annet enn å forskyve vinkelen inne i sinusfunksjonen fra oppgave $6 a)$ slik at vinkelen alltid ligger $\frac{π}{2}$ bak. Med andre ord kan vi bruke at $\begin{matrix} 2 \sin (2 x - 4) + 5 = 2 \cos (2 x - 4 - \frac{π}{2}) + 5 \end{matrix}$ til å finne følgende tilnærmede uttrykk for $g (x)$ : $\begin{matrix} g (x) \approx 2 \cos (2 x - 4 - \frac{π}{2}) + 5 . \end{matrix}$

Alternativ løsning

Amplituden $A$ , likevektslinjen $d$ og vinkelfrekvensen $c$ vil alle være like som i oppgave $6 a)$ . Faseforskyvningen $- \frac{1}{2} ϕ_{2}$ , vil imidlertid være annerledes ettersom en cosinusfunksjon alltid begynner på sin maksimale verdi. Fra grafen finner vi da at faseforskyvningen er $2, 79$ og derfor at $\begin{matrix} - \frac{1}{2} ϕ_{2} = 2, 79 \Rightarrow ϕ_{2} = - 5, 58 . \end{matrix}$ Da finner vi $\begin{matrix} g (x) \approx 2 \cos (2 x - 5, 58) + 5 . \end{matrix}$ Alternativt kunne vi valgt faseforskyvningen $- 0, 35$ , som gir $ϕ_{2} = 0, 7$ .

Svar: $\begin{matrix} g (x) \approx 2 \cos (2 x + 0, 7) + 5 . \end{matrix}$ Merk at vi alltid kan legge til, eller trekke fra, $2 π$ fra vinkelen uten å endre uttrykket.

Mer om

Denne oppgaven er om

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

Sinus

sinus

Vinkel

En vinkel er en geometrisk figur satt sammen av to rette linjer med samme startpunkt. Vinkler måles i grader.

vinkel

Pi (π)

$π$ er forholdet mellom sirkelens omkrets og diameter. Dette forholdet er alltid konstant og tilnærmet lik 3,14.

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

Toppunkt

For flere forklaringer og eksempler på trigonometriske funksjoner, se artikkelen Sinus, cosinus og tangens.

Oppgave 7 (2 poeng) Nettkode: E-4DFB

Bruk induksjon til å bevise påstanden

$P (n) : (1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) . . . (1 - \frac{1}{n}) \cdot (1 - \frac{1}{n + 1}) = \frac{1}{n + 1}, n \in ℕ$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

For å bevise en påstand $P (n)$ ved hjelp av induksjon må vi vise at den første påstanden gjelder, nemlig at $P (1)$ . Deretter må vi vise at hvis $P (n)$ stemmer for $n = k$ , så stemmer den nødvendigvis også for $n = k + 1$ .

Vi skal vise at utsagnet

$P (n) : (1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) \cdot \cdot \cdot (1 - \frac{1}{n}) \cdot (1 - \frac{1}{n + 1}) = \frac{1}{n + 1}$

er sant for alle naturlige tall $n$ .

Med $n = 1$ blir produktet på venstre side bestående av bare én faktor, nemlig $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ . Høyre side blir $\frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$ . Dette viser at $P (1)$ er sann.

Anta at $P (k)$ er sann, altså at

$(1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) \cdot \cdot \cdot (1 - \frac{1}{k}) \cdot (1 - \frac{1}{k + 1}) = \frac{1}{k + 1}$

Da må vi ha

$(1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) \cdot \cdot \cdot (1 - \frac{1}{k}) \cdot (1 - \frac{1}{k + 1}) \cdot (1 - \frac{1}{(k + 1) + 1})$

$= \frac{1}{k + 1} \cdot (1 - \frac{1}{k + 2}) = \frac{1}{k + 1} \cdot \frac{k + 2 - 1}{k + 2} = \frac{k + 1}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{1}{k + 2}$

$= \frac{1}{(k + 1) + 1}$

Dette er presis utsagnet $P (k + 1)$ , så vi har vist at $P (k) \Rightarrow P (k + 1)$ . Dermed er $P (n)$ sant.

Mer om

Denne oppgaven er om

Matematisk induksjon

En metode til å bevise en påstand P(n) der det inngår et positivt heltall n. Følgende to skritt må gjennomføres:

Bevis påstanden for n =1.
Bevis at for ethvert positivt tall k vil man fra hypotesen P(k) kunne slutte at hypotesen også gjelder for P(k+1).

Siden vi vet fra 1. at hypotesen gjelder for P(1) kan vi ved hjelp av 2. slutte at den også gjelder for P(2). Fra dette kan vi slutte at den også må gjelde for P(3), og så videre for alle P(n).

matematisk induksjon

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

For flere forklaringer og eksempler på bevisføring, se artikkelen Induksjonsbevis.

Visste du at

Vi kunne også bevist dette ved omskriving av produktet på venstresiden av likningen i oppgaveteksten. Det holder nemlig å observere at $\begin{matrix} (1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) . . . (1 - \frac{1}{n}) \cdot (1 - \frac{1}{n + 1}) \\ = (\frac{2}{2} - \frac{1}{2}) \cdot (\frac{3}{3} - \frac{1}{3}) \cdot (\frac{4}{4} - \frac{1}{4}) . . . (\frac{n}{n} - \frac{1}{n}) \cdot (\frac{n + 1}{n + 1} - \frac{1}{n + 1}) \\ = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot . . . \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n}{n + 1} = \frac{1}{n + 1} . \end{matrix}$

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (8 poeng) Nettkode: E-4DFE

a)

Vi har en uendelig geometrisk rekke $a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . .$ som er konvergent.

Vis at summen $S$ av rekken kan skrives

$S = \frac{{a_{1}}^{2}}{a_{1} - a_{2}}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

En rekke $a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . .$ er en geometrisk rekke hvis $a_{n + 1} / a_{n}$ er uavhengig av $n$ .

Siden rekken er geometrisk, er $a_{2} = k a_{1}, der k = \frac{a_{2}}{a_{1}}$ er kvotienten til rekka. Summen er $\begin{matrix} S = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{a_{1}^{2}}{a_{1} - a_{2}} . \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Uendelige rekker

En rekke er en sum av elementene i en tallfølge. Rekken kalles uendelig hvis den består av uendelig antall elementer.

Eksempel : $\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$

( ∞ er tegnet for uendelighet )

uendelig rekke

Sum

Resultatet av en addisjon.

Eksempel: 2 + 5 + 1 = 8, her kalles 8 for sum.

sum

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

For flere forklaringer og eksempler på rekker, se artikkelen Geometriske rekker.

Visste du at

Uendelige rekker kan faktisk gi mening selv om de ikke konvergerer. Ta for eksempel rekken $9 + 90 + 900 + 9000 + . . .$ som er lik det uendelig store tallet $. . .9999$ . Dersom vi later som om rekken er konvergent må den ifølge påstanden over konvergere mot tallet $S = \frac{9^{2}}{9 - 90} = - 1$ , som ved første øyekast ikke gir veldig mye mening. Vi kan imidlertid hevde at dersom $S$ skulle vært et endelig tall, burde det vært $- 1$ . Dette kan vi se ved for eksempel å undersøke hva verdien av $S + 1$ må være, $\begin{matrix} S + 1 = . . .999999 \\ + 1 \\ = . . .000000 & . \end{matrix}$ Siden $S$ er tallet som består av uendelig mange nitall forskyver vi ettallet uendelig langt bort. Altså ser det ut til at $S + 1 = 0$ , som betyr at $S = - 1$ . Helt tilsvarende kan vi vise at $S^{2} = 1$ . Selv om det ikke gir noen mening virker det altså ikke helt utenkelig å si at $9 + 90 + 900 + 9000 + . . . = - 1$ .

b)

Figuren nedenfor viser en rettvinklet og likebeint $Δ A B C$ der katetene har lengde 12. Inne i trekanten har vi en rekke kvadrater (markert med blått på figuren). Det største kvadratet har side 6, det nest største har side 3, slik at sidene til kvadratene blir halvert i det uendelige.

Forklar at summen $S$ av arealene til kvadratene kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Bruk formelen i oppgave a) til å bestemme $S$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

For å uttrykke arealene til kvadratene som en uendelig geometrisk rekke er vi først nødt til å finne arealet av det første, og hvor mye mindre hvert kvadrat er enn det foregående.

Siden $△ A B C$ er likebeint og rettvinklet må det største kvadratet ha sidelengde $l_{1} = \frac{1}{2} A B = 6$ . Det neste kvadratets nedre, venstre hjørne må på tilsvarende måte dele $l_{1}$ i to like store segmenter. Det betyr at det neste kvadratets sidelengde er $l_{2} = \frac{1}{2} l_{1} = 3$ . Ettersom dette mønsteret fortsetter på samme måte må $l_{3} = \frac{1}{2} l_{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} l_{1}$ , $l_{4} = {(\frac{1}{2})}^{3} l_{1}$ og så videre. Summen $S$ av arealene til kvadratene kan da uttrykkes ved $\begin{matrix} S & = l_{1}^{2} + l_{2}^{2} + l_{3}^{2} + . . . \\ = l_{1}^{2} + {[\frac{1}{2} l_{1}]}^{2} + {[{(\frac{1}{2})}^{2} l_{1}]}^{2} + . . . \end{matrix}$ og ved å ta i bruk formelen i oppgave $a)$ finner vi $\begin{matrix} S = \frac{l_{1}^{4}}{l_{1}^{2} - l_{1}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{l_{1}^{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4 l_{1}^{2}}{3} = \frac{4 \cdot 6^{2}}{3} = \frac{144}{3} = 48 . \end{matrix}$

Svar: $\begin{matrix} S = 48 \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Rett vinkel

En rett vinkel er 90 grader og vi skriver 90°. Vi sier da at vinkelbeina står normalt på hverandre.

rett vinkel

Likebeint trekant

I en likebeint trekant er to sider like lange og to vinkler like store.

likebent trekant

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

For flere forklaringer og eksempler på rekker, se artikkelen Geometriske tallfølger.

c)

$Δ A B C$ inneholder også uendelig mange rettvinklete og likebeinte trekanter (markert med grønt på figuren) der sidene også halveres fra gang til gang. Skriv summen av arealene til disse trekantene som en uendelig geometrisk rekke. Bestem denne summen.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Arealet av hver trekant er nøyaktig halvparten av arealet av kvadratet på dets høyre side.

Siden arealet av hver trekant er halvparten av kvadratet på dets høyre side og summen av arealene til kvadratene kan skrives $\begin{matrix} S_{k v a d r a t} = l_{1}^{2} + {[\frac{1}{2} l_{1}]}^{2} + {[{(\frac{1}{2})}^{2} l_{1}]}^{2} + . . . \end{matrix}$ følger det at summen $S_{t r e k a n t}$ av trekantene er gitt av den uendelige geometriske rekken $\begin{matrix} S_{t r e k a n t} = \frac{1}{2} l_{1}^{2} + \frac{1}{2} {[\frac{1}{2} l_{1}]}^{2} + \frac{1}{2} {[{(\frac{1}{2})}^{2} l_{1}]}^{2} + . . . \end{matrix}$ Verdien av denne summen finner vi lettest ved å se at $S = \frac{1}{2} S_{k v a d r a t}$ , slik at

$\begin{matrix} S_{t r e k a n t} = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24 . \end{matrix}$ Alternativt kunne vi brukt formelen fra $a)$ .

Svar: $\begin{matrix} S_{t r e k a n t} = 24 \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Kvadrat

En firkant der alle sider er like lange og alle vinkler 90°.

kvadrat

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

Sum

Resultatet av en addisjon.

Eksempel: 2 + 5 + 1 = 8, her kalles 8 for sum.

sum

Uendelige rekker

En rekke er en sum av elementene i en tallfølge. Rekken kalles uendelig hvis den består av uendelig antall elementer.

Eksempel : $\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$

( ∞ er tegnet for uendelighet )

uendelig rekke

For flere forklaringer og eksempler på rekker, se artikkelen Uendelige rekker.

d)

Forklar hvordan du kunne ha funnet de to summene i oppgave b) og oppgave c) ved hjelp av et geometrisk resonnement.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

Siden vi kjenner lengden av katetene i $△ A B C$ kan vi finne arealet. Vi kan også finne et forhold mellom summen av arealene til trekantene og summen av arealene til kvadratene i $△ A B C$ .

Siden $△ A B C$ er en rettvinklet, likebeint trekant der lengden av katetene er $12$ , har $△ A B C$ areal $\frac{1}{2} 12^{2} = 72$ . Videre vet vi at hvis $S_{k v a d r a t}$ er summen av arealene til kvadratene og $S_{t r e k a n t}$ er summen av arealene til trekantene, så må $\begin{matrix} S_{k v a d r a t} = 2 S_{t r e k a n t} \end{matrix}$ fordi hver trekant utgjør nøyaktig halvparten av det tilsvarende kvadratet. Siden alle de små og trekantene og kvadratene fyller $△ A B C$ må vi også ha at $S_{k v a d r a t} + S_{t r e k a n t}$ er arealet av $△ A B C$ , altså $\begin{matrix} S_{k v a d r a t} + S_{t r e k a n t} = 72 . \end{matrix}$ Det betyr at vi har likningsettet

$\begin{matrix} (I) & S_{k a d r a t} & + & S_{t r e k a t} & = & 72 \\ (II) & S_{k a d r a t} & = & 2 S_{t r e k a n t}, \end{matrix}$

som løses av $S_{k v a d r a t} = 48$ og $S_{t r e k a n t} = 24$ .

Alternativ løsning

Ettersom arealet $△ A B C$ er $72$ og summen av trekantene og kvadratene til sammen utgjør hele $△ A B C$ holder det å observere at summen av trekantene utgjør nøyaktig halvparten av summen kvadratene. Det betyr at hvis vi deler $△ A B C$ i tre like store deler med areal $72 / 3 = 24$ , må summen av trekantene være $24$ , mens summen av kvadratene være $2 \cdot 24 = 48$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Sum

Resultatet av en addisjon.

Eksempel: 2 + 5 + 1 = 8, her kalles 8 for sum.

sum

Katet

Side i en rettvinklet trekant. Den rette vinkelen dannes av to linjestykker som kalles kateter.

katet

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Kvadrat

En firkant der alle sider er like lange og alle vinkler 90°.

kvadrat

For flere forklaringer og eksempler på areal, se artikkelen Tom forteller om areal.

Oppgave 2 (8 poeng) Nettkode: E-4DFJ

En differensiallikning er gitt ved

$4 y'' + 4 y' + 5 y = 0$

a)

Sett opp den karakteristiske likningen, løs denne og bruk løsningen til å bestemme et generelt uttrykk for $y$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Siden høyresiden er null er likningen homogen, og siden den andrederiverte av $y$ , og ingen høyere deriverte, inngår i likningen er den en andre ordens differensiallikning. Den karakteristiske likningen finner vi ved å anta at løsningene er på formen $y (x) = e^{λ x}$ .

En andre ordens homogen differensiallikning har alltid to uavhengige løsninger. Dersom vi klarer å gjette oss frem til to forskjellige løsninger har vi altså løst likningen. Mennesker før oss har heldigvis funnet ut at det er lurt å gjette på løsninger på formen $y (x) = e^{λ x}$ . Da er $y' (x) = λ e^{λ x}$ og $y ″ (x) = λ^{2} e^{λ x}$ . Ved å sette dette inn i likningen over får vi $\begin{matrix} 4 λ^{2} e^{λ x} + 4 λ e^{λ x} + 5 e^{λ x} = e^{λ x} (4 λ^{2} + 4 λ + 5) = 0, \end{matrix}$ og siden $e^{λ x}$ aldri blir null må dette være sant fordi $\begin{matrix} 4 λ^{2} + 4 λ + 5 = 0 . \end{matrix}$ Dette er den karakteristiske likningen! Denne kan vi løse ved å bruke annengradsformelen

$\begin{matrix} λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4} = \frac{- 1 \pm \frac{1}{4} \cdot \sqrt{4^{2}} \cdot \sqrt{1 - 5}}{2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{4} \cdot \sqrt{- 1}}{2} = - \frac{1}{2} \pm i \end{matrix}$

der $i = \sqrt{- 1}$ . De to løsningene er altså

$y_{1} (x) = e^{(- \frac{1}{2} + i) x} og y_{2} (x) = e^{(- \frac{1}{2} - i) x}$

Ettersom $y_{1}$ og $y_{2}$ løser likning i oppgaveteksten, må nødvendigvis også $y (x) = A y_{1} (x) + B y_{2} (x)$ løse likningen for to konstanter $A$ og $B$ . Vi kan altså skrive den generelle løsningen på formen $\begin{matrix} y (x) = A e^{(- \frac{1}{2} + i) x} + B e^{(- \frac{1}{2} - i) x} . \end{matrix}$ Dersom du kjenner til formelen $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ kan du bruke til å komme frem til, etter mye jobb, uttrykket $\begin{matrix} y (x) = e^{- \frac{1}{2} x} (C \cos x + D \sin x) \end{matrix}$ for noen andre konstanter $C$ og $D$ . Her er det imidlertid mye enklere å bruke kommandoen
SolveODE[4y”+4y’+5y=0]
som gir $\begin{matrix} y = C_{1} \cos (x) e^{- \frac{x}{2}} + C_{2} \sin (x) e^{- \frac{x}{2}} . \end{matrix}$

Numerisk løsning:

Skriv følgende kommando i CAS:
LøsODE[4y”+4y’+5y=0]
Det gir $\begin{matrix} y = C_{1} \cos (x) e^{- \frac{x}{2}} + C_{2} \sin (x) e^{- \frac{x}{2}} . \end{matrix}$

Svar: Karakteristisk likning: $\begin{matrix} 4 λ^{2} + 4 λ + 5 = 0 . \end{matrix}$ Generell løsning: $\begin{matrix} y = C_{1} \cos (x) e^{- \frac{x}{2}} + C_{2} \sin (x) e^{- \frac{x}{2}} . \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formelen

Komplekse tall

Komplekse tall er en utvidelse av de reelle tall. De er satt sammen av en realdel og en imaginærdel. Tallene kan fremstilles i et tallplan hvor førsteaksen er de reelle tallene og andreaksen de imaginære tallene. Den imaginære enheten er $i = \sqrt{- 1}$ . Et komplekst tall angis ofte på formen a + ib, hvor a og b er reelle tall.

komplekse tall

Komplekse funksjoner

Funksjoner definert for komplekse tall med komplekse funskjonsverdier.

kompleks funksjon

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

Sinus

sinus

Differensiallikning

En likning hvor den ukjente er en funksjon og der den deriverte, funksjonens differensialkvotient, inngår.

Et eksempel er y'' - y = 0 eller $\frac{d^{2} f (x)}{d x^{2}} - f (x) = 0$

differensiallikning

For flere forklaringer og eksempler på differensiallikninger, se artikkelen Andre ordens differensiallikninger.

Visste du at

Likningen $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ kalles av mange for verdens vakreste likning. Spesielt kjent er uttrykket $e^{i π} - 1 = 0$ , som inneholder fem av de kanskje viktigste konstantene i matematikk: $0, 1, π, e$ og $i$ . Du kan også bruke likningen, som kalles for ”Eulers formel”, til å uttrykke sinus og cosinus ved $\begin{matrix} \sin θ = \frac{e^{i θ} - e^{- i θ}}{2 i} o g \cos θ = \frac{e^{i θ} + e^{- i θ}}{2}, \end{matrix}$ som kan brukes til å produsere alle de trigonometriske likningene man ofte blir bedt om bare å memorere.

b)

Finn integrasjonskonstantene når du får vite at $y (0) = 3$ og $y (\frac{3 π}{4}) = 0$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Ved å vite to punkter grafen til løsningen går gjennom kan vi bestemme de to konstantene $C_{1}$ og $C_{2}$ .

Ved først å kreve at $y (0) = 3$ får vi $\begin{matrix} 3 = C_{1} \cos (0) e^{- 0} + C_{2} \sin (0) e^{- 0} = C_{1} \Rightarrow C_{1} = 3 . \end{matrix}$ Ved deretter å kreve at $y (\frac{3 π}{4}) = 0$ får vi $\begin{matrix} 0 = 3 \cos (\frac{3 π}{4}) e^{- \frac{3 π}{8}} + C_{2} \sin (\frac{3 π}{4}) e^{- \frac{3 π}{8}} \Rightarrow C_{2} = - \frac{3}{\tan (\frac{3 π}{4})} = - \frac{3}{- 1} = 3 . \end{matrix}$ Den spesielle løsningen er altså $\begin{matrix} y (x) = 3 e^{- \frac{x}{2}} (\cos x + \sin x) \end{matrix}$

Numerisk løsning:

Skriv følgende kommando i CAS:
LøsODE[4y”+4y’+5y=0,{(0,3),(3 \pi /4,0)}]
Resultatet er $\begin{matrix} y (x) = 3 \cos (x) e^{- \frac{x}{2}} + 3 e^{- \frac{x}{2}} \sin (x) . \end{matrix}$

Svar: $\begin{matrix} y (x) = 3 e^{- \frac{x}{2}} (\cos x + \sin x) \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Graf

graf

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

Sinus

sinus

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

For flere forklaringer og eksempler på likninger, se artikkelen Trigonometriske likninger.

c)

Tegn grafen til $y = f (x)$ for $x \in [0, 3 π⟩$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi må tegne grafen til funksjonen fra oppgave $2 b)$ når $x$ er i intervallet $[0, 3 π)$ .

Vi bruker følgende kommando i GeoGebra for å definere den spesielle løsningen
f(x)=3exp(-x/2)(cos(x)+sin(x))

For å tegne denne på intervallet $[0, 3 π)$ bruker vi deretter:
y=Dersom[0 \leq x < 3\pi, f]

Svar:

Mer om

Denne oppgaven er om

Graf

graf

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

Sinus

sinus

Intervall

Et intervall er det samme som et tallområde. Tallene 4, 5, 6 og 7 ligger i intervallet 4–7 (fire til sju).

Dersom vi ikke har sagt noe annet, lar vi øvre og nedre grense høre med til intervallet.

intervall

Pi (π)

$π$ er forholdet mellom sirkelens omkrets og diameter. Dette forholdet er alltid konstant og tilnærmet lik 3,14.

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

For flere forklaringer og eksempler på grafer, se artikkelen Grafen til en funksjon.

d)

Bestem eventuelle nullpunkter til $f$ og koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ når $x \in [0, 3 π⟩$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

Nullpunktene til en funksjon $f$ er nøyaktig de $x$ -verdiene som tilfredsstiller $f (x) = 0$ . Topp- og bunnpunkter er punkter der funksjonen verken vokser eller avtar. Altså må et topp- eller bunnpunkt $x$ tilfredsstille $f' (x) = 0$ .

Vi begynner med å finne nullpunktene ved å kreve at disse punktene tilfredsstiller $f (x) = 0$ . Det gir $\begin{matrix} 3 e^{- \frac{x}{2}} (\cos x + \sin x) = 0, \end{matrix}$ og siden $3 e^{- \frac{x}{2}}$ ikke kan ha skyld i at funksjonen er null, må $\begin{matrix} \cos x + \sin x = 0 . \end{matrix}$ Ved å dividere begge sider av likhetstegnet med $\cos x$ kan likningen omgjøres til kravet $\begin{matrix} \tan x = - 1, \end{matrix}$ som betyr at

$x = \arctan (- 1) + n π, n \in ℤ$

$x = - \frac{π}{4} + n π, n \in ℤ$

$x = n π + \arctan (\frac{1}{3}) for n \in ℤ$

(Hvis du ikke har sett funksjonen $\arctan (x)$ før er det antageligvis fordi du har lært å heller skrive $\tan^{- 1} (x)$ , som betyr det samme.)

Nullpunktene i intervallet $[0, 3 π)$ er altså $\begin{matrix} x \in {\frac{3 π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{11 π}{4}} . \end{matrix}$ For å finne topp- og bunnpunkter deriverer vi først funksjonen

$\begin{matrix} f^{'} (x) & = & {(3 e^{- \frac{x}{2}} (\cos x + \sin x))}^{'} \\ = & {(3 e^{- \frac{x}{2}})}^{'} (\cos x + \sin x) + 3 e^{- \frac{x}{2}} {(\cos x + \sin x)}^{'} \\ = & - \frac{3}{2} e^{- \frac{x}{2}} (\cos x + \sin x) + 3 e^{- \frac{x}{2}} ({(\cos x)}^{'} + {(\sin x)}^{'}) \\ = & - \frac{3}{2} e^{- \frac{x}{2}} (\cos x + \sin x) + 3 e^{- \frac{x}{2}} (- \sin x + \cos x) \\ = & (3 - \frac{3}{2}) e^{- \frac{x}{2}} \cos x + (- \frac{3}{2} - 3) e^{- \frac{x}{2}} \sin x \\ = & \frac{3}{2} e^{- \frac{x}{2}} (\cos x - 3 \sin x) \end{matrix}$

Deretter finner vi mulige ekstremalpunkter $x$ ved å kreve at $f' (x) = 0$ . Det gir $\begin{matrix} \frac{3}{2} e^{- \frac{x}{2}} (\cos x - 3 \sin x) = 0, \end{matrix}$ og siden $\frac{3}{2} e^{- \frac{x}{2}}$ aldri kan bli null må $\begin{matrix} \cos x - 3 \sin x = 0 . \end{matrix}$ Ved å dividere begge sider av likhetstegnet med $\cos x$ og løse for $\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ kan vi skrive $\begin{matrix} \tan x = \frac{1}{3}, \end{matrix}$ som løses av

$x = n π + \arctan (\frac{1}{3}) for n \in ℤ,$

der $\arctan \frac{1}{3} \approx 0, 322$ . Ved enten å sette inn vilkårlige verdier mellom nullpunktene, eller å se på grafen i oppgave $2 c$ , finner vi at funksjonen har toppunkter $\begin{matrix} x \in {0.322, 6.605} \end{matrix}$ og bunnpunkt i $\begin{matrix} x = 3, 463 . \end{matrix}$ Dette finner vi ved å se at $f' (x)$ veksler mellom å være positiv og negativ mellom hvert nullpunkt, og at den begynner som positiv. Nullpunktene til $f (x)$ er

$\frac{3 π}{4}, \frac{7 π}{4} og \frac{11 π}{4} .$ Bunnpunktet er $(3.463, - 0.672)$ og toppunktene er $(0.322, 3.231) og (6.605, 0.140)$ .

Numerisk løsning:

Bruk følgende kommandoer geoGebras grafdel:
f(x) = Dersom[0 \leq x < 3\pi, 3exp( -x/2 ) (cos(x) + sin(x))]

NP_1:=Nullpunkt[f, \pi/2,\pi]

NP_2:=Nullpunkt[f, 3\pi/2,2\pi]

NP_3:=Nullpunkt[f, 5\pi/2,3\pi]

BP_1:=Ekstremalpunkt[f, \pi, 2\pi]

TP_1:=Ekstremalpunkt[f, 0, \pi]

TP_2:=Ekstremalpunkt[f, 3\pi/2, 5\pi/2]

Resultatet er punktene

$\begin{matrix} N P_{1} = 2.36 & N P_{2} = 5.5 & N P_{3} = 8.64 \\ B P_{1} & = (3.46, - 0.67) \\ T P_{1} & = (0.32, 3.23) \\ T P_{2} & = (6.6, 0.14) \end{matrix}$

Svar: Tilnærmede, numeriske verdier er $\begin{matrix} N P_{1} = 2.36 & N P_{2} = 5.5 & N P_{3} = 8.64 \\ B P_{1} & = (3.46, - 0.67) \\ T P_{1} & = (0.32, 3.23) \\ T P_{2} & = (6.6, 0.14) \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkt

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkt

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er mindre enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

bunnpunkt

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

Sinus

sinus

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

For flere forklaringer og eksempler på ekstremalpunkter, se artikkelen Topp- og bunnpunkter.

Oppgave 3 (8 poeng) Nettkode: E-4DFP

En pyramide $A B C D T$ er gitt på figuren ovenfor. Pyramiden settes inn i et tredimensjonalt koordinatsystem slik at koordinatene til $A$ , $B$ og $T$ er gitt ved $A (0, 0, 0)$ , $B (4, 0, 0)$ , $T (0, 0, 4)$ . Punktene $C$ og $D$ ligger i $x y$ -planet.

a)

Vi setter $∠ B A D = 135^{\circ}$ og $A D = 4 \sqrt{2}$ . Vis at $D$ har koordinatene $(- 4, 4, 0)$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi må finne koordinatene til et punkt når vi kjenner punktets avstand fra Origo, og vinkelen mellom punktet og $x$ -aksen. Det kan vi gjøre ved å benytte regneregler for trigonometri.

Vi kan først merke oss at $D$ ligger i $x y$ -planet og at vi derfor må ha $z = 0$ . Siden vinkelen mellom punktet $x$ -aksen og $A D$ er $135^{\circ}$ , er vinkelen mellom $y$ -aksen og $A D$ lik $45^{\circ}$ . Siden avstanden fra Origo, $A$ , til $D$ , som er $4 \sqrt{2}$ , er hypotenusen i en likebenet og rettvinklet trekant må katetene ha lik lengde, $a$ . Denne lengden må ifølge Pythagoras læresetning tilfredsstille $a^{2} + a^{2} = 2 a^{2} = (4 \sqrt{2})^{2} = 32$ . Altså må kateten ha lengde $a = 4$ . Siden den ene kateten ligger i positiv $y$ -retning og den andre i negativ $x$ -retning må koordinatene til $D$ være $(- 4, 4, 0)$ .

Alternativ løsning

Vi kan først merke oss at $D$ ligger i $x y$ -planet og at vi derfor må ha $z = 0$ . Punktene langs en sirkel med radius $4 \sqrt{2}$ er gitt ved koordinatene $(4 \sqrt{2} \cos θ, 4 \sqrt{2} \sin θ, 0)$ , der $θ$ er vinkelen mellom $x$ -aksen og punktet. Siden $D$ er et punkt på denne sirkelen, med vinkel $135^{\circ} = \frac{3 π}{4}$ fra $x$ -aksen, er koordinatene til $D$ gitt av $\begin{matrix} (4 \sqrt{2} \cos \frac{3 π}{4}, 4 \sqrt{2} \sin \frac{3 π}{4}, 0) = (4 \sqrt{2} \frac{- 1}{\sqrt{2}}, 4 \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{2}}, 0) = (- 4, 4, 0) . \end{matrix}$

Svar: Koordinatene til $D$ er $\begin{matrix} (- 4, 4, 0) . \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Koordinat

Koordinatene til et punkt måles langs aksene i et koordinatsystem og forteller nøyaktig hvor vi finner punktet.

Eksempel: I punktet (1,3) er 1 førstekoordinat og 3 er andrekoordinat.

Se Koordinatsystem

koordinat

Punkt

I geometrien tegnes punkt som en prikk eller et kryss. Den knyttes til en fast posisjon og har ingen utstrekning. Et punkt har en stor bokstav som navn, for eksempel A eller B.

punkt

x-akse

Den horisontale aksen i et koordinatsystem.
Kalles også førsteakse.

x-akse

Hypotenus

Den siden som er motstående til den rette vinkelen i en rettvinklet trekant. De andre to sidene kalles kateter.

hypotenus

Katet

Side i en rettvinklet trekant. Den rette vinkelen dannes av to linjestykker som kalles kateter.

katet

Pytagoras læresetning

Pytagoras læresetning sier at:

Arealet av kvadratet utspent av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene utspent av katetene.

Hvis lengden av katetene er a og b, og lengden av hypotenusen er c, har vi denne sammenhengen : $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Setningen kan brukes til å finne lengden til en side i en trekant.

Pythagoras læresetning

Likebeint trekant

I en likebeint trekant er to sider like lange og to vinkler like store.

likebent trekant

Rett vinkel

En rett vinkel er 90 grader og vi skriver 90°. Vi sier da at vinkelbeina står normalt på hverandre.

rett vinkel

For flere forklaringer og eksempler på trigonometriske funksjoner, se artikkelen Eksakte verdier.

Visste du at

Ved å huske at diameteren i et kvadrat med sidelengder $1$ har lengde $\sqrt{2}$ og at vinkelen mellom $y$ -aksen og $D$ er $45^{\circ}$ kunne vi med en gang sett at koordinatene til $D$ må ha tallverdi $4$ . Siden $D$ ligger i andre kvadrant må $x$ -koordinaten være negativ, men $y$ -koordinaten være positiv. Altså er koordinatene til $D$ lik $(- 4, 4, 0)$ .

b)

Punktet $C$ er slik at $\vec{B C} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D}$ . Vis at $C$ har koordinatene $(2, 4, 0)$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

For å finne koordinatene til $C$ må vi først finne et uttrykk for vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A D}$ .

Siden punktet $C$ må tilfredsstille $\vec{B C} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D}$ , og koordinatvektoren til $C$ er

$\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{B C}$

kan det være lettere å ta utgangspunkt i

$\begin{matrix} \vec{A C} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D} = \frac{3}{2} \vec{A B} + \vec{A D} . \end{matrix}$

Siden $A$ ligger i Origo har vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A D}$ samme koordinater som punktene $B$ og $D$ . Det betyr at

$\begin{matrix} \vec{A B} & = [4, 0, 0] \\ \vec{A D} & = [- 4, 4, 0] . \end{matrix}$

Koordinatvektoren til $C$ er da gitt av

$\begin{matrix} \vec{A C} = \frac{3}{2} \vec{A B} + \vec{A D} = \frac{3}{2} [4, 0, 0] + [- 4, 4, 0] = [\frac{3}{2} \cdot 4 - 4, 4, 0] = [2, 4, 0] . \end{matrix}$

Altså kan vi skrive koordinatene til $C$ som $\begin{matrix} (2, 4, 0) . \end{matrix}$

Svar: Koordinatene til $C$ er $\begin{matrix} (2, 4, 0) . \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektor

Koordinat

Koordinatene til et punkt måles langs aksene i et koordinatsystem og forteller nøyaktig hvor vi finner punktet.

Eksempel: I punktet (1,3) er 1 førstekoordinat og 3 er andrekoordinat.

Se Koordinatsystem

koordinat

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Addisjon av vektorer.

c)

Punktene $B$ , $D$ og $T$ ligger i et plan $α$ .

Vis at likningen for $α$ er $x + 2 y + z - 4 = 0$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

For å finne likningen for et plan må man i første rekke ha en vektor som står normalt på alle vektorer mellom to punkter i planet. Dersom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er vektorer mellom punkter i planet må $\vec{a} \times \vec{b}$ peke i samme retning som normalvektoren.

Vi begynner med å finne uttrykk for $\vec{B D}$ og $\vec{B T}$ , som er to vektorer mellom punkter i planet $α$ . Disse er gitt ved

$\begin{matrix} \vec{B D} & = \vec{A D} - \vec{A B} = [- 4, 4, 0] - [4, 0, 0] = [- 8, 4, 0] \\ \vec{B T} & = \vec{A T} - \vec{A B} = [0, 0, 4] - [4, 0, 0] = [- 4, 0, 4] . \end{matrix}$

Deretter beregner vi kryssproduktet $\vec{B D} \times \vec{B T}$ ved

$\vec{B D} \times \vec{B T} = |\begin{matrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ - 8 & 4 & 0 \\ - 4 & 0 & 4 \end{matrix}| = |\begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix}| \vec{e_{x}} - |\begin{matrix} - 8 & 0 \\ - 4 & 4 \end{matrix}| \vec{e_{y}} + |\begin{matrix} - 8 & 4 \\ - 4 & 0 \end{matrix}| \vec{e_{z}}$

$= 16 \vec{e_{x}} - (- 32) \vec{e_{y}} + 16 \vec{e_{z}} = [16, 32, 16] .$

Siden vi bare er interessert i retningen til denne vektoren kan vi velge normalvektoren

$\vec{n} = \frac{1}{16} \vec{B D} \times \vec{D T} = [1, 2, 1]$ .

Hvis $\vec{A P}$ er koordinatvektoren til et punkt i planet $α$ må alle punkter med koordinater $(x, y, z)$ i planet $α$ tilfredsstille likningen

$\begin{matrix} \vec{n} \cdot ([x, y, z] - \vec{A P}) = 0 . \end{matrix}$

Ved å velge $P = B$ får vi da at likningen for planet $α$ er gitt av

$\begin{matrix} \vec{n} \cdot ([x, y, z] - [4, 0, 0]) = [1, 2, 1] \cdot [x - 4, y, z] = x + 2 y + z - 4 = 0 . \end{matrix}$

Altså er likningen for planet $α$ $\begin{matrix} x + 2 y + z - 4 = 0 \end{matrix}$

Svar: $\begin{matrix} x + 2 y + z - 4 = 0 \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Plan

Et plan har uendelig utstrekning i to dimensjoner. Vi kan tenke på ei slett, uendelig tynn papirflate.

plan

Normalvektor

En normalvektor $\vec{n}$ for et plan står vinkelrett på alle linjer i planet.

normalvektor

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Likning til et plan.

Visste du at

Vi kunne også funnet normalvektoren til planet $α$ ved å ta i bruk et geometrisk argument. Siden $T$ og $B$ ligger like langt fra Origo og langs henholdsvis $x$ -aksen og $z$ -aksen, må $x$ -koordinaten og $z$ -koordinaten til normalvektoren være like.
Hvis punktet $D$ hadde hatt koordinater $(0, 4, 0)$ måtte alle koordinatene vært like. Siden lengden av normalvektoren ikke har noe å si kunne vi da valgt koordinatene $\vec{n} = [1, 1, 1]$ . $D$ har imidlertid koordinatene $(- 4, 4, 0)$ , noe som betyr at vektoren $\vec{B D}$ er dobbelt så lang i $x$ -retning som den er i $y$ -retning. Altså må normalvektoren være dobbelt så lang i $y$ -retning som den er i $x$ -retning. Dette betyr at vi kan velge $\vec{n} = [1, 2, 1]$ som normalvektor til planet $α$ .

d)

Volumet av pyramiden $A B D T$ kalles $V_{1}$ og volumet av pyramiden $C B D T$ kalles $V_{2}$ .

Bestem forholdet $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

For å bestemme forholdet $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ må vi først finne et uttrykk for $V_{1}$ og $V_{2}$ . For å gjøre dette kan vi bruke formelen for volumet $\begin{matrix} V = \frac{1}{6} \end{matrix} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$ av en pyramide utspent av vektorene $\vec{a}$ , $\vec{b}$ og $\vec{c}$ .

Siden begge pyramidene innholder punktene $B$ , $D$ og $T$ kan vi bruke kryssproduktet vi beregnet i oppgave $c)$ : $\vec{B D} \times \vec{B T} = [16, 32, 16]$ . Ettersom en pyramide utspent av tre vektorer $\vec{a}$ , $\vec{b}$ og $\vec{c}$ har volum $\begin{matrix} V = \frac{1}{6} \end{matrix} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$ , kan vi uttrykke volumene $V_{1}$ og $V_{2}$ ved

$V_{1} = \frac{1}{6} |\vec{B A} \cdot (\vec{B D} \times \vec{B T})| og V_{2} = \frac{1}{6} |\vec{B C} \cdot (\vec{B D} \times \vec{B T})|$

Alt vi trenger er altså å finne uttrykk for vektorene $\vec{B A} og \vec{B C}$ . Siden $\vec{B A} = - \vec{A B}$ og $\vec{A B}$ er koordinatvektoren til $B$ følger det at $\vec{B A} = [- 4, 0, 0]$ . Videre finner vi $\vec{B C}$ ved

$\begin{matrix} \vec{B C} = \vec{A C} - \vec{A B} = [2, 4, 0] - [4, 0, 0] = [- 2, 4, 0] . \end{matrix}$

Altså har vi

$V_{1} = \frac{1}{6} |\vec{B A} \cdot (\vec{B D} \times \vec{B T})| = \frac{1}{6} |[- 4, 0, 0] \cdot [16, 32, 16]|$

$= \frac{1}{6} |- 4 \cdot 16 + 0 + 0| = \frac{64}{6}$

$V_{2} = \frac{1}{6} |\vec{B C} \cdot (\vec{B D} \times \vec{B T})| = \frac{1}{6} |[- 2, 4, 0] \cdot [16, 32, 16]|$

$= \frac{1}{6} |- 2 \cdot 16 + 4 \cdot 32 + 0| = \frac{96}{6}$

Det betyr at $\begin{matrix} \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{(\frac{64}{6})}{(\frac{96}{6})} = \frac{64}{96} = \frac{2}{3} . \end{matrix}$

Svar: $\begin{matrix} \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{2}{3} \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volum

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektor

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Kryssprodukt - areal og volum.

Oppgave 4 (6 poeng) Nettkode: E-4DFV

Et fotballmål har lengde $C D = 7, 3$ m. En fotballspiller løper med ballen langs linjestykket $A B$ , slik figuren nedenfor viser. Punktet $B$ ligger $8, 0$ m fra punktet $C$ . Han vil skyte på mål når $∠ α = ∠ D A C$ er størst mulig. $∠ α$ avhenger av lengden $x = A B$ .

Vi setter $∠ D A B = u$ og $∠ C A B = v$ og lar $f (x) = \tan (α) = \tan (u - v)$

a)

Bruk formelen $\tan (u - v) = \frac{\tan u - \tan v}{1 + \tan u \cdot \tan v}$ til å vise at $f (x) = \frac{7, 3 x}{x^{2} + 122, 4}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Før vi bruker formelen ovenfor må vi ved å se på figuren beregne $\tan u$ og $\tan v$ . Det kan vi gjøre ved å huske at i en rettvinklet trekant er tangens til en vinkel alltid lik forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet.

Siden $△ C A B$ er rettvinklet må $\begin{matrix} \tan v = \tan ∠ C A B = \frac{C B}{A B} = \frac{8}{x} . \end{matrix}$ Siden også $△ D A B$ er rettvinklet må vi ha

$\begin{matrix} \tan u = \tan ∠ D A B = \frac{D B}{A B} = \frac{D C + C B}{A B} = \frac{7, 3 m + 8, 0 m}{x m} = \frac{15, 3}{x} . \end{matrix}$

Fra formelen i oppgaveteksten følger det da at

$\begin{matrix} f (x) & = \tan α = \tan (u - v) = \frac{\tan u - \tan v}{1 + \tan u \cdot \tan v} \\ = \frac{\frac{15, 3}{x} - \frac{8}{x}}{1 + \frac{15, 3}{x} \cdot \frac{8}{x}} = \frac{(15, 3 - 8) x}{x^{2} + 15, 3 \cdot 8} = \frac{7, 3 x}{x^{2} + 122, 4}, \end{matrix}$

som er det vi ønsket å vise.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Trigonometriske funksjoner

Funksjonene sinus, cosinus, tangens og cotangens. Defineres enklest for en spiss vinkel i en rettvinklet trekant som forholdet mellom to av sidene i trekanten.

trigonometrisk funksjon

Rett vinkel

En rett vinkel er 90 grader og vi skriver 90°. Vi sier da at vinkelbeina står normalt på hverandre.

rett vinkel

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

For flere forklaringer og eksempler på trigonometriske funksjoner, se artikkelen Mer kompliserte likninger.

</div

b)

Bestem den største verdien for $f (x)$ og tilhørende verdi for $x$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Den største verdien for $f (x)$ er enten en av endepunktene, som i denne sammenhengen er utelukket, eller et punkt der $f (x)$ går fra å vokse til å avta.

For å finne den største verdien for $f (x)$ må vi først beregne $f' (x)$ , for deretter å kreve at $f' (x) = 0$ på en slik måte at $f' (x)$ går fra å være positiv til å være negativ i punktet $x$ . Fra brøkregelen for derivasjon følger det at $\begin{matrix} f' (x) & = (\frac{7, 3 x}{x^{2} + 122, 4})' = \frac{(7, 3 x)' \cdot (x^{2} + 122, 4) - 7, 3 x \cdot (x^{2} + 122, 4)'}{(x^{2} + 122, 4)^{2}} \\ = \frac{7, 3 \cdot (x^{2} + 122, 4) - 7, 3 x \cdot 2 x}{(x^{2} + 122, 4)^{2}} = \frac{893.52 - 7, 3 \cdot x^{2}}{(x^{2} + 122, 4)^{2}} . \end{matrix}$ Siden nevneren aldri blir uendelig stor må $f' (x) = 0$ bety at $\begin{matrix} 893.52 - 7, 3 \cdot x^{2} = 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{893, 52}{7, 3}} = \pm \sqrt{122, 4} \approx \pm 11, 06 . \end{matrix}$ Ettersom vi ikke er interessert i situasjonen der fotballspilleren har løpt langt forbi målet velger vi bare den positive løsningen, altså $x \approx 11, 06$ . Siden disse er de eneste nullpunktene til $f' (x)$ , $f' (0)$ er positiv og $f' (100)$ er negativ må $x \approx 11, 06$ være det eneste toppunktet til $f$ . Verdien av $f (x)$ er da tilnærmet lik $\begin{matrix} f (11, 06) = \frac{7, 3 \cdot 11, 06}{(11, 06)^{2} + 122, 4} \approx 0, 330 . \end{matrix}$

Svar: $\begin{matrix} f (11, 06) \approx 0, 330 \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Ekstremalpunkter

Ekstremalpunkter er en samlebetegnelse på topp- og bunnpunkter.

ekstremalpunkter

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

For flere forklaringer og eksempler på ekstremalpunkter, se artikkelen Topp- og bunnpunkter.

c)

Vi vet at $α$ har sin største verdi når $\tan α$ har sin største verdi.

Bestem $α_{maks}$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi må finne $x$ slik at $α$ er størst mulig.

Siden $α$ er maksimal når $\tan α$ er maksimal holder det å finne $x$ slik at $f (x) = \tan α$ er maksimal. I oppgave $d)$ fant vi den største verdien for $f (x)$ , og siden dette også gir maksimal $α$ kan har vi allerede funnet at $\begin{matrix} \tan α_{m a k s} \approx 0, 330 . \end{matrix}$ Det betyr at $\begin{matrix} α_{m a k s} \approx \arctan (0, 330) \approx 0, 319 = 0.319 {\frac{180}{π}}^{\circ} \approx 18, 3^{\circ} . \end{matrix}$ Altså er den maksimale verdien av $α$ lik $0, 319$ radianer, eller $18, 3$ grader.

Svar: $\begin{matrix} α_{m a k s} \approx 0, 319 radianer \approx 18, 3^{\circ} . \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Radianer

Det absolutte vinkelmålet til vinkelen $u$ er tallet $\frac{b}{r}$ der $b$ er buelengden og $r$ er radien. Legg merke til at siden både $b$ og $r$ er lengder, vil lengdebenevningene forkortes mot hverandre i brøken $\frac{b}{r}$ , slik at det absolutte vinkelmålet blir et ubenevnt tall. Likevel sier vi ofte at $u$ er målt i radianer.

I en sirkel med radius $r$ er omkretsen lik $2 π r$ . Det er derfor naturlig å si at en runde i sirkelen tilsvarer $2 π$ radier eller $2 π$ radianer.

radianer

Trigonometriske funksjoner

Funksjonene sinus, cosinus, tangens og cotangens. Defineres enklest for en spiss vinkel i en rettvinklet trekant som forholdet mellom to av sidene i trekanten.

trigonometriske funksjoner

For flere forklaringer og eksempler på trigonometriske funksjoner, se artikkelen Sinus, cosinus og tangens.

Visste du at

At den maksimale vinkelen fotballspilleren må treffe innenfor er $0, 319$ radianer betyr at hvis han på dette punktet skyter ballen i en helt vilkårlig retning vil han treffe mål $\frac{0, 319}{2 π} \approx 5 %$ av gangene.

Oppgave 5 (6 poeng) Nettkode: E-4DFZ

Et plan $α$ er gitt ved likningen

$2 x + y - 2 z + 3 = 0$

a)

Bestem likningen for den kuleflaten som har sentrum i punktet $S (11, 2, - 6)$ og som har $α$ som tangentplan.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Punktene på en kuleflate med sentrum $S$ er alle punkter som har avstand $R$ fra $S$ .

Ifølge Pythagoras læresetning må punktene på en kuleflate med sentrum i punktet $S (11, 2, - 6)$ og radius $R$ tilfredsstille $\begin{matrix} (x - 11)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 6)^{2} - R^{2} = 0 . \end{matrix}$ Siden $α$ er et tangentplan for kuleflaten må radien, $R$ , være avstanden fra $S$ til planet $α$ . For å finne denne avstanden trenger vi først et punkt i $α$ . Her kan vi for eksempel velge punktet $A (0, - 3, 0)$ . Vektoren fra dette punktet til kulens sentrum, $S$ , er da gitt ved

$\begin{matrix} \vec{A S} = \vec{O S} - \vec{O A} = [11, 2, - 6] - [0, - 3, 0] = [11, 5, - 6] . \end{matrix}$

Videre gir koeffisientene i likningen i oppgaveteksten at normalvektoren til planet $α$ er $\vec{n} = [2, 1, - 2]$ . Avstanden mellom $S$ og planet $α$ er da gitt som

$R = |\vec{A S} \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}| = |[11, 5, - 6] \cdot \frac{[2, 1, - 2]}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}}}| = \frac{|11 \cdot 2 + 5 \cdot 1 + (- 6) \cdot (- 2)|}{\sqrt{9}}$

$= \frac{39}{3} = 13,$

siden $\vec{A S} \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$ gir lengden av den komponenten vektoren $\vec{A S}$ har i retningen $\vec{n}$ . Likningen for kuleflaten er altså $\begin{matrix} (x - 11)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 6)^{2} - 13^{2} = 0 . \end{matrix}$

Alternativ løsning

Ved å ta i bruk avstandsformelen kan vi finne avstanden fra punktet $S$ til planet $α$ ved $\begin{matrix} R = \frac{| 2 x_{S} + y_{S} - 2 z_{S} + 3 |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + (- 2)^{2}}} = \frac{| 2 \cdot 11 + 2 - 2 (- 6) + 3 |}{3} = \frac{39}{3} = 13 . \end{matrix}$ Da følger det at likningen for kuleflaten med sentrum i $S$ og tangentplan $α$ er $\begin{matrix} (x - 11)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 6)^{2} - 13^{2} = 0 . \end{matrix}$

Svar: $\begin{matrix} (x - 11)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 6)^{2} - 13^{2} = 0 \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Normalvektor

En normalvektor $\vec{n}$ for et plan står vinkelrett på alle linjer i planet.

normalvektor

Pytagoras læresetning

Pythagoras læresetning

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangent

Plan

Et plan har uendelig utstrekning i to dimensjoner. Vi kan tenke på ei slett, uendelig tynn papirflate.

plan

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Likning for en kule.

b)

Bestem koordinatene til tangeringspunktet mellom kuleflaten og planet $α$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi må finne koordinatene til det punktet som både er en del av planet og den del av kuleflaten.

Siden tangeringspunktet $P (x_{P}, y_{P}, z_{P})$ er det punktet i $α$ som er nærmest punktet $S$ betyr det at $\vec{S P}$ må stå normalt på planet $α$ . Altså må det finnes en konstant $k$ slik at $\vec{S P} = k \vec{n}$ , der $\vec{n} = [2, 1, - 2]$ er normalvektoren til planet $α$ . Vi har da at koordinatvektoren til punktet $P$ er må tilfredsstille både

$\begin{matrix} \vec{O P} = \vec{O S} + k \vec{n} = [11, 2, - 6] + k [2, 1, - 2] = [11 + 2 k, 2 + k, - 6 - 2 k] \end{matrix}$

og $\begin{matrix} 2 x_{P} + y_{P} - 2 z_{P} + 3 = 0 . \end{matrix}$

Ved å sette koordinatene til $P$ som funksjon av $k$ inn i likningen for planet $α$ finner vi

$\begin{matrix} 2 (11 + 2 k) + (2 + k) - 2 (- 6 - 2 k) + 3 & = 22 + 4 k + 2 + k + 12 + 4 k + 3 \\ = 39 + 9 k = 0 \\ \Rightarrow k = - \frac{39}{9} = - \frac{13}{3} . \end{matrix}$

Altså er koordinatene til tangeringspunktet

$\begin{matrix} P = (11 + 2 k, 2 + k, - 6 - 2 k) = (11 + 2 \cdot (- \frac{13}{3}), 2 - \frac{13}{3}, - 6 - 2 \cdot (- \frac{13}{3})) = \end{matrix}$

$= (\frac{7}{3}, - \frac{7}{3}, \frac{8}{3})$

Svar: $P (\frac{7}{3}, - \frac{7}{3}, \frac{8}{3})$

Mer om

Denne oppgaven er om

Plan

Et plan har uendelig utstrekning i to dimensjoner. Vi kan tenke på ei slett, uendelig tynn papirflate.

plan

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

Koordinat

Koordinatene til et punkt måles langs aksene i et koordinatsystem og forteller nøyaktig hvor vi finner punktet.

Eksempel: I punktet (1,3) er 1 førstekoordinat og 3 er andrekoordinat.

Se Koordinatsystem

koordinat

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Parallelle vektorer.

c)

Et plan $β$ er gitt ved

$2 x + y - 2 z = 0$

Dette planet skjærer kuleflaten langs en sirkel.

Bestem radien i denne sirkelen.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Sentrum i sirkelen som består av skjæringspunktene mellom planet $β$ og kuleflaten må være nøyaktig det punktet i $β$ som er nærmest punktet $S$ .

Som i oppgave $5 a)$ finner vi avstanden mellom punktet $S$ og planet $β$ ved først å velge et punkt $A$ i $β$ for deretter å beregne

$d = | \vec{S A} \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} |$ .

Siden likningen for $β$ ikke har noe konstantledd ligger $O (0, 0, 0)$ i $β$ . Det betyr at

$d = | \vec{S A} \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} | = |- \vec{O S} \cdot \frac{[2, 1, - 2]}{3}| = |- [11, 2, - 6] \cdot \frac{[2, 1, - 2]}{3}|$

$= |\frac{22 + 2 + 12}{3}| = |\frac{36}{3}| = 12$

Hvis $N$ er det punktet i planet $β$ som er nærmest $S$ og $P$ er et annet punkt i $β$ vil alltid $△ N S P$ være rettvinklet. Siden alle punkter på kuleflaten har avstand $R = 13$ fra $S$ følger det fra pythagoras læresetning at radien $r$ i sirkelen er $\begin{matrix} r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} = \sqrt{13^{2} - 12^{2}} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 . \end{matrix}$

Svar: $r = 5$

Mer om

Denne oppgaven er om

Plan

Et plan har uendelig utstrekning i to dimensjoner. Vi kan tenke på ei slett, uendelig tynn papirflate.

plan

Sirkel

Sirkel brukes i to betydninger:

1) Selve sirkellinjen som er den krumme linjen som går gjennom punktene som har samme avstand fra et fast punkt, nemlig sentrum i sirkelen. Dette er det samme som sirkelen sin omkrets.

2) Flaten som sirkellinjen begrenser.

Areal: $A = π r^{2}$
Omkrets: $O = 2 π r$

sirkel

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektor

Pytagoras læresetning

Pythagoras læresetning

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Likning til et plan.

Visste du at

Siden planet $α$ og planet $β$ har samme normalvektor er planene parallelle. Siden Origo ligger i $β$ og avstanden fra $α$ til Origo må være én, følger det videre at avstanden mellom planene $α$ og $β$ er én. Derfor må avstanden fra $S$ til $β$ være $R - 1 = 13 - 1 = 12$ .

REA3024 2014 Høst

Del 1

Del 2

Eksamensinformasjon

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (3 poeng) Nettkode: E-4DEQ

a)

Løsningsforslag a)

Cosinus

Sinus

Derivasjon

b)

Løsningsforslag b)

Eksponentialfunksjon

Sinus

Cosinus

Derivasjon

Oppgave 2 (3 poeng) Nettkode: E-4DET

a)

Løsningsforslag a)

Integrasjon

Polynom

Derivasjon

b)

Løsningsforslag b)

Integrasjon

Logaritme

Oppgave 3 (4 poeng) Nettkode: E-4DEW

a)

Løsningsforslag a)

Integrasjon

Logaritme

Eksponentialfunksjon

Differensiallikning

b)

Løsningsforslag b)

Stigningstall

Tangent

Graf

Lineære funksjoner

Funksjon

Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4DEZ

a)

Løsningsforslag a)

Alternativ løsning

Plan

Normalvektor

Ligning

b)

Løsningsforslag b)

Tetraeder

Volum

Vektor

Linje

Koordinat

Punkt

Oppgave 5 (4 poeng) Nettkode: E-4DF4

a)

Løsningsforslag a)

Integrasjon

Graf

Intervall

Areal

b)

Løsningsforslag b)

Nullpunkt

Intervall

x-akse

y-akse

Areal

Oppgave 6 (4 poeng) Nettkode: E-4DF8

a)

Løsningsforslag a)

Trigonometriske funksjoner

Pi (π)

Gjennomsnitt

Toppunkt

Graf

b)

Løsningsforslag b)