www.matematikk.org
Trinn 8-10Elever Trinn 8-10Lærer Trinn 8-10Foresatt

Pytagoras læresetning

Pytagoras læresetning er veldig populær blant spilldesignere. Den blir bruk til å regne ut avstanden fra en gjenstand til en annen. Vi skal se nå på hvordan vi vet i spillet Angry Birds om fuglen treffer en gjenstand eller ikke.

Man bruker pytagoras setning til å regne ut avstanden mellom to gjenstander for å sjekke om de kolliderer eller ikke. Som du kan se i figuren er det en sirkel rundt både grisen og fuglen. Dersom hypotenusen til trekanten er mindre eller lik radiusen til den lilla og den mørke blå sirkelen til sammen, så vil spillet forstå at de to karakterne har kollidert. Det er sånn du får poeng i Angry Birds. Takket være Pytagoras' setning!

 

I en rettvinklet trekant kalles hver av de to korteste sidekantene for katet. Den lengste siden kalles hypotenus. En vanlig motivasjon for setningen er følgende tegning av den kjente 3-4-5-trekanten:

Tre kvadrater. Den øverste til venstre er 5 ganger 5, den minste til høyre er 3 ganger 3 og den nederste er 4 ganger 4. Slik de er plassert danner de en trekant.

Vi ser at kvadratet over de to katetene til sammen har samme areal som kvadratet av hypotenusen. Mer presist sier vi at i en rettvinklet trekant er summen av arealene til kvadratene på katetene lik arealet til kvadratet på hypotenusen.

Pytagoras’ setning lyder:

a2+b2=c2

 

Høyden i trekanten er katet b. Grunnlinjen er katet a og den siste siden er hypotenusen c.


Den omvendte setningen til Pytagoras læresetning gjelder også:

Dersom vi har en trekant med sidelengder a, b og c som oppfyller kravet a2+b2=c2, er dette en rettvinklet trekant. Den rette vinkelen er motstående til den lengste siden.

Det er viktig å huske at Pytagoras læresetning kun gjelder for rettvinklede trekanter.

Bevis for Pytagoras’ læresetning

Det fins hundrevis av mer eller mindre forskjellige bevis for Pytagoras læresetning. Ideen i det beviset vi tar med her, er å regne ut arealet innefor ett og samme kvadrat på to forskjellige måter.

Et lite blått kvadrat inne i et stort gult kvadrat. Det blå kvadratet står litt på skrått slik at det vi ser igjen av det gule kvadratet er fire trekanter der høyden er a og grunnlinjen er b. Lengden på sidene på det store gule kvadratet er a + b.

Vi skal sammenlikne to uttrykk for arealet av de fire (gule) trekantene.

Vi finner først arealet A av de fire trekantene ved å beregne arealet av hele det store kvadratet, som er (a+b)2, og trekker fra arealet c2 av det lille (blå) kvadratet.

A=(a+b)2c2=a2+2abc2

Arealet av de fire (gule) trekantene er lik

A=412ab=2ab

Men det betyr at

a2+2ab+b2c2=2ab

som gir

a2+b2=c2

         
Og det er jo nettopp innholdet i Pytagoras læresetning.

 

Eksempel 1.

Hvor lang er hypotenusen i trekanten der begge katetene er 2cm?

En rettvinklet og likebeint trekant. De to like sidene er 2 cm lange.

For å finne lengden c cm til hypotenusen bruker vi Pytagoras læresetning:

c2=a2+b2

 c2=4+4=8 

Det betyr at lengden til hypotenusen er c=8cm2,8cm.

Eksempel 2.

Vi så over på en rettvinklet trekant med kateter som er 3cm og 4cm lange. Kontroller at hypotenusen da ifølge Pytagoras setning er 5cm lang.

Publisert: 10.08.2013 Endret: 17.11.2016

Begrep

  • Areal

    Mål for hvor stor flate en figur dekker. Noen måleenheter for areal er m2, cm2 og dm2.

  • Kvadrat

    Kvadrat

    En firkant der alle sider er like lange og alle vinkler 90°.

  • Kvadratrot

    Kvadratroten av et positivt tall, for eksempel 16, er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir 16. Kvadratroten av 16 er altså +4. Det skrives 16=4.

    Generelt: Kvadratroten av et positivt tall T er det positive tallet k som multiplisert med seg selv gir T.

    OBS.
    - En kan ikke trekke roten av et negativt tall.
    - Roten er alltid positiv

  • Rettvinklet trekant

    En rettvinklet trekant er en trekant hvor en av vinklene er rett (90 grader).