Integrasjon, første eksempel

I lynkurset Derivasjon ser vi på funksjoner på formen $$y=f\left(x\right)$$ og ønsker å finne den deriverte $f\prime \left(x\right)$, en ny funksjon som i hvert punkt gir oss

til den originale funksjonen $f\left(x\right)$, som også kan bli betraktet som «den beste lineære approksimasjonen» til funksjonen.

I lynkurset Integrasjon går vi andre veien, altså gitt en funksjon $y=f\left(x\right)$ finner vi en funksjon $F\left(x\right)$ slik at $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Dette er et første eksempel på en differensiallikning. Hvis vi ønsker å finne alle funksjoner $f\left(x\right)$ slik at $$f\prime \left(x\right)=2x$$ kan vi integrere begge sider: $$\int f\prime \left(x\right)dx=\int 2xdx.$$ Vi kan løse begge disse integralene: $$f\left(x\right)+C_1=x^2+C_2$$ hvor $C_1$ og $C_2$ er vilkårlige konstanter. Dette gir oss løsningen $$f\left(x\right)=x^2+(C_2-C_1)$$ og vi skriver gjerne $C=C_2-C_1$ for å få løsningen på formen $$f\left(x\right)=x^2+C.$$ Merk at vi har gjort det samme som å løse oppgaven «Finn det ubestemte integralet ${\int }_{}^{}2x \mathrm{dx}$, men bare med en annen formulering.

Da konstanten $C$ ovenfor er vilkårlig har vi funnet uendelig mange løsninger til differensiallikningen. Hvis vi ønsker å finne en entydig løsning, kan vi sette en initialbetingelse som betyr at vi vet hva verdien til $f\left(x\right)$ er i et punkt. Om vi vet at $f\left(1\right)=3$, kan vi sette inn $$f\left(1\right)=1^2+C=3$$ og deretter løse for $C$. Da får vi den entydige løsningen $$f\left(x\right)=x^2+2.$$