www.matematikk.org
Trinn 8-10Elever Trinn 8-10Lærer Trinn 8-10Foresatt

En kule

Hvordan vi kommer frem til formlene for å beregne overflateareal og volum av ei kule, krever mer avansert matematikk enn vi har mulighet til å gå inn på her. Derfor skal vi begynne med å se på ei halvkule.

En kule.

Vi tenker oss at ei halvkule ligger oppå en sirkel med samme radius og dekker helt nøyaktig hele sirkelen. Halvkula har et overflateareal som er en god del større enn arealet til sirkelen. Halvkula har faktisk akkurat dobbelt så stor overflate som arealet til sirkelen med samme radius. Det betyr at arealet på ei halvkule med radius r er lik 2πr2. Og overflaten til hele kula er selvsagt to ganger dette. Vi slår derfor fast:

Ei kule med radius r har et overflateareal

A=4πr2

Hva er kulas volum? La oss tenke oss at kula er satt sammen av mange syltynne pyramider, alle med spissen i kulas sentrum og høyden lik radius i kula.

En kule hvor vi har fjernet alt av kula utenom en syltynn pyramide med spissen i sentrum og høyde lik radiusen til kula.

Den samlede grunnflaten i alle pyrami­dene er lik kulas overflate A=4πr2. Og disse pyramidene har alle samme høyde som kulas radius r. Det betyr at kulas volum er

V=13Ar

Husk at pyramidens volum er grunnflaten multiplisert med høyden dividert på tre, Vp=Gh3 , hvor G er grunnflaten. Dermed er volumet av kula lik overflaten av kula multiplisert med radiusen dividert på tre.

 V=134πr2r=43πr3 

Vi kan oppsummere. Ei kule med radius r har

  • overflateareal lik  A=4πr2.
  • volum lik  V=43πr3.

Hvordan vi utleder formelen for volum av kuler og kjegler, lærer du senere. Men hvis du vil ta en titt, se i høyrespalten der Halvar viser deg akkurat dette.


Eksempel

På en fabrikk skal de opprette et lager for flytende ammoniakk. Dette skal lagres på store, kuleformede ståltanker, og hver av tankene bør romme minst 10000 m3. Spørsmål vi kan stille er mange:
- Hvor stor radius og diameter må disse tankene ha?
- Hvor mange kvadratmeter stålplater som går med på å lage tankene?
- Hvor mye vil tomme tanker veie?
- Hvor mye veier tankene når de er fulle?
- Hvordan må dimensjonene være for at de skal tåle trykket av ammoniakken?

Vi begynner med å se på de ytre dimensjonene:

Av formelen for volumet av ei kule kan vi bestemme radius r=x meter for en tank:

43πx3=10000 gir x3=34π10000

Vi regner ut og finner at 34π0,24 og dermed kan vi sette x3=2400 m3. Videre finner vi at x, radiusen, blir  2400313,4.

 

Bedriftsledelsen bestemmer seg for å bygge ståltanker med radius 14 meter. Diameteren er da 28m. En slik ståltank får et volum på

V=43πr3=43π143 m311500 m3

 

Hvor mange kvadratmeter stålplater trengs? Det må legges et påslagg på 8% for svinn ved tilkapping:

Vi ser at tankenes overflateareal blir

A=4πr2=4π142 cm22460 m2

Når vi tar hensyn til svinnet, ser vi at det trengs 1,082460 m22660 m2 plater.

Legg merke til at dersom svinn utgjør 8%, ville vi måttet dividere overflatearealet med 0,92. Husk alltid å være nøye med hva prosentgrunnlaget er.

 

Publisert: 10.08.2013 Endret: 26.10.2016

Tilsvarende emner behandles også i

Begrep

  • Areal

    Mål for hvor stor flate en figur dekker. Noen måleenheter for areal er m2, cm2 og dm2.

  • Arealenheter

    Mål for flater (areal):
    1 m² = 1 m · 1 m = 10 dm · 10 dm = 100 dm²
    1 dm² = 1 dm · 1 dm = 10 cm · 10 cm = 100 cm²
    1 cm² = 1 cm · 1 cm = 10 mm · 10 mm = 100 mm²


    Spesielt:
    1 ar = 100 m2
    1 dekar = 10 ar = 1000 m2 = 1 mål
    (deka betyr 10)

  • Kule

    Kule

    En kule er en tredimensjonal figur der alle punktene på kulens overflate (sfære) har en fast avstand (radius) til ett bestemt punkt (sentrum).

  • Lengde

    Lengde er målet for avstand. Lengden måles langs linjer, både rette og buete.
    Enheten for lengde er meter, eller andre mål avledet fra meter.

  • Volum

    Volum er et måltall som uttrykker tre-dimensjonal (bredde, lengde og høyde) utstrekning i rommet. Måleenheten er kubikkmeter (m³) som er lik volumet av en terning med sider lik en meter.