www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Logaritmelikninger

Hva kjennetegner en logaritmelikning?

Eksempler på logaritmelikninger er

logx+2=4,

4logx4-2logx2+14=0,

log2x=4,

og lnx-42=2.

Husk: hvis det bare står log så er grunntallet 10 og ln har grunntall e2,71828182845.

Vi repeterer en viktig regel:

REGEL

For to positive tall a og b gjelder

alogab=b  

For grunntall 10 gjelder det 10logb=b.

Løsningsmetode

1. Sørg for at logx står alene på en side av likningen. Vi bruker vanlige regler for likningsløsning for å få logx alene på én side.

2. Opphøy grunntallet i logaritmen med hver side av likningen.

Eksempel 1

Vi løser logx+2=4.

1. Vi sørger for at uttrykket med logaritme står alene på en side av likningen:

logx+2-2=4-2 

logx=2

2. Siden grunntallet i dette tilfellet er 10, opphøyer vi hver side av likningen:

10logx=102

Vi bruker så regelen over og får at x=100.

Regler for logaritmer

Det er viktig å kjenne til logaritmereglene når man skal løse logaritmelikninger.

Regel

For tall a, b og n, der a og b er positive gjelder

 logab=loga+logb,

 logan=nloga.

Eksempel 2

Løs likningen 3lnx-7=-2+lnx.

3lnx-7=-2+lnx Samler ln-utrykk på venstresiden og konstanter på høyresiden,
2lnx=5 vi deler på 2 på begge sider,
lnx=52 vi opphøyer e2,71828182845 på begge sider,
elnx=e52 den naturlige logaritmen ln har e som grunntall får vi ved regelen over:
x=12,182 ... og vi har svaret!

Eksempel 3

Løs likningen logx+2=2logx.

Vi vet at  logan=nloga. Derfor er 2logx=logx2 og dermed får vi

logx+2=logx2.

Nå opphøyer vi 10 på begge sider:

10logx+2=10logx2 

x+2=x2

0=x2-x-2

Denne likningen løser vi som en vanlig andregradslikning (se i høyrespalten) og vi får at

x=-1x=2.

Viktig: Sett prøve på svaret! Den negative løsningen er ikke gyldig løsning da vi ikke kan ta logaritme til et negativt tall. Derfor er x=2 den eneste løsningen.

Eksempel 4

Vi har likningen logx2+2logx5-3+3logx6=0.

logx2+2logx5-3+3logx6=0 Vi legger til 3 på begge sider,
 logx2+2logx5+3logx6=3 vi bruker regel 2,
 2logx+23logx+36logx=3 vi summerer opp logaritmeutrykkene,
 26logx=3 vi deler på 26,
logx=326 vi opphøyer 10 på begge sider,
x=103261,304 ... og vi har løst likningen.

Eksempel 5

Løs likningen logx2-logx-2=0.

Først utfører vi en substitusjon. La u=logx slik at likningen ser ut som

u2-u-2=0

Dette er en

Andregradslikning

En likning hvor x opptrer i andre potens. Man kan alltid rydde en slik likning så den får formen ax2+bx+c=0.

andregradslikning
. Løs likningen (se i høyrespalten) og du vil få at u=-1u=2. Bruk nå disse løsningene til å faktorisere venstresiden i den andregradslikningen (se i høyrespalten):

 u+1u-2=0

Vi setter inn igjen logx for u:

logx+1logx-2=0

Vi observerer at likningen er oppfylt når en av parentesene er lik 0, altså enten er

logx+1=0

logx=-1

x=10-1=0,1

eller

logx-2=0

logx=2

x=102=100.

Likningen har to løsninger, x=0,1x=100.

 

For flere eksempler se i høyrespalten Logaritmelikninger.

Publisert: 29.07.2013 Endret: 04.08.2015