www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Kjerneregelen

Noen funksjoner er det vanskelig å se hvordan vi skal derivere fordi de er sammensatte. Da bruker vi en nyttig og viktig regel som heter kjerneregelen.

Vi vil derivere utrykket  fx=x2+cosx2. Da må vi bruke kjerneregelen. Den bruker vi for funksjoner som kan oppfattes som sammensatte, det vil si at vi kan tenke på dem som en funksjon inni en annen funksjon.

Her for eksempel kan vi tenke oss at vi har en funksjon ux=x2+cosx inni en annen funksjon gu. Da blir fx=gux=x2+cosx2.

Vi kaller gu den ytre funksjonen og ux kjernen eller den indre funksjonen.

Kjerneregelen er som følger:

Kjerneregelen

La f og g være deriverbare funksjoner. Da gjelder:

f'x=gux'=g'uu'x

Strategi for bruk av kjerneregelen:

1. Finn en kjerne/en indre funksjon. Du leter etter et utrykk som er slik at hvis du erstatter det med u, får du et utrykk du vet hvordan du skal derivere.

Eksempler:

Funksjonen fx Kjernen u Den ytre funksjonen gu
fx=lnx u=lnx gu=u
fx=sinx2 u=x2 gu=sinu
fx=2+cosx6 u=2+cosx gu=u6

 

2. Så deriverer vi kjernen/den indre funksjonen, u(x), og den ytre funksjonen, g(u), for seg.

 Eksempel:

Funksjonen fx

Kjernen u Den ytre funksjonen  gu

Den deriverte av de to

fx=lnx  u=lnx gu=u

 u'x=lnx'=1x

g'u=u'=12u

 

3. Til slutt multipliserer vi sammen den deriverte av kjernen, u'x, og den deriverte av den ytre funksjonen, g'u, og setter inn utrykket for u igjen.

Eksempel:

La oss ta eksempelet fra 2. med fx=lnx. Vi har kjernen ux=lnx, og ytre funksjon gu=u.Vi får:

f'x=g'uu'x=12u1x=12xlnx__

Publisert: 03.04.2014 Endret: 28.11.2014