Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Sierpinskitrekanten - fra flate

 

Start med en likesidet trekant, generasjon 0. Del trekanten i 4 like store likesidede trekanter, fjern den midterste - generasjon 1. Del alle gjenværende trekanene i 4 like store likesidede trekanter, fjern alle de midterste trekantene, generasjon 2. Del alle gjenværende trekanene i 4 like store likesidede trekanter, fjern alle de midterste trekantene, generasjon 3.

For å forenkle utregningene settes arealet til figuren i generasjon 0 til 1.

Algoritme

Start med en fargelagt, likesidet trekant.

  1. Del trekanten i fire like store likesidete trekanter ved å trekke linjer mellom midtpunktene på sidene.
  2. Fjern den midterste trekanten.
  3. Del alle de gjenværende trekantene fra punktet før, i fire like store likesidede trekanter.
  4. Fjern de midterste trekantene.
  5. Gjenta punkt 3 og 4.

Her kan vi se på samlet areal (A) og omkrets (O) for de gjenværende trekantene.

A=(34)n

O=3+Σn=1(32)n

Her er n generasjon nummer n.

Etter hvert som vi fjerner trekanter går arealet naturlig nok mot 0, men samlet omkrets går mot uendelig.

Denne fraktalen kan også lages av trekanter som ikke er likesidede så lenge man går ut fra sidenes midtpunkt når man deler trekantene i fire.