Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Mandelbrot og Julia

Før du leser dette er det viktig at det komplekse planet er på plass. Har du ikke lest om komplekse tall og det komplekse planet bør du lese om det før du leser dette.

Tilbake til formelen fc(z)=z2+c. Til denne formelen hører det såkalte Julia-mengder, oppkalt etter matematikeren Gaston Julia. Julia-mengden(e) kommer fram ved gjentatte beregninger med formelen over. Vi velger en kompleks verdi c, og et startpunkt z0. Så gjør vi gjentatte utregninger av funksjonen på følgende måte:

z0, fc(z0), fc(fc(z0)), fc(fc(fc(z0))), osv.

Vi vil nå se to typer oppførsel alt etter hvilken z0 vi velger: enten vil følgen over gå mot uendelig, eller den vil ligge i en begrenset del av planet.

I grafiske framstillinger markeres som regel z0-verdier som gir en endelig tallfølge med svart, mens de øvrige får en fargekode. Julia-mengden til funksjonen ligger på grensen mellom de to typene oppførsel.

En Julia-mengde kan enten være sammenhengende eller usammenhengende, avhengig av hvilken c-verdi vi velger. Bildene under viser Julia-mengdene for c = 0,255 (usammenhengende) og c = 0,6i (sammenhengende).

Sammenhengende Julia-mengde med c=0,255. Sammenhengende Julia-mengde med c=0,6i.


Mandelbrot-mengden er de c-verdiene som gir en sammenhengende Julia-mengde. Det betyr at om man velger c-verdier som ligger i de svarte områdene, vil Julia-mengden være sammenhengende. Velger man c-verdier utenfor de svarte områdene, vil Julia-mengden bli usammenhengende.

Julia-mengder hvor c er både reell, imaginær og kompleks.

 

c=i c=-1
c= -12+0,74i c=0,255 (sentrert på 0,85i og forstørret ca. 12 ganger)

 

c=0

Julia-mengder hvor c endres systematisk.

Start for begge er c = 0, som på bildet.

 

Reell del økes med 0,1 for hvert steg Imaginær del økes med 0,1 for hvert steg

Eksemplene over er laget med demoversjonen av programmet Ultra Fractal.