Komplekse tall

For å kunne snakke om hvordan Mandelbrotmengden oppstår, må vi se nærmere på komplekse tall.

Nå små barn begynner å lære tall møter de først de naturlige tallene, 0 og de positive heltallene:

N = {0,1,2,3,4,...}

Dernest kommer de negative heltallene slik at vi har alle heltallene samlet:

Z = {...,-2,-1,0,1,2,...}

Så kommer brøker med heltallig teller og nevner, som blir de rasjonale tallene.

Vi lærer tidlig å sette tallene på en tallinje, men tallinja blir ikke et kontinuerlig følge med tall før vi også tar med de irrasjonale tallene, de som ikke kan skrives som brøk med heltallig teller og nevner. $\sqrt{2}$, π og e er noen eksempler på irrasjonale tall.

De fleste av oss stopper med de reelle tallene (R) som er den kontinuerlige tallinja med rasjonale og irrasjonale tall.

Noen ganger har vi imidlertid behov for å utvide tallene ytterligere og gir alle tallene en imaginær del og kaller dem komplekse tall.

Komplekse tall kan skrives på formen

$a+ib$

hvor a og b er reelle tall, og i er den imaginære enheten. Den imaginære enheten er gitt ved

$i=\sqrt{-1}$

Dette strider mot "barnelærdommen" at man ikke kan ta rota av negative tall, men i mange tilfeller er det praktisk å tillate dette.

Med de komplekse tallene får ikke alle tallene plass på den vanlige tallinja, vi trenger et plan. Førsteaksen tilsvarer de reelle tallene, eller komplekse tall hvor b = 0. Andreaksen tilsvarer alle imaginære tall, komplekse tall hvor a = 0.

Med det komplekse planet på plass, er vi klare til å fortsette med fraktalene.