Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

REA3022 2013 Vår

Del 1
Del 2
Eksamensinformasjon

Eksamenstid:

5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:
Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Du skal svare på alle oppgavene i Del 1 og Del 2.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

viser regneferdigheter og matematisk forståelse
gjennomfører logiske resonnementer
ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
vurderer om svar er rimelige
forklarer framgangsmåter og begrunner svar
skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger

Andre opplysninger:
Kilder for bilder, tegninger osv.

Hippokrates (Utdanningsdirektoratet)
Alle grafer og figurer (Utdanningsdirektoratet)

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng) Nettkode: E-4CWU

Formlene for arealet $A$ av en sirkel og volumet $V$ av en kule med radius $r$ er gitt ved

$A (r) = π r^{2}$ og $V (r) = \frac{4}{3} π r^{3}$

Bestem $A' (r)$ og $V' (r)$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

Vi ser at i begge utrykkene skal vi derivere noe som er en konstant, ganget med $r^{2}$ og $r^{3}$ . Vi trenger å vite to regler $(k \cdot f)^{'} = k \cdot f^{'} og (x^{n})^{'} = n \cdot x^{n - 1}$

$A^{'} (r) = (π r^{2})^{'} = π \cdot 2 r = 2 π r$
$V^{'} (r) = (\frac{4}{3} π r^{3})^{'} = \frac{4}{3} π \cdot 3 r^{2} = 4 π r^{2}$

Svar: $A^{'} (r) = 2 π r$ og $V^{'} (r) = 4 π r^{2}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volum

Kule

Et tredimensjonalt objekt der alle punktene på overflaten har en fast avstand til sentrum i objektet. Denne avstanden fra et punkt på overflaten til sentrum kalles radius.

kule

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Formel

En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.

formler

For flere forklaringer og eksempler på derivasjonsregler, se artikkelen Derivasjonsregler.

Oppgave 2 (3 poeng) Nettkode: E-4CWW

Deriver funksjonene

a)

$g (x) = 3 \ln (x^{2} - 1)$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Funksjonen $g (x)$ er en sammensatt funksjon. Vi ser at $u (x) = x^{2} - 1$ befinner seg inne i $3 ln u$ . Vi kaller $g (u)$ den ytre funksjonen og $u (x)$ kjernen eller den indre funksjonen. Det er kjerneregelen som gjelder!

Siden vi vet hvordan vi kan derivere $u (x) = x^{2} - 1$ og $g (u) = 3 ln u$ , $(x^{2} - 1)^{'} = 2 x$ og $(3 ln u)^{'} = \frac{3}{u}$ , begynner vi med å skrive $g (x) = 3 ln (x^{2} - 1) = 3 ln (u (x)) = g (u (x))$ Ved å benytte kjerneregelen for derivasjon, som sier at $g (u (x)))^{'} = u^{'} (x) g^{'} (u)$ finner vi da at $g^{'} (x) = u^{'} (x) g^{'} (u) = (x^{2} - 1)^{'} (3 ln u)^{'} = 2 x \cdot (\frac{3}{u}) = 2 x \cdot \frac{3}{x^{2} - 1} = \frac{6 x}{x^{2} - 1}$

Svar: $g^{'} (x) = \frac{6 x}{x^{2} - 1}$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

For flere forklaringer og eksempler på kjerneregelen, se artikkelen Kjerneregelen.

b)

$h (x) = \frac{2 x^{2}}{e^{x}}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi ser at $h (x)$ er en brøk, med $2 x^{2}$ i telleren, og $e^{x}$ i nevneren. Begge disse utrykkene kan vi derivere. Siden vi skal derivere en brøk, trenger vi brøkregelen $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u^{'} \cdot v - u \cdot v^{'}}{v^{2}}$

Vi bruker brøkregelen for derivasjon, med $u = 2 x^{2}$ , og $v = e^{x}$ . $\begin{matrix} h^{'} (x) = (\frac{2 x^{2}}{e^{x}})^{'} = (\frac{u}{v})^{'} = \frac{u^{'} \cdot v - u \cdot v^{'}}{v^{2}} \\ = \frac{(2 x^{2})^{'} \cdot e^{x} - (2 x^{2}) \cdot (e^{x})^{'}}{(e^{x})^{2}} = \frac{4 x \cdot e^{x} - 2 x^{2} \cdot e^{x}}{e^{x} \cdot e^{x}} \\ = \frac{(2 - x) \cdot 2 x \cdot e^{x}}{e^{x} \cdot e^{x}} \\ = \frac{(2 - x) \cdot 2 x}{e^{x}} \end{matrix}$

Svar: $h^{'} (x) = \frac{(2 - x) \cdot 2 x}{e^{x}}$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

For flere forklaringer og eksempler på derivasjon av sammensatte uttrykk, se artikkelen Å derivere sammensatte uttrykk.

Oppgave 3 (5 poeng) Nettkode: E-4CWZ

Polynomfunksjonen $P$ er gitt ved

$P (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$

a)

Vis at $P (1) = 0$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

$P (1)$ betyr at vi setter $x = 1$ isteden for $x$ i utrykket til $P (x)$ .

Vi setter inn $x = 1$ i $P (x)$ $P (1) = 1^{3} - 6 \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$

Svar: $P (1) = 0$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynomer

For flere forklaringer og eksempler på polynomer, se artikkelen Definisjon av et polynom.

b)

Bruk blant annet polynomdivisjon til å faktorisere $P (x)$ i førstegradsfaktorer.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

At $P (1) = 0$ betyr at $x = 1$ er en rot i $P$ , og fra nullpunktssetningen, vet vi at $P (x) = (x - 1) Q (x)$ der graden til $Q$ er én mindre enn $P$ , altså et andregradspolynom.

For å finne $Q$ , gjør vi polynomdivisjonen

Å faktorisere $x^{2} - 5 x + 6$ gjør vi, ved å finne nullpunktene $\begin{matrix} x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \\ x_{1} = \frac{5 + 1}{2} = 3 og x_{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2 \end{matrix}$ Derfor er $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 3) (x - 2)$ , og $P$ kan faktoriseres $P (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)$

Svar: $P (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynomer

Faktorisering av uttrykk

Med å faktorisere et uttrykk i x mener vi å skrive det som et produkt av lineære faktorer.

Eksempel: $x^{2} + 4 x + 3 = (x + 1) (x + 3)$

faktorisering

For flere forklaringer og eksempler på polynomdivisjon, se artikkelen Nullpunktsetningen - når går divisjonen opp?.

c)

Løs ulikheten $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 \leq 0$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Et fortegnssjema viser oss akkurat hvor $P$ er positiv, negativ og lik $0$ . Og siden vi har faktorisert $P$ i lineære faktorer, har vi alt vi trenger.

Fortegnssjemaet til $P$ ser slik ut:

Vi ser at $P$ er mindre eller lik $0$ i intervallet $⟨ \leftarrow, 1] \cup [2, 3]$ , så vi har løsningen $L = ⟨ \leftarrow, 1] \cup [2, 3]$

Svar: $L = ⟨ \leftarrow, 1] \cup [2, 3]$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Fortegnsskjema

Et fortegnsskjema er en grafisk framstilling av hvordan fortegnet til ulike faktorer i et uttrykk endrer seg med x.

fortegnsskjema

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynomer

Intervall

Et intervall er det samme som et tallområde. Tallene 4, 5, 6 og 7 ligger i intervallet 4–7 (fire til sju).

Dersom vi ikke har sagt noe annet, lar vi øvre og nedre grense høre med til intervallet.

intervaller

For flere forklaringer og eksempler på fortegnsskjema, se artikkelen Fortegnslinja 1.

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4CX3

Skriv så enkelt som mulig

$\ln (a^{2} \cdot b) - 2 \ln a - \ln (\frac{1}{b})$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

Vi ser at utrykket er satt sammen av naturlige logaritmer, så det første vi trenger er reglene for naturlige logaritmer

1. $\ln (x^{n}) = n \ln (x)$

2. $\ln (x \cdot y) = \ln (x) + \ln (y)$

3. $\ln (\frac{x}{y}) = \ln (x) - \ln (y)$

Når det står at vi skal skrive utrykket så enkelt som mulig, betyr det at svaret er på formen $A ln a \pm B ln b$ for heltall $A$ og $B$ .

Vi kan ta for oss de tre leddene $ln (a^{2} \cdot b)$ , $2 ln a$ og $ln (\frac{1}{b})$ hver for seg

1. $\ln (a^{2} \cdot b) = \ln (a^{2}) + \ln (b) = 2 \ln (a) + \ln (b) (1) og (2)$

2. $2 ln a$ er allerede på den ønskede formen

3. $\ln (\frac{1}{b}) = \ln (1) - \ln (b) = - \ln (b) (3)$

Tallene i parentes på enden forteller hvilken logaritmeregel vi brukte.

Til slutt setter vi alt sammen $\begin{matrix} ln (a^{2} \cdot b) - 2 ln a - ln (\frac{1}{b}) \\ = (2 ln a + ln b) - 2 ln a - (- ln b) \\ = 2 ln a + ln b - 2 ln a + ln b \\ = 2 ln b \end{matrix}$

Svar: $2 ln b$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

Eksempel: log₁₀(1000) = 3 ettersom 10³ = 1000.

logaritmer

Algebra

Algebra er den delen av matematikken som handler om strukturer, relasjoner og kvantiteter. I skolen er algebra ofte brukt som betegnelse på regning med bokstavuttrykk og ligninger.

Et algebrauttrykk kan være:

n + n + n + n + n = 5n

Her har vi lagt sammen n til sammen 5 ganger.

algebra

For flere forklaringer og eksempler på logaritmen, se artikkelen Den naturlige logaritmen.

Oppgave 5 (2 poeng) Nettkode: E-4CX6

Figuren nedenfor viser grafen til en funksjon $f$ der $D_{f} = ⟨- 1, 4⟩$

Avgjør for hvilke $x$ -verdier $f$ er kontinuerlig, og for hvilke $x$ -verdier $f$ er deriverbar.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

At en funksjon er kontinuerlig i intervallet $⟨ a, b ⟩$ betyr at den “henger sammen”, i det samme intervallet.

At en funksjon $f$ er deriverbar i punktet $x = a$ , betyr at $f^{'} (a)$ er veldefinert. Så uansett fra hvilken side vi nærmer oss $a$ , vil $f^{'} (a)$ være det samme. Grafisk sett betyr det at vi kan tegne en entydig tangent i punktet, og da har $f$ ikke en “knekk” i $x = a$ .

Funksjonen $f$ er kontinuerlig i $a \in D_{f}$ hvis $\lim_{x - a \to \infty} f (x) = f (a)$ . Tilsynelatende gjelder dette alle punkter i $D_{f}$ . Uansett hvilket punkt vi betrakter på grafen, vil $y$ -koordinaten endre seg gradvis når vi beveger oss gradvis til nærliggende punkter på grafen. (Legg merke til at det ikke er relevant å skrive at grafen er sammenhengende, for det finnes funksjoner med sammenhengende graf som ikke er kontinuerlige.) Det ser ut til at er kontinuerlig i alle $x \in D_{f}$ .

Funksjonen $f$ er deriverbar i $x \in D_{f}$ hvis og bare hvis $\lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ eksisterer. Differensekvotienten $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ uttrykker stigningstallet til linja gjennom punktene $(x, f (x)) og (x + h, f (x + h))$ på grafen til $f$ . Den deriverte eksisterer altså i $x$ hvis stigningstallene til linjene gjennom nevnte punkter stabiliserer seg når $h \to 0$ . Grafisk vises dette ved at grafen har entydig tangent i $(x, f (x))$ . For vår $f$ , gjelder dette alle $x \in D_{f}$ unntatt $x = 2$ . For $x = 2$ ser det ut til at

$\lim_{h \to 0^{+}} \frac{f (2 + h) - f (2)}{h} = 1$

mens

$\lim_{h \to 0^{-}} \frac{f (2 + h) - f (2)}{h} = - 2$

Dermed finnes ikke

$\lim_{h \to 0} \frac{f (2 + h) - f (2)}{h}$

Svar: $f$ er kontinuerlig alle $x \in D_{f}$ , og deriverbar i alle $x \in D_{f} \ {2}$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Kontinuitet

Brukes om en funksjon dersom grafen er sammenhengende. Gis i matematisk analyse en mer presis definisjon.

kontinuitet

Definisjonsmengde

En funksjon tar verdier fra en bestemt mengde, og denne mengden kalles definisjonsmengden til funksjonen.

Eksempel:

$f (x) = \frac{1}{x} f o r x \in (0, \infty)$

har definisjonsmengde $(0, \infty)$ . Merk at funksjonen ikke kan være definert i $x = 0$ fordi vi ikke kan dele på $0$ .

definisjonsområde

For flere forklaringer og eksempler på derivasjon, se artikkelen Deriverbarhet.

Visste du at

Egentlig kan vi ikke besvare spørsmål om kontinuitet og deriverbarhet ut fra en figur som viser grafen til en funksjon. Hvis vi legger til $10^{- 9}$ en funksjonsverdi $f (a)$ der $f$ er kontinuerlig i $a$ , vil den nye funksjonen bli diskontinuerlig i $a$ . Dette vil ikke kunne observeres på en graf i skalaen som gis i oppgaven.

Selv om $f$ ser ut til å ikke være deriverbar i $x = 2$ kan det tenkes å se helt annerledes ut hvis vi zoomer sterkt inn på grafen. For å besvare oppgaven med sikkerhet, hadde vi behøvd funksjonsuttrykk eller annen presis beskrivelse av $f$ .

Oppgave 6 (3 poeng) Nettkode: E-4CX8

En funksjon $f$ er gitt ved

$f (x) = x^{3} + 6 x^{2} - 2$

Vis at grafen til $f$ har en vendetangent i punktet $(- 2, f (- 2))$ med likning $y = - 12 x - 10$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

En vendetangent er tangenten til $f$ i et vendepunkt. Et vendepunkt er et punkt der grafen til $f$ går fra konveks til konkav eller omvendt. Dette skjer akkurat når $f^{''} (x) = 0$ Derfor er det dette vi leter etter.

For å dobbeltderivere $f$ , starter vi med å derivere funksjonen, for så å derivere den deriverte

$f^{'} (x) = (x^{3} + 6 x^{2} - 2)^{'} = 3 x^{2} + 6 \cdot 2 x = 3 x^{2} + 12 x$
$f^{''} (x) = (f^{'} (x))^{'} = (3 x^{2} + 12 x)^{'} = 6 x + 12$

Vi må sjekke at $f^{''} (x)$ skifter fortegn ved $x = - 2$ . Dette sjekkes ved for eksempel å lage fortegnsskjema for $f^{''} (x)$ . Vi skriver $f^{''} (x) = 6 x + 12 = 6 (x + 2)$

Så vendepunktet finner vi ved å løse likningen

$\begin{matrix} f^{''} (x) = 0 \\ 6 x + 12 = 0 \\ \frac{6 x}{6} = \frac{- 12}{6} \\ x = - 2 \end{matrix}$

Derfor har $f$ et vendepunkt i $(- 2, f (- 2)) = (- 2, (- 2)^{3} + 6 \cdot (- 2)^{2} - 2) = (- 2, - 8 + 24 - 2) = (- 2, 14)$
Vi skal nå finne tangenten til $f$ i punket $(- 2, 14)$ . La denne linja ha likningen $y = a x + b$ Vi vet at stigningstallet til tangenten er lik den deriverte i det punktet. Derfor $a = f^{'} (- 2) = 3 (- 2)^{2} + 12 (- 2) = 12 - 24 = - 12$ For å finne $b$ bruker vi ettpunktsformelen $y - y_{0} = a (x - x_{0})$ når linja går igjennom $(x_{0}, y_{0})$ . I vårt tilfelle går linja gjennom punktet $(- 2, 14)$ og $a = - 12$ $\begin{matrix} y - 14 = - 12 (x - (- 2)) \\ y - 14 = - 12 (x + 2) \\ y = - 12 x - 24 + 14 \\ y = - 12 x - 10 \end{matrix}$ Likningen til vendetangenten er derfor gitt ved $y = - 12 x - 10$

Svar:

y = - 12 x - 10

Mer om:
Denne oppgaven er om

Konveks

La $f (x)$ være en kontinuerlig funksjon. I de intervallene der grafen til $f (x)$ åpner seg oppover , sier vi at $f (x)$ er konveks. En kontinuerlig, deriverbar funksjon er konveks på et interval [a,b] hvis $f'' (x)$ har positivt fortegn for alle $x$ i intervallet.

konveks

Konkav

La $f (x)$ være en kontinuerlig funksjon. I de intervallene der grafen til åpner seg nedover, sier vi at $f (x)$ er konkav. En kontinuerlig, deriverbar funksjon $f$ er konkav på et interval $[a, b]$ hvis $f'' (x)$ har negativt fortegn for alle $x$ i intervallet.

konkav

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangenter

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Vendepunkt

Et vendepunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $x = a$ , der funksjonen bytter mellom å være konveks og konkav. I et vendepunkt skifter den annenderiverte $f'' (x)$ fortegn.

vendepunkt

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynomer

.
For flere forklaringer og eksempler på derivasjon, se artikkelen Ettpunktsformelen og likning for tangentlinjen.

Oppgave 7 (3 poeng) Nettkode: E-4CXA

Vektorene $\vec{a} = [2, 3]$ , $\vec{b} = [- 6, 4]$ og $\vec{c} = [3, 11]$ er gitt.

a)

Undersøk om $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi vet at to vektorer står normalt på hverandre hvis og bare hvis skalarproduktet er lik $0$ . Husk at hvis $\vec{a} = [a_{1}, a_{2}]$ og $\vec{b} = [b_{1}, b_{2}]$ , så er skalarproduktet gitt ved $\vec{a} \cdot \vec{b} = [a_{1}, a_{2}] \cdot [b_{1}, b_{2}] = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2}$ .

Vi sjekker derfor skalarproduktet mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ $\vec{a} \cdot \vec{b} = [2, 3] \cdot [- 6, 4] = 2 \cdot (- 6) + 3 \cdot 4 = - 12 + 12 = 0$ og vi konkluderer med at $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ .

Svar: Det stemmer at $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

For flere forklaringer og eksempler på ortogonale vektorer, se artikkelen Ortogonale vektorer.

b)

Bestem ved regning to tall $k$ og $t$ slik at $\vec{c} = k \vec{a} + t \vec{b}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Her er det bare å sette opp regnestykket og sammenlikne vektoren vi får på høyre side med den vi får på venstre side.

$\begin{matrix} \vec{c} = k \vec{a} + t \vec{b} \\ [3, 11] = k [2, 3] + t [- 6, 4] \\ [3, 11] = [2 k, 3 k] + [- 6 t, 4 t] \\ [3, 11] = [2 k - 6 t, 3 k + 4 t] \end{matrix}$ For at vektoren på høyre side av likhetstegnet skal være lik den på venstre side, må ${\begin{matrix} 3 = 2 k - 6 t \\ 11 = 3 k + 4 t \end{matrix}$ Altså har vi et likningssett med to ukjente, som vi kan løse med (for eksempel) addisjonsmetoden. ${\begin{matrix} 3 \cdot (- 3) = (2 k - 6 t) \cdot (- 3) \\ 11 \cdot 2 = (3 k + 4 t) \cdot 2 \end{matrix}$ ${\begin{matrix} - 9 = - 6 k + 18 t \\ 22 = 6 k + 8 t \end{matrix}$ Legger vi disse sammen får vi $\begin{matrix} - 9 + 22 & = (- 6 k + 18 t) + (6 k + 8 t) \\ \frac{13}{26} & = \frac{26 t}{26} \\ 13 = 26 t \\ t = \frac{1}{2} \end{matrix}$ For å finne $k$ setter vi $t = 0, 5$ inn i (for eksempel) inn i den første likningen. Legger vi disse sammen får vi $\begin{matrix} 3 & = 2 k - 6 t \\ 3 & = 2 k - 6 \cdot 0, 5 \\ 2 k & = 3 + 3 \\ \frac{2 k}{2} & = \frac{6}{2} \\ k & = 3 \end{matrix}$

Svar: $t = 0, 5$ og $k = 3$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

Ligningssett

Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.

likningssytem

For flere forklaringer og eksempler på likninger, se artikkelen Lineære likninger med flere ukjente.

Oppgave 8 (4 poeng) Nettkode: E-4CXE

På figuren nedenfor er $A C B$ en halvsirkel med sentrum i $O$ , og $A E C$ er en halvsirkel med sentrum i $D$ . $∠ C A B = ∠ A B C = 45^{\circ}$

a)

Konstruer figuren nedenfor når du setter $r = 5, 0$ cm . Ta med konstruksjonsforklaring.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Tanker:

I denne oppgaven trenger vi å vite hvordan vi finner midtnormalen til et linjestykk.

1. Sett passerspissen i $A$ , og velg åpning på passeren som går over halvparten av lengden til $A B$ . Marker en stor nok sirkelbue.

2. Behold samme åpning på passeren, og gjør det samme med passerspissen i $B$ .

3. De to sirkelbuene treffer hverandre i to punkter. Trekk linjen gjennom disse to punktene.

4. Denne linjen skjærer $A B$ i $O$ . Dette er midtpunktet på $A B$ og linjen er midtnormalen til $A B$ .

Framgangsmåte

Tegn en linje og marker $A$ og $B$ med avstand $2 r = 10$ cm
Konstruer midtnormalen til $A B$ , og marker $O$
Tegn en halvsirkel med sentrum i $O$ , og radius $r = A O = 5$ cm
Midtnormalen treffer halvsirkelen i punktet $C$
Trekk linjestykkene $A C$ og $B C$
Konstruer midtnormalen til $A C$ , og midtpunktet $D$
Tegn en halvsirkel med sentrum i $D$ (ut ifra $Δ A B C$ ), og radius $A D$
Midtnormalen treffer halvsirkelen i punktet $E$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Sirkel

Sirkel brukes i to betydninger:

1) Selve sirkellinjen som er den krumme linjen som går gjennom punktene som har samme avstand fra et fast punkt, nemlig sentrum i sirkelen. Dette er det samme som sirkelen sin omkrets.

2) Flaten som sirkellinjen begrenser.

Areal: $A = π r^{2}$
Omkrets: $O = 2 π r$

sirkeler

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekanter

For flere forklaringer og eksempler på konstruksjon, se artikkelen Konstruksjon av figurer.

b)

På figuren nedenfor har Hippokrates-månen blå farge.

Vis ved regning at arealet av Hippokrates-månen er lik arealet av $Δ A O C$ når radien i halvsirkelen $A C B$ er $r$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Tanker:

Vi skal undersøke figuren

så for å holde styr på ting, lager vi notasjonen

$M$ : Arealet av Hippokratesmånen

$T$ : Arealet av $Δ A O C$

$S$ : Arealet av området som tilsvarer kvartsirkelen $A O C$ minus $Δ A O C$

Vi skal vise at $M = T$ . Men dersom vi legger til $S$ på begge sider, $M + S = T + S$ , tilsvarer det at vi skal vise at arealet av halvsirkelen ut fra $A C$ har likt areal som kvartsirkelen $A O C$ .

Arealet av kvartsirkelen. $T+S = \frac{π \cdot r^{2}}{4}$
Arealet av halvsirkelen. $M+S = \frac{π \cdot {AD}^{2}}{2}$ Så vi trenger å finne lengden $A D$ . Først merker vi at $A D = \frac{A C}{2}$ , siden $D$ er midtpunktet på $A C$ . Deretter bruker vi Pytagoras for å finne $A C$ $\begin{matrix} A O^{2} + O C^{2} = A C^{2} \\ A C = \sqrt{2 r^{2}} = \sqrt{2} \cdot r \end{matrix}$ Derfor får vi at $A D = \frac{A C}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} r$ , og vi får $\begin{matrix} M+S = \frac{π \cdot {AD}^{2}}{2} = \frac{π \cdot (\frac{\sqrt{2} \cdot r}{2})^{2}}{2} & = \frac{\frac{π \cdot 2 r^{2}}{4}}{2} = \frac{π \cdot r^{2}}{4} \end{matrix}$ Og vi ser at de to figurene har det samme arealet.

Svar: De to figurene har det samme arealet.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

For flere forklaringer og eksempler på areal, se artikkelen Tom forteller om areal.

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (7 poeng) Nettkode: E-4CXK

Figuren nedenfor viser grafen til en tredjegradsfunksjon $f$ .

a)

Forklar at $f (x)$ er delelig med $(x - 1)$ , $(x + 1)$ og $(x - 3)$ .

Begrunn at vi da kan skrive

$f (x) = a (x^{2} - 1) (x - 3)$ , der $a$ er en konstant.

Bestem $a$ når punktet $(0, 12)$ ligger på grafen til $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi ser at $f$ har nullpunktene $x = - 1$ , $x = 1$ og $x = 3$ . Fra nullpunktsetningen vet vi at hvis $x = x_{0}$ er et nullpunkt for $f$ , kan vi skrive $f (x) = (x - x_{0}) g (x)$ der graden til $g$ er én lavere enn graden til $f$ .

Fordi $f$ har nullpunktene $x = - 1$ , $x = 1$ og $x = 3$ kan vi skrive $f (x) = (x - (- 1)) (x - 1) (x - 3) g (x) = (x + 1) (x - 1) (x - 3) g (x)$ der $g$ er tre lavere enn graden til $f$ . Men det betyr at graden til $g$ er $0$ , som betyr at $g (x) = a$ er en konstant. $f (x) = a (x + 1) (x - 1) (x - 3) = a (x^{2} - 1) (x - 3)$
Siden $f$ går igjennom punktet $(0, 12)$ , betyr det at $\begin{matrix} f (0) & = 12 \\ a (0^{2} - 1) (0 - 3) & = 12 \\ 3 a & = 12 \\ a & = 4 \end{matrix}$

Svar: Over har vi forklart hvorfor $f (x) = a (x + 1) (x - 1) (x - 3) = a (x^{2} - 1) (x - 3)$ og $a = 4$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkter

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

For flere forklaringer og eksempler på nullpunktsetningen, se artikkelen Nullpunktsetningen - når går divisjonen opp?.

b)

Bestem likningen til tangenten i punktet $(0, 12)$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

La likningen til tangenten være gitt ved $y = a x + b$ Da vet vi at linjen går gjennom punktet $(0, 12)$ og at stigningstallet til linja er lik $f^{'} (0)$ .

Siden vi trenger å bruke $f^{'} (0)$ , begynner vi med å regner ut den deriverte av $f$ . Først kan det være greit å gange ut parentesene som utgjør $f$ . $f (x) = 4 (x^{2} - 1) (x - 3) = 4 (x^{3} - 3 x^{2} - x + 3) = 4 x^{3} - 12 x^{2} - 4 x + 12$ Deretter deriverer vi $f$ $f^{'} (x) = 4 \cdot 3 x^{2} - 12 \cdot 2 x - 4 = 12 x^{2} - 24 x - 4$ Vi ser nå at stigningstallet til likningen til tangenten gjennom punktet $(0, 12)$ er $a = f^{'} (0) = 12 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0 - 4 = - 4$
Konstantleddet er akkurat der linja krysser $y$ -aksen, men da vi vet at linja går gjennom punktet $(0, 12)$ , vet vi at linja krysser $y$ -aksen i $y = 12$ . Så konstantleddet er $b = 12$ .

Svar: Likningen til tangenten i punktet $(0, 12)$ er gitt ved $y = - 4 x + 12$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynomer

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangenter

For flere forklaringer og eksempler på tangenter, se artikkelen Å finne tangenten - introduksjon.

c)

Denne tangenten skjærer grafen til $f$ i et annet punkt.

Bestem ved regning koordinatene til dette punktet.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Vi vet at hvis vi har to funksjoner $f (x)$ og $g (x)$ skjærer de hverandre i punktene som tilfredstiller likningen $f (x) = g (x)$ Det samme gjelder for linja vår og funksjonen $f$ .

Vi har likningen $\begin{matrix} 4 (x + 1) (x - 1) (x - 3) & = - 4 (x - 3) \end{matrix}$ Vi vet at linjen skjærer $f$ i $x = 0$ og ett annet sted. Hvis vi setter $x = 3$ i likningen, ser vi at både venstre og høyre side er lik $0$ , så vi har likhet. Derfor skjærer linjen og $f$ hverandre i punktet $(3, f (3)) = (3, 0)$

Svar: Tangenten skjærer grafen til $f$ i punktet $(3, 0)$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangenter

Koordinat

Koordinatene til et punkt måles langs aksene i et koordinatsystem og forteller nøyaktig hvor vi finner punktet.

Eksempel: I punktet (1,3) er 1 førstekoordinat og 3 er andrekoordinat.

Se Koordinatsystem

koordinater

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

For flere forklaringer og eksempler på tangenter, se artikkelen Ettpunktsformelen og likning for tangentlinjen.

Oppgave 2 (6 poeng) Nettkode: E-4CXP

Se skissen nedenfor.

a)

Midtpunktene på sidekantene i $Δ A B C$ er $M_{1}$ , $M_{2}$ og $M_{3}$ .

Vis ved regning at $M_{1}$ har koordinatene $(3, \frac{3}{2})$ . Bestem koordinatene til $M_{2}$ og $M_{3}$ ved regning.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

For å finne koordinatene til et punkt $P (x_{0}, y_{0})$ , kan vi bruke posisjonsvektoren $\vec{OP} = [x_{0} - 0, y_{0} - 0] = [x_{0}, y_{0}]$ Fordelen med dette er at med vektorregning, kan man lett legge sammen og trekke fra vektorer for å finne nye vektorer.

For å regne ut koordinatene til $M_{1}$ , kan vi finne posisjonsvektoren $\vec{O M_{1}}$ . Vi har nemlig $\vec{O M_{1}} = \vec{O A} + \vec{A M_{1}} = \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ Fordi $\vec{O A} = [1, 1]$ og $\vec{A B} = [5 - 1, 2 - 1] = [4, 1]$ , kan vi nå regne ut $\vec{O M_{1}} = [1, 1] + \frac{1}{2} [4, 1] = [1, 1] + [2, \frac{1}{2}] = [1 + 2, 1 + \frac{1}{2}] = [3, \frac{3}{2}]$ Fordi $\vec{O M_{1}} = [3, \frac{3}{2}]$ vet vi at $M_{1} = (3, \frac{3}{2})$ .

Med samme tankegang finner vi $M_{2}$ og $M_{3}$ . $\begin{matrix} \vec{O M_{2}} & = \vec{O B} + \vec{B M_{2}} = \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{B C} \\ = [5, 2] + \frac{1}{2} [- 2, 2] = [5, 2] + [- 1, 1] = [5 - 1, 2 + 1] = [4, 3] \end{matrix}$ Som gir at $M_{2} = (4, 3)$ .
$\begin{matrix} \vec{O M_{3}} & = \vec{O C} + \vec{C M_{3}} = \vec{O C} + \frac{1}{2} \vec{C A} \\ = [3, 4] + \frac{1}{2} [- 2, - 3] = [3, 4] + [- 1, - \frac{3}{2}] = [3 - 1, 4 - \frac{3}{2}] = [2, \frac{5}{2}] \end{matrix}$ Som gir at $M_{3} = (2, \frac{5}{2})$ .

Svar: $M_{1} = (3, \frac{3}{2})$ , $M_{2} = (4, 3)$ og $M_{3} = (2, \frac{5}{2})$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

Koordinatsystem

Et koordinatsystem i planet består av to akser, x-aksen og y-aksen. Aksene står vinkelrett på hverandre. x-aksen er horisontal og y-aksen er vertikal. Punktet der aksene krysser kalles for origo. Koordinatsystemet gir oss muligheten til å presentere punkter i planet i form av to tallverdier (x,y). Origo har koordinatene (0,0).

koordinatsystem

For flere forklaringer og eksempler på vektorer, se artikkelen Addisjon av vektorer.

b)

Bestem en parameterframstilling til linjen gjennom $A$ og $M_{2}$ og en parameterframstilling til linjen gjennom $C$ og $M_{1}$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

En linje som går gjennom punktet $A (x_{0}, y_{0})$ og er parallell med vektoren $\vec{v} = [a, b]$ , har parameterframstilling $ℓ : {\begin{matrix} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \end{matrix}$ Dette kan vi forklare med vektorregning. Vi starter med punktene $A (x_{0}, y_{0})$ og $B (x_{1}, y_{1})$ , og vil finne et uttrykk for et punkt $P$ som ligger på linjen $ℓ$ som går igjennom $A$ og $B$ .

Vi vet at $\vec{AB} = [x_{1} - x_{0}, y_{1} - y_{0}]$ , og hvis vi definerer $a = x_{1} - x_{0}$ og $b = y_{1} - y_{0}$ , så kan vi utrykke $\vec{AB} = [a, b]$ . Videre vet vi at $\vec{AP} | | \vec{AB}$ som gir oss at $\vec{AP} = t \vec{AB}$ .

Posisjonsvektoren til $P$ (altså vektoren som viser koordinatene til $P$ ), $\vec{OP}$ , kan skrives om $\begin{matrix} \vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AP} \\ = \vec{OA} + t \vec{AB} \\ = [x_{0}, y_{0}] + t [a, b] \\ = [x_{0} + a t, y_{0} + b] \end{matrix}$

Vi ser at linja vi er ute etter går igjennom $A (1, 1)$ og er parallell med vektoren $\vec{A M_{2}} = [4 - 1, 3 - 1] = [3, 2]$ Så hvis vi bruker formelen gitt over blir parameterframstillingen av linjen $ℓ_{A} : {\begin{matrix} x = 1 + 3 t \\ y = 1 + 2 t \end{matrix}$
Tilsvarende finner vi linja gjennom $C$ og $M_{1}$ der $M_{1} = (3, \frac{3}{2})$ . Den går gjennom punktet $C (3, 4)$ , og er parallell med vektoren $\vec{C M_{1}} = [3 - 3, \frac{3}{2} - 4] = [0, - \frac{5}{2}]$ Så hvis vi bruker formelen gitt over blir parameterframstillingen av linjen $ℓ_{C} : {\begin{matrix} x = 3 + 0 t = 3 \\ y = 4 - \frac{5}{2} t \end{matrix}$

Svar: Parameterframstillingen av linjen er $ℓ_{C} : {\begin{matrix} x = 3 + 0 t = 3 \\ y = 4 - \frac{5}{2} t \end{matrix}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

Linje

En rett linje som vanligvis kalles linje, er en rett strek som har en posisjon og retning. En linje fortsetter uendelig i begge retninger.

linjer

Ligningssett

Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.

likningssystem

For flere forklaringer og eksempler på parameterframstilling, se artikkelen Paramterframstilling av en rett linje.

c)

Tyngdepunktet $T$ i trekanten er skjæringspunktet mellom medianene.

Bestem koordinatene til $T$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi trenger nå å finne skjæringspunktet til $ℓ_{A}$ og $ℓ_{C}$ .

Vi ser at $ℓ_{C}$ har alltid $x$ -koordinat lik $3$ , så skjæringspunktet har $x$ -koordinat lik $3$ . Hvis vi kan finne hvilken $t$ -verdi som gir at $ℓ_{A}$ har $x$ -verdi lik $3$ , har vi funnet skjæringspunktet til linjene. $\begin{matrix} x = & 1 + 3 t = 3 \\ \frac{3 t}{3} = \frac{2}{3} \\ t = \frac{2}{3} \end{matrix}$ Når $t = \frac{2}{3}$ , får vi $y = 1 + 2 (\frac{2}{3}) = \frac{7}{3}$ .

Svar: T= $(3, \frac{7}{3})$

Mer om

Denne oppgaven er om

Skjæringspunkt

Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.

skjæringspunkt

Koordinat

Koordinatene til et punkt måles langs aksene i et koordinatsystem og forteller nøyaktig hvor vi finner punktet.

Eksempel: I punktet (1,3) er 1 førstekoordinat og 3 er andrekoordinat.

Se Koordinatsystem

koordinater

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

For flere forklaringer og eksempler på likninger, se artikkelen Lineære likninger.

Oppgave 3 (7 poeng) Nettkode: E-4CXT

En partikkel har posisjonsvektoren

$\vec{r} (t) = [\ln t, t^{2} - 4 t], t > 0$

a)

Tegn grafen til $\vec{r}$ og bestem skjæringspunktene med koordinataksene ved regning

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi ser at $\vec{r} (t)$ er en parametrisk kurve, som forteller oss hvilket punkt i koordinatsystemet vi får, når vi gir den $t$ .

$\vec{r}$ krysser $x$ -aksen når $y$ -koordinaten er lik $0$ , altså vi løser likningen $\begin{matrix} t^{2} - 4 t & = 0 \\ t (t - 4) & = 0 \\ t = 0 & eller t = 4 \end{matrix}$ Siden vi får oppgitt i oppgaven at $t > 0$ er kun $t = 4$ gyldig løsning. Da får vi punktet $(ln 4, 0)$ .

$\vec{r}$ krysser $y$ -aksen når $x$ -koordinaten er lik $0$ , altså vi løser likningen $\begin{matrix} ln t & = 0 \\ e^{ln t} & = e^{0} \\ t & = 1 \end{matrix}$ $t = 1$ er en gyldig løsning. Da får vi punktet $(0, 1^{2} - 4 \cdot 1) = (0, - 3)$ .

Svar: $\vec{r}$ krysser $x$ -aksen i $(ln 4, 0)$ og $y$ -aksen $(0, - 3)$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

Graf

En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

grafer

For flere forklaringer og eksempler på posisjonsvektorer, se artikkelen Stedvektor (posisjonsvektor).

b)

Bestem fartsvektoren $\vec{v} (t)$ og bruk denne til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $\vec{r}$ . Tegn inn $\vec{v} (1)$ på grafen.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi vet at $\vec{v} (t) = {\vec{r}}^{'} (t)$ , og at denne vektoren har utgangspunkt i endepunktet til $\vec{r} (t)$ . Da det ikke er tydelig hva som menes med topp- eller bunnpunkt på grafen til $\vec{r} (t)$ , tolker vi det som største eller minste $y$ -koordinat.

Vi deriverer $\vec{r}$ $\vec{v} (t) = {\vec{r}}^{'} (t) = ([ln t, t^{2} - 4 t])^{'} = [(ln t)^{'}, (t^{2} - 4 t)^{'}] = [\frac{1}{t}, 2 t - 4]$ Dersom $\vec{r}$ har et ekstremalpunkt vil fartskomponenten i $y$ retning være null i dette (disse) punktet. Så vi lurer på når $2 t - 4 = 0$ . Dette gir at $t = 2$ , og punktet på grafen blir $[ln 2, 2^{2} - 4 \cdot 2] = [ln 2, - 4]$ . Dette er et bunnpunkt.

Når vi skal tegne inn $\vec{v} (1)$ på grafen trenger vi først å vite startpunktet til vektoren. Siden $t = 1$ , blir dette $\vec{r} (1) = [ln 1, 1^{2} - 4 \cdot 1] = [0, - 3]$ . Dessuten har vi $\vec{v} (1) = [\frac{1}{1}, 2 \cdot 1 - 4] = [1, - 2]$ .

Svar: $[ln 2, - 4]$ og $\vec{v} (t) = [\frac{1}{t}, 2 t - 4]$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Ekstremalpunkter

Ekstremalpunkter er en samlebetegnelse på topp- og bunnpunkter.

ekstremalpunkter

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

For flere forklaringer og eksempler på derivasjon av vektorfunksjoner, se artikkelen Derivasjon av vektorfunksjoner 2 - vektorfunksjoner.

c)

Vis at akselerasjonsvektoren er $\vec{a} (t) = [- \frac{1}{t^{2}}, 2]$ . Bestem $\vec{a} (t)$ når $t \to \infty$ .

Kommenter svaret.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Vi vet at $\vec{a} (t) = {\vec{v}}^{'} (t) = {\vec{r}}^{''} (t)$ , og at denne vektoren har utgangspunkt i endepunktet til $\vec{r} (t)$ .

Vi deriverer $\vec{v}$ $\vec{a} (t) = {\vec{v}}^{'} (t) = ([\frac{1}{t}, 2 t - 4])^{'} = [(\frac{1}{t})^{'}, (2 t - 4)^{'}] = [- \frac{1}{t^{2}}, 2]$
Vi ser at når $t \to \infty$ , så vil $- \frac{1}{t^{2}} \to 0$ . Så vi ser at akselerasjonen i $x$ -retning går mot $0$ , mens i $y$ -retning er akselerasjonen konstant. Selv om $\lim_{t \to \infty} a (t) = [0, 2]$ vil kurven gå gjennom punkter med vilkårlig stor $x$ - koordinat siden $\lim_{t \to \infty} \ln t = \infty .$

Svar: $\lim_{t \to \infty} a (t) = [0, 2]$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Vektor

En vektor er en størrelse med en retning.

I planet er en vektor et linjestykke med retning. Vi beskriver en vektor fra origo med koordinatene for endepunktet til vektoren.

Eksempel: Figuren viser en vektor fra origo til punktet (2,3). Vi kan skrive at vektor v = $[2, 3]$ .

vektorer

Vektorfunksjon

En vektorfunksjon $\vec{r (t)}$ er en funksjon av en variabel t som gir en vektor fra origo for hver t:

$\vec{r (t)} = [x (t), y (t)]$

vektorfunksjoner

Grenseverdi

En uendelig tallfølge a₁, a₂, a₃, ...har grenseverdi A dersom vi kan få a_n så nær A vi vil ved å velge n stor nok.

grenseverdier

For flere forklaringer og eksempler på derivasjon av vektorfunksjoner, se artikkelen Derivasjon av vektorfunksjoner 3.

Oppgave 4 (8 poeng) Nettkode: E-4CXY

Et rektangel med sider $x$ og $y$ er innskrevet i en sirkel med diameter $A B = 5$ .

a)

Vis at arealet $T$ av rektangelet er gitt ved

$T (x) = x \cdot \sqrt{25 - x^{2}}$

Forklar hvilke verdier $x$ kan ha.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Arealet av et rektangel er gitt ved $T = lengde \cdot bredde$ som i vårt tilfelle er $T (x) = x \cdot y$ Men vi vil ha $T$ som en funksjon av $x$ og ikke $y$ . Kan vi erstatte $y$ med et uttrykk for $x$ ? Kanskje vi kan utnytte at diameteren i sirkelen er $5$ ?

Som sagt, har vi at $T (x) = x \cdot y$ Og vi vil erstatte $y$ med et uttrykk for $x$ . Siden det er et rektangel vi jobber med, vet vi at trekanten med sidelengder $A B$ , $x$ og $y$ er en

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklet trekant

med

Katet

Side i en rettvinklet trekant. Den rette vinkelen dannes av to linjestykker som kalles kateter.

kateter

x

y

, og

Hypotenus

Den siden som er motstående til den rette vinkelen i en rettvinklet trekant. De andre to sidene kalles kateter.

hypotenus

A B

. Derfor vet vi

$\begin{matrix} x^{2} + y^{2} & = {AB}^{2} \\ x^{2} + y^{2} & = 5^{2} \\ y^{2} & = 25 - x^{2} \\ y & = \sqrt{25 - x^{2}} \end{matrix}$

Så erstatter vi $y$ med $\sqrt{25 - x^{2}}$ i uttrykket for arealet

$\begin{matrix} T (x) & = x \cdot y \\ T (x) & = x \cdot \sqrt{25 - x^{2}} \end{matrix}$

som var det vi ville fram til.

Når det kommer til hvilke verdier $x$ kan ha, er våre eneste begrensinger at $x$ og $y$ må være positive tall.
Nedre grense: $0 < x$

Øvre grense:

$\begin{matrix} 0 & < y \\ 0 & < \sqrt{25 - x^{2}} \\ 0^{2} & < (\sqrt{25 - x^{2}})^{2} \\ 0 & < 25 - x^{2} \\ \sqrt{x^{2}} & < \sqrt{25} \\ x & < 5 \end{matrix}$

Vi ser at $x$ kan ha verdiene $0 < x < 5$ .

Svar: $x$ kan ha verdiene $0 < x < 5$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Rektangel

Et rektangel er en firkant der sidene er parvis like lange og alle vinklene er 90°.

Areal: $A = a b$

Omkrets: $O = 2 a + 2 b$

rektangler

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekanter

, ulikheter og

Definisjonsmengde

En funksjon tar verdier fra en bestemt mengde, og denne mengden kalles definisjonsmengden til funksjonen.

Eksempel:

$f (x) = \frac{1}{x} f o r x \in (0, \infty)$

har definisjonsmengde $(0, \infty)$ . Merk at funksjonen ikke kan være definert i $x = 0$ fordi vi ikke kan dele på $0$ .

definisjonsmengde

For flere forklaringer og eksempler på definisjonsmengde, se artikkelen Definisjons- og verdimengde.

b)

Bestem $x$ og $y$ når arealet er størst mulig.

Kommenter svaret.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi har nå et uttrykk for

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

arealet

Rektangel

Et rektangel er en firkant der sidene er parvis like lange og alle vinklene er 90°.

Areal: $A = a b$

Omkrets: $O = 2 a + 2 b$

rektangelet

. Vi skal finne det største arealet vi kan ha, altså maksimumsverdien av

T (x)

Vi skal maksimere $T (x)$ . For å gjøre det, gjør vi følgende beregninger i CAS i

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

I celle 1 definerer vi funksjonen $T$ . Celle 2 beregner

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunktene

til den deriverte. Vi ser at det negative nullpunktet er irrelevant for oppgaven. For å se at

T

har

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkt

for

x = \frac{5 \sqrt{2}}{2}

, bruker vi andrederiverttesten. Celle 3 viser at

T^{''} (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) < 0

, så vi har et maksimalpunkt. Til sist beregnes verdien av

y

som blir lik

x

( forkort uttrykket for

x

med

\sqrt{2}

. Det største rektanglet er altså et kvadrat.

Når oppgaven løses grafisk, blir det bare et kvadrat opptil viss avrunding. Derfor har vi valgt å løse denne oppgave ved regning. Den grafiske løsningen kan du se under alternativ løsning.

Alternativ løsning

Dersom man bruker graftegner til å tegne opp $T$ , og deretter finne toppunktet med kommandoen

Ekstremalpunkt[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]] vil man finne en tilnærmet verdi. Vær obs på dette!

Her brukte vi kommandoen

Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]

for deretter å bytte navn på funksjonen til $T$ .

Ekstremalpunkt[ T ] bruker vi for å finne toppunktet.

Vi leser av at toppunktet er $A = (3.54, 12.5)$ . Det betyr at arealet er størst mulig nå $x = 3.54$ . Vi finner tilhørende $y$ -verdi. $y = \sqrt{25 - ({3.54}^{2})} = 3.54$ Vi ser at arealet er størst når $x = y = 3.54$ , altså er dette et kvadrat.

Svar: Arealet er størst når $x = y = 3.54$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkter

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er mindre enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

bunnpunkter

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Graf

grafer

For flere forklaringer og eksempler på topp- og bunnpunkter, se artikkelen Topp- og bunnpunkter.

c)

Vis at omkretsen til rektangelet er gitt ved

$O (x) = 2 \cdot \sqrt{25 - x^{2}} + 2 x$

Bruk $O' (x)$ og bestem $x$ når omkretsen er størst mulig.

Kommenter svaret.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Omkrets

Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.

Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.

Omkretsen

av et

Rektangel

Et rektangel er en firkant der sidene er parvis like lange og alle vinklene er 90°.

Areal: $A = a b$

Omkrets: $O = 2 a + 2 b$

rektangel

er gitt ved

O = 2 \cdot lengde + 2 \cdot bredde

som i vårt tilfelle er

O (x) = 2 x + 2 y

Å finne den største omkretsen er det samme som å finne

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunktet

til grafen til

O

. I toppunktet hverken vokser eller synker

O

, det vil si at den deriverte her er lik null. Derfor kan vi også finne

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunktet

til

O^{'}

Omkretsen er summen av lengdene til sidene i firkanten. To av sidene har lengde $x$ , de to andre sidene har lengde $y = \sqrt{25 - x^{2}}$ . Dermed blir omkretsen , så derfor får vi $O (x) = 2 y + 2 x = 2 \sqrt{25 - x^{2}} + 2 x,$ slik om vi skulle vise.

For å finne $x$ -verdien som gir størst omkrets, gir vi følgende kommandoer i CAS:

Som i deloppgave b), viser her celle 2 og 3 at $O (x)$ har maksimalpunkt $x = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ . Dette er samme rektangel som ga maksimalt areal, så det er kvadratet som har både størst areal og størst omkrets.

Svar: Omkretsen er størst når $x = 3.54$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Omkrets

Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.

Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.

omkrets

Rektangel

Et rektangel er en firkant der sidene er parvis like lange og alle vinklene er 90°.

Areal: $A = a b$

Omkrets: $O = 2 a + 2 b$

rektangel

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

Ekstremalpunkter

Ekstremalpunkter er en samlebetegnelse på topp- og bunnpunkter.

ekstremalpunkter

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

For flere forklaringer og eksempler på derivasjon, se artikkelen Derivasjonsregler.

Oppgave 5 (6 poeng) Nettkode: E-4CY2

Vi har røde og svarte kuler i en eske. Vi skal trekke tilfeldig to kuler uten tilbakelegging. Vi definerer følgende hendelser:

A: Vi trekker to kuler med ulik farge.

B: Vi trekker to kuler med samme farge.

Anta at vi har 6 røde og 4 svarte kuler i esken.

a)

Bestem $P (A) .$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

For å få en bedre oversikt over situasjonen lager vi følgende

Valgtre

Gir oss oversikt over alle mulige kombinasjoner av utfall for en gitt hendelse.

Valgtre er det samme som utfallstre.

valgtre

Første veiskille i valgtreet betyr første trekking av kule, og det andre veiskille betyr andre trekking.

For å gjøre det enklere for oss selv, har vi følgende forkortelser

1. $R$ : trekker rød kule

2. $S$ : trekker svart kule

Hendelse

En hendelse eller begivenhet er en delmengde av utfallsrommet. En hendelse består av ett eller flere utfall.

Se Gunstig utfall

Hendelsen

A

består av

Utfall

Mulig resultat av en hendelse.

Eksempel: Du kaster en terning og får seks øyne. Utfallet er seks. Du kaster en mynt og får kron. Kron er utfallet.

utfallene

R S

eller

S R

, så

P (A) = P (R S) + P (S R)

. Da har vi at

1. $P (R S) =$ $\frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{4}{5 \cdot 3} = \frac{4}{15}$

2. $P (S R) =$ $\frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{4}{5 \cdot 3} = \frac{4}{15}$

Siden $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ , når $A \cup B = \emptyset$ (som er tilfellet når vi har to utfall), får vi $\begin{matrix} P (A) = P (R S) + P (S R) = \frac{4}{15} + \frac{4}{15} = \frac{8}{15} \end{matrix}$ .

Svar: $P (A) = \frac{8}{15}$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.

Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.

Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.

Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.

sannsynlighet

For flere forklaringer og eksempler på mengdelære, se artikkelen Venn-diagram og mengdelære.

b)

Bestem $P (B) .$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Enten trekker vi to kuler med ulik farge, eller så trekker vi to kuler av samme farge. Derfor vet vi at $P (A) + P (B) = 1$ Men vi vet jo $P (A)$ fra a).

Vi sier at $A$ og $B$ er komplementære hendelser, og vi har følgende uttrykk (følger av uttrykket over) $P (A) + P (B) = 1 - P (A) = 1 - \frac{8}{15} = \frac{15}{15} - \frac{8}{15} = \frac{7}{15}$

Svar: $P (B) = \frac{7}{15}$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Komplement

Komplementet til A, betegnet med $A^{c}$ , består av alle elementer som er i utfallsrommet U men ikke i A. Med andre ord, $A^{c} = U ∖ A$ .

komplement

Sannsynlighet

sannsynlighet

For flere forklaringer og eksempler på komplementære hendelser, se artikkelen Sannsynlighet ved komplementære hendelser.

c)

Anta at vi har $6$ røde og et ukjent antall svarte kuler i esken, og at hendelsene $A$ og $B$ skal ha lik sannsynlighet.

Hvor mange svarte kuler kan det være i esken?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi kan starte med å kalle antall svarte kuler for $x$ . Da blir det totale antall kuler $x + 6$ , og vi kan tegne opp dette

Valgtre

Gir oss oversikt over alle mulige kombinasjoner av utfall for en gitt hendelse.

Valgtre er det samme som utfallstre.

valgtreet

Her deler vi først på $6 + x$ , fordi det er totalt $6 + x$ antall kuler, og deretter deler vi på $5 + x$ fordi vi har trukket vekk en kule ( $6 + x - 1 = 5 + x$ ). Etter å ha trukket en svart kule, er det bare $x - 1$ svarte kuler igjen, så sjansen for å trekke svart igjen blir $\frac{x - 1}{5 + x}$ .

Vi skal undersøke hva $x$ må være for at $P (A) = P (B)$ . På samme måte som i a) får vi at $P (A) = P (R S) + P (S R) = \frac{6}{6 + x} \cdot \frac{x}{5 + x} + \frac{x}{6 + x} \cdot \frac{6}{5 + x} = \frac{12 x}{(6 + x) (5 + x)}$ og med samme tankegang finner vi $P (B)$ $P (B) = P (R R) + P (S S) = \frac{6}{6 + x} \cdot \frac{5}{5 + x} + \frac{x}{6 + x} \cdot \frac{x - 1}{5 + x} = \frac{30 + x^{2} - x}{(6 + x) (5 + x)}$ Setter vi disse lik hverandre får vi likningen

$\begin{matrix} P (A) = P (B) \\ \frac{12 x}{(6 + x) (5 + x)} & = \frac{30 + x^{2} - x}{(6 + x) (5 + x)} | \cdot (6 + x) (5 + x) \\ 12 x & = 30 + x^{2} - x \\ 0 & = x^{2} - 13 x + 30 \end{matrix}$

Denne

Andregradslikning

En likning hvor x opptrer i andre potens. Vi kan alltid skrive en slik likning på formen:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Likningen kan løses ved hjelp av abc-formelen.

andregradslikningen

kan vi løse med

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formelen

$\begin{matrix} x & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- (- 13) \pm \sqrt{(- 13)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 120}}{2} = \frac{13 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{13 \pm 7}{2} \\ x_{1} & = \frac{13 + 7}{2} = 10 og x_{2} = \frac{13 - 7}{2} = 3 \end{matrix}$

Derfor har vi de to løsningene av antall svarte kuler $x = 3$ og $x = 10$ .

Svar: Med både $3$ og $10$ svarte kuler har hendelsene $A$ og $B$ lik sannsynlighet.

Mer om

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

sannsynlighet

Andregradslikning

En likning hvor x opptrer i andre potens. Vi kan alltid skrive en slik likning på formen:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Likningen kan løses ved hjelp av abc-formelen.

andregradslikning

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formelen

For flere forklaringer og eksempler på abc-formelen, se artikkelen abc-formelen.

Oppgave 6 (2 poeng) Nettkode: E-4CY6

Løs likningen

$n^{2} \cdot {(\frac{x}{n})}^{\lg x} = x^{2}, n \in ℕ$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

Dette er ikke en typisk likning. Vi skal finne $x$ , men $n$ kan være hvilket som helst positivt heltall. Derfor kan vi forvente at $x$ er uttrykt med $n$ i svaret. I denne typen oppgaver prøver man ofte flere metoder før man ser hva som leder oss til svaret. Den viktige observasjonen kommer etter å dele på $n^{2}$ på begge sider av likningen, så man får likningen på formen $(\frac{x}{n})^{lg x} = (\frac{x}{n})^{2}$

Når vi deler på $n^{2}$ på begge sider av likningen, så man får likningen på formen $(\frac{x}{n})^{lg x} = (\frac{x}{n})^{2}$ Vi ser at på begge sider har vi $\frac{x}{n}$ opphøyd i noe. Så med mindre $\frac{x}{n}$ er lik $1$ , $- 1$ eller $0$ , kan vi konkludere med at eksponenten på venstre side er lik eksponenten på høyre side.

Først ser vi at $\frac{x}{n} = - 1$ og $\frac{x}{n} = 0$ fører til at $x = - n$ og $x = 0$ , som ikke går fordi $lg x$ er kun definert for positive $x$ -verdier.

$\frac{x}{n} = 1$ gir $x = n$ , som er en løsning.

Dersom eksponentene er lik hverandre har vi $lg x = 2$ som gir $x = 100$ , som er den andre løsningen.

Svar: $x = n$ eller $x = 100$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

Logaritme

Logaritmen til et positivt tall n er den eksponenten som må brukes for å uttrykke n som en potens av et valgt fast tall, grunntall. Vanlige grunntall er e og 10.

Eksempel: log₁₀(1000) = 3 ettersom 10³ = 1000.

logaritmer

Eksponent

En potens er et tall på formen xⁿ, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. n kalles eksponenten.

xⁿ = x · x · x...· x, n ganger

eksponenter

For flere forklaringer og eksempler på likninger, se artikkelen Logaritmelikninger.

REA3022 2013 Vår

Del 1

Del 2

Eksamensinformasjon

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng) Nettkode: E-4CWU

Løsningsforslag

Areal

Volum

Kule

Derivasjon

Formel

Oppgave 2 (3 poeng) Nettkode: E-4CWW

a)

Løsningsforslag a)

Derivasjon

b)

Løsningsforslag b)

Derivasjon

Oppgave 3 (5 poeng) Nettkode: E-4CWZ

a)

Løsningsforslag a)

Polynom

b)

Løsningsforslag b)

Polynom

Faktorisering av uttrykk

c)

Løsningsforslag c)

Fortegnsskjema

Polynom

Intervall

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4CX3

Løsningsforslag

Logaritme

Algebra

Oppgave 5 (2 poeng) Nettkode: E-4CX6

Løsningsforslag

Derivasjon

Kontinuitet

Definisjonsmengde

Oppgave 6 (3 poeng) Nettkode: E-4CX8

Løsningsforslag

Konveks

Konkav

Tangent

Funksjon

Vendepunkt

Derivasjon

Polynom

Oppgave 7 (3 poeng) Nettkode: E-4CXA

a)

Løsningsforslag a)

Vektor

b)

Løsningsforslag b)

Vektor

Ligningssett

Oppgave 8 (4 poeng) Nettkode: E-4CXE

a)

Løsningsforslag a)

Sirkel

Trekant

b)

Løsningsforslag b)

Areal

Ligning

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (7 poeng) Nettkode: E-4CXK

a)

Løsningsforslag a)

Nullpunkt

Funksjon

b)

Løsningsforslag b)

Derivasjon

Polynom

Tangent

c)

Løsningsforslag c)