Andre ordens differensiallikninger
Lineære homogene andreordens differensiallikninger er på formen eller med enklere notasjon, hvor og er konstanter.
Gitt en differensiallikning på formen så er andregradslikningen den karakterestiske likningen til differensiallikningen.
Om kan vi betrakte likningen Løser vi denne separable likningen har vi for en konstant . Merk at den karakteristiske likningen har løsning . Vi skal nå se at også for andreordens likninger så gir løsningene til den karakteristiske likningen oss informasjon om løsningen til differensiallikningen:
En, to eller ingen løsninger
La likningen være gitt, og betrakt den karakteristiske likningen .
i) Om den karakteristiske løsningen har kun en løsning eller ingen løsninger, her differensiallikningen den generelle løsningen
ii) Om den karakteristiske likningen har to forskjellige løsninger og , så har differensiallikningen den generelle løsningen
iii) La differensiallikningen være gitt. Om den karakteristiske likningen ikke har løsninger, slik at andregradsformelen gir et uttrykk på formen , så har differensiallikningen den generelle løsningen
Forklaringer
To løsninger
Vi sjekker at er en løsning. Vi kan derivere og sette inn i den originale likningen: Om vi setter dette inn for og i uttrykket , får vi at
Vi kan rydde opp i uttrykket for å få Men og var løsninger av den karakteristiske likningen . Dermed er uttrykket over , og vi har vist at er en løsning. Dette er ingen fullverdig bevis da vi kun har vist at uttrykk på denne formen er en løsning og ikke at alle løsninger av likningen er på denne formen. For å vise at alle løsninger av likningen er på formen beskrevet ovenfor trenger vi mer avanserte verktøy.
Ingen løsninger
Vi ser nå på tilfellet hvor den karakteristiske likningen ikke har løsninger. Om likningen er gitt, vet vi at løsningene av den karakteristiske likningen er gitt ved For at løsningene ikke skal eksistere, må vi ha at ikke eksisterer. Vi vet at dette bare skjer om , og det følger at . Vi kan da skrive «løsningene» våre som Siden så eksisterer roten av dette tallet: kall den . Da får vi «løsninger» på formen For fullstendig forklaring se artikkelen i høyrespalten Komplekse tall og differensiallikninger. Inntil videre tar vi følgende for gitt: La differensiallikningen være gitt. Om den karakteristiske likningen ikke har løsninger, slik at andregradsformelen gir et uttrykk på formen så har differensiallikningen den generelle løsningen
Eksempel 1
Vi løser likningen Den karakteristiske likningen er og har løsningene og . Dermed følger det av teorem ii) over at den generelle løsningen er gitt ved
Eksempel 2
Vi løser likningen Den karakteristiske likningen er og har dermed kun løsningen . Det følger av teorem i) at den generelle løsningen er gitt ved Anta at vi har en initialverdi for likningen, for eksempel at . Da vet vi at og vi har løsningen Merk at vi kun klarte å bli kvitt den ene konstanten: når vi jobber med differensiallikninger av andre orden trenger vi også en initialverdi på . Om vi antar at , så vet vi at ved produktregelen, slik at som gir . Dermed har vi funnet den entydige løsningen
Eksempel 3
Vi løser likningen Den karakteristiske likningen er , og vi får løsningene . Med notasjonen i teorem iii) er og , noe som gir løsningen
Del på Facebook
Lynkurs 11.-13.trinn
Differensiallikninger
Består av:
- Integrasjon, første eksempel
- Separable differensiallikninger
- Integrerende faktor
- Andre ordens differensiallikninger
- Udempet og dempet svinging
- Ingen løsninger