www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Høyere ordens deriverte

Den deriverte av en funksjon er en funksjon, og vi kan derfor derivere den flere ganger. Når vi deriverer en funksjon flere ganger kaller vi det høyere ordens deriverte.

Eksempel

Oppgave. Finn den andre ordens deriverte av fx=x4.

Løsning. Vi deriverer først én gang:

            f'x=4x3,

og så deriverer vi f'x for å få f''x:

            f''x=f'x=4x3'=12x2

Vi skriver f''x for den andrederiverte,  f'''x for tredjederiverte og så videre. Vi kan også skrive f(n)x for den n-te deriverte, altså f derivert n ganger.

Illustrerende eksempel

Men hvorfor høyere ordens deriverte? Her er et eksempel, men du kan finne flere bruksområder i lynkurset om funksjonsdrøfting.

Funksjonen sx angir hvor langt en bil har kjørt ved tiden x. Vi finner hastigheten til bilen ved å derivere funksjonen sx. Den deriverte gir nemlig endringen til funksjonen per x, altså hvor langt bilen kjører per tid. Det er jo nettopp det hastigheten er: meter per sekund, endring i plassering per tid.

Så langt, så godt, men hva skjer hvis vi deriverer s'x igjen? Vi skriver s''x. Da får vi endringen i fart per tid. Dette gir hvor mye farten stiger eller synker. Men dette er jo akselerasjonen!

Vi har altså at hvis sx er plasseringen, er s'x farten og s''x akselerasjonen.

GeoGebra-eksempler

Trykk på GeoGebra-arket under for å se noen forskjellige funksjoner. Her kan du bruke funksjonsvelgeren for å bytte hva som er lagt inn som fx, og få se første-, andre- og tredjeordens derivert. Prøv å tegne for deg selv på forhånd hva disse kommer til å være før du ser på dem – det går an å se det bare av funksjonen (og kanskje noen av de deriverte).

Deriverte

Publisert: 25.06.2014 Endret: 13.12.2014