Mer kompliserte likninger

Omskriving til tangens

Følgende likninger kan løses ved omskriving til tangens:

$$\begin{array}{cc}i)& a\sin \left(x\right)+b\cos \left(x\right)=0\end{array}$$ 
$$\begin{array}{cc}ii)& a\sin {}^2\left(x\right)+n\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)+c\cos {}^2\left(x\right)=0\end{array}$$

I den første dividerer vi med $\cos x$ på begge sider, og får $a\tan x+b=0$. Dette gir grunnlikningen $\tan x=-\frac{b}{a}$.

I den andre dividerer vi med ${\cos }^{2}x$ og får en annengradslikning i tangens: $$a{\tan }^{2}x+b\tan x+c=0$$ Denne løser vi med $abc$-formelen på vanlig måte. Hver av løsningene av annengradslikningen gir til slutt en grunnlikning i tangens.

Bruk av enhetsformelen før omskriving til tangens

Metoden over fungerer ikke uten videre dersom likningene har et tall forskjellig fra null på høyre side. Men i tilfelle ii) er det lett å kvitte seg med slike konstantledd. For å løse $$a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\cos }^{2}x=d,$$ bruker vi bare yndlingsformelen ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ til å skrive høyresiden som $$d=d{\sin }^{2}x+d{\cos }^{2}x.$$ Flytter vi begge de nye leddene over til venstre side, står vi igjen med $$(a-d){\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+(c-d){\cos }^{2}x=0.$$


Dermed er likningen på samme form som ii), og vi kan dividere med ${\cos }^{2}x$ og ende med en annengradslikning i tangens, akkurat som før.

Omskriving til standardform

Tilfelle i) krever litt mer jobb dersom det ikke står $0$ på høyre side:


En fin teknikk er å skrive om venstresiden til standardform, som vi skal studere nærmere i neste seksjon. Dette går ut på å finne konstanter $A$ og $\phi$ slik at

Den opprinnelige likningen blir dermed redusert til $A\sin (x+\phi )=c$, som kan løses som en grunnlikning. Hvis du blir forvirret av at argumentet til sinus er $x+\phi$ i stedet for bare $x$, kan du godt sette $u=x+\phi$ og løse med hensyn på $u$ først. For eksempler se artikkelen Omskriving til standardform.

 
Annengradslikning i sinus eller cosinus

Hvis likningen inneholder ${\sin }^{2}x$ og/eller ${\cos }^{2}x$, men ikke blandingsledd av typen $\sin x\cos x$, er ideen som regel å lage en annengradslikning i enten $\sin x$ eller $\cos x$. Nok en gang kan enhetsformelen være nyttig.

For eksempel, i likningen

skriver vi ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ og får


Etter litt opprydding gir dette annengradslikningen

$$2{\cos }^{2}x-3 \cos x+2=0,$$

som vi løser ved $abc$-formelen. Resultatet blir de to grunnlikningene $\cos x=\frac{1}{2}$ og $\cos x=1$.