www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt
Tilbake til eksamensoversikten

Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.


Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

AkerBP PGS

REA3022 2013 Høst

Eksamenstid:

5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:
Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Du skal svare på alle oppgavene i Del 1 og Del 2.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

  • viser regneferdigheter og matematisk forståelse
  • gjennomfører logiske resonnementer
  • ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
  • kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
  • vurderer om svar er rimelige
  • forklarer framgangsmåter og begrunner svar
  • skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger

Andre opplysninger:
Kilder for bilder, tegninger osv.

  • Alle grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (5 poeng) Nettkode: E-4CVE

Deriver funksjonene

a)

fx=2e3x

Løs oppgaven her

b)

gx=2xln3x

Løs oppgaven her

c)

hx=2x-1x+1

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (3 poeng) Nettkode: E-4CVI

Polynomfunksjonen P er gitt ved

Px=x3-6x2+11x-6

a)

Vis at divisjonen Px:x-1 går opp, uten å utføre divisjonen.

Løs oppgaven her

b)

Utfør polynomdivisjonen og løs ulikheten Px0.

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4CVL

ΔABC er AB=10,0 cm og C=90 . Høyden h  fra C til AB er 4,0 cm.

Konstruer ΔABC gitt at BC er den lengste kateten. Forklar hva du har gjort.

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4CVN

En elev skulle løse en likning og begynte slik:

23x-1=22+22+22+22

23x-1=422

Fullfør løsningen av likningen.

Løs oppgaven her

Oppgave 5 (4 poeng) Nettkode: E-4CVP

Vi har gitt vektorene  a=1, 3b=3, 2 og c=-1, 2.

a)

Tegn vektorene  u=a+2b  og  v=b-2c  i et koordinatsystem.

Løs oppgaven her

b)

Avgjør ved regning om  uv.

Løs oppgaven her

Oppgave 6 (5 poeng) Nettkode: E-4CVS

En funksjon f er gitt ved

fx=-13x3+2x2 ,       Df

a)

Bestem f'x og f''x.

Løs oppgaven her

b)

Bestem koordinatene til eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til f.

Løs oppgaven her

c)

Lag en skisse av grafen til f. Bruk denne til å avgjøre for hvilke x-verdier f'x>0 og samtidig f''x<0.

Løs oppgaven her

Oppgave 7 (3 poeng) Nettkode: E-4CVW

To sirkler S1 og S2 er gitt ved

S1 :  x2+y2=25

S2 :  x-a2+y2=9

a)

Tegn sirklene i et koordinatsystem når a=6.

Løs oppgaven her

b)

For hvilke verdier av a vil sirklene tangere hverandre?

Løs oppgaven her

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng) Nettkode: E-4CW0

Når grafen til en polynomfunksjon tangerer x-aksen i  x=a, har funksjonen minst to like (sammenfallende) nullpunkter i  x=a.

På figur 1 tangerer en graf x-aksen i x=2 og krysser y-aksen i y=8. På figur 2 tangerer en graf x-aksen i x=3, krysser y-aksen i y=9 og krysser x-aksen i x=-1. På figur 3 tangerer en graf x-aksen i x=-2 og x=2 og krysser y-aksen i y=8.

a)

Grafen til en andregradsfunksjon f er vist på figur 1. Grafen tangerer x-aksen i x=2.

Forklar at fx=2x-22

Løs oppgaven her

b)

Grafen til en tredjegradsfunksjon g er vist på figur 2. Grafen tangerer x-aksen i x=3.

Forklar at funksjonsuttrykket til  g kan skrives på formen gx=kx-32x+1

Bestem k.

Løs oppgaven her

c)

Grafen til en fjerdegradsfunksjon h er vist på figur 3. Grafen tangerer x-aksen i x=-2 og i x=2.

Bestem funksjonsuttrykket hx.

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (4 poeng) Nettkode: E-4CW4

Funksjonen f er gitt ved

fx=2x-1x+1  ,    Df=\-1

a)

Bestem asymptotene til f. Tegn grafen til f med asymptoter.

Løs oppgaven her

b)

Funksjonen g er gitt ved

gx=x-1  ,   Df=

Bestem skjæringspunktene mellom grafene til f og g ved regning.

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (6 poeng) Nettkode: E-4CW8

Skisse av grafen til f og rektanglet PSRQ.

Figuren til høyre viser grafen til funksjonen f gitt ved                   

fx=x2+21  ,   x0,

Rektangelet  PSRQ  lages slik at  P  ligger på grafen til  f, punktene  S og  R ligger på  x-aksen, og R og  Q har førstekoordinat x=12. Punktet  S  ligger mellom origo og  R.

a)

Forklar at arealet av rektanglet  PSRQ  kan skrives som

Ax=-x3+12x2-21x+252  ,     x0, 12

Løs oppgaven her

b)

Bestem A'x og bruk denne til å bestemme største og minste verdi som arealet av rektanglet kan ha.

Løs oppgaven her

c)

Tegn grafen til A, og kontroller om svarene dine fra oppgave b) stemmer.

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4CWD

En sirkel med radius r  og sentrum i origo er gitt ved

x2+y2=r2

Punktet Px, y er et vilkårlig punkt på den øvre halvsirkelen. Se skissen nedenfor.

Skisse av den øvrige halvsirkelen. A og B er punktene der sirkelbuen krysser x-aksen.

a)

Bestem koordinatene til punktene  A og  B uttrykt ved r .

Bestem vektorkoordinatene til  PA og  PB .

Løs oppgaven her

b)

Vis ved vektorregning at APB=90.

Løs oppgaven her

Oppgave 5 (6 poeng) Nettkode: E-4CWG

Ved en videregående skole skal elevene velge fag. Hendelsene  M  og  F  definerer vi slik:

 M : Eleven velger matematikk.

 F :  Eleven velger fysikk.

Vi får opplyst at PM=0,64PF=0,32 og PMF______=0,30.

a)

Bestem PMF og PMF- .

Løs oppgaven her

b)

Bestem PF|M . Undersøk om hendelsene M og F er uavhengige.

Løs oppgaven her

c)

Bruk Bayes’ setning til å bestemme PM|F.

Løs oppgaven her

Oppgave 6 (8 poeng) Nettkode: E-4CWK

I et koordinatsystem har vi gitt punktene A-3, -3B3, 1 og D-2, 2.

a)

Bestem BAD og arealet av ΔABD .

Løs oppgaven her

b)

Et punkt  C er gitt ved at DCAB og ABC=90.

Bestem ved regning koordinatene  til C .

Løs oppgaven her

c)

En parameterframstilling for linjen  l  som går gjennom C  og D, er gitt ved

l:x=-2+3ty=2+2t

Et punkt E har koordinatene s, 2s-2.

Bestem ved regning en verdi for  s  slik at  E  ligger på  l.

Løs oppgaven her

d)

Bestem koordinatene til punktet E når  AE=BE.

Løs oppgaven her

Oppgave 7 (2 poeng) Nettkode: E-4CWP

Løs likningen med hensyn på  x

n2xnlgx-2=x2   ,    x>0  n>0

Løs oppgaven her