Ingen løsninger

Vi tar nå en liten tur utenfor pensum for å forklare hva som egentlig foregår når den karakteristiske likningen ikke har løsninger.

Gitt en differensiallikning på formen $a y ″ + b y' + c y = 0$ med $a, b$ og $c$ konstanter og karakteristisk likning $a r^{2} + b r + c = 0$ uten løsninger. Ved bruk av

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formelen

, får vi følgende uttrykk

r = s \pm t \sqrt{- 1}

. Den generelle løsningen til likningen er gitt ved

y = e^{s x} (C_{1} \cos t x + C_{2} \sin t x) .

Vi skal nå vise at dette er den samme formelen som

y = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}

der $r_{1}$ og $r_{2}$ er to forskjellige løsninger av den karakteristiske likningen.

Komplekse tall

La $i = \sqrt{- 1}$ . Et tall på formen $a + b i$ er et komplekst tall. Vi kaller $a$ for den reelle delen til tallet, mens $b$ er den imaginære delen.

Mens vi tidligere har kalt roten til negative tall for «udefinert», definerer vi nå roten til $- 1$ til å være det komplekse tallet $i$ . Dermed er det ikke lenger riktig å si at andregradsuttrykk ikke kan ha løsninger; men at det ikke har reelle løsninger. For eksempel har likningen $x^{2} + 1 = 0$ ingen løsninger i de reelle tallene som vi til vanlig bruker, men den har de komplekse løsningene $\pm i$ . Merk også at om vi kun ser på de komplekse tallene på formen $a + 0 i$ , får vi tilbake de reelle tallene.

Gitt et komplekst tall $a + b i$ kan vi identifisere dette med punktet $(a, b)$ i planet. Motsatt kan vi for hvert punkt $(x_{0}, y_{0})$ i planet assosiere det komplekse tallet $x_{0} + i y_{0}$ . På samme måte som vi kan beskrive enhetssirkelen som alle punkter $(x_{0}, y_{0})$ i planet slik at $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = 1$ , kan vi bruke korrespondansen ovenfor til å beskrive enhetssirkelen som alle komplekse tall $a + b i$ med egenskapen at $a^{2} + b^{2} = 1$ . Mer generelt kan vi definere lengde til et kompleks tall.

Definisjon

La $z = a + b i$ være et komplekst tall. Lengden til tallet er gitt ved $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$

Definisjonen ovenfor tar det komplekset tallet $z = a + b i$ , ser på det assosierte punktet $(a, b)$ i planet, og måler avstanden fra punktet til origo.

Eksempel

Betrakt det komplekse tallet $z = 1 + i$ . Da er $| z | = \sqrt{2}$ , så det komplekse tallet kan assosieres med et punktet $(1, 1)$ i planet, som ligger på sirkelen med senter i origo og radius roten av to:

Her er $z = 1 + i$ det blå punktet på sirkelen. Vi kan beskrive den reelle og imaginære delen av tallet ved hjelp av trigonometriske funksjoner. Vinkelen mellom den positive $x$ -aksen og linjen mellom origo og $z$ er $\tan^{- 1} (\frac{1}{1}) = \tan^{- 1} (1) = \frac{π}{4} .$ Da kan vi beskrive den reelle delen av $z$ som $\sqrt{2} \cos \frac{π}{4}$ og den imaginære delen av $z$ som $\sqrt{2} \sin \frac{π}{4} .$ Da kan vi skrive $z = 1 + i$ som $z = \sqrt{2} (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4}) .$

Her brukte vi ikke spesielle egenskaper ved valget av tallet vårt, så denne metoden fungerer for alle komplekse tall.

Definisjon

La $z = a + b i$ være et komplekst tall. Når vi angir tallet på formen $z = | z | (\cos θ + i \sin θ)$ hvor $θ$ er vinkelen mellom den positive $x$ -aksen og linjen mellom origo og punktet $(a, b)$ i planet, sier vi at $z$

er skrevet på polarform.

Trigonometriske funksjoner ble også brukt for å beskrive løsningene til andre ordens differensiallikninger når den karakteristiske likningen ikke har løsninger. Men i formelen for løsningen finner vi også eksponentialfunksjonen. La oss se på hva den har med komplekse tall å gjøre.

eulers formel

Det komplekse tallet $e^{i θ}$ kan skrives som $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ for alle reelle tall $θ$ .

Om du setter inn $θ = π$ får du den svært kjente likningen $e^{i π} = - 1$ .

Bevisskisse

Vi vet fra definisjonen over at vi kan skrive $e^{i θ} = r (\cos ϕ + i \sin ϕ)$ hvor $r = | e^{i θ} |$ . Her er både $r$ og $ϕ$ avhengige av $θ$ : om vi forandrer verdien av $θ$ kan det forandre verdien av $r$ og $ϕ$ . Dermed kan vi se på $r$ og $ϕ$ som funksjoner avhengig av $θ$ , så vi skriver $r = r (θ)$ og $ϕ = ϕ (θ)$ . Om vi deriverer begge sider av likheten med hensyn til $θ$ , får vi at $\begin{matrix} i e^{i θ} & = r' (θ) (\cos ϕ (θ) + i \sin ϕ (θ)) + r (θ) (- ϕ' (θ) \sin ϕ (θ) + ϕ' (θ) i \cos θ) \\ = r' (θ) (\cos ϕ (θ) + i \sin ϕ (θ)) + ϕ' (θ) r (θ) (- \sin ϕ (θ) + i \cos ϕ (θ)) \end{matrix}$ Men vi vet at $e^{i θ} = r (\cos ϕ + i \sin ϕ)$ , slik at $i e^{i θ} = r (i \cos ϕ + i^{2} \sin ϕ) = r (i \cos ϕ - \sin ϕ)$ (siden $i^{2} = - 1$ ), noe som gir $r (i \cos ϕ - \sin ϕ) = r' (θ) (\cos ϕ + i \sin ϕ) + ϕ' (θ) r (- \sin ϕ + i \cos ϕ) .$ To komplekse tall er like hvis og bare hvis de beskriver det samme punktet i planet, og for at det skal skje må de imaginære og reelle delene av tallene være like. Den reelle delen til venstresiden er $- r \sin ϕ$ , mens den reelle delen til høyresiden er $- ϕ' (θ) r \sin ϕ$ . Da var vi likheten $- r \sin ϕ = r' (θ) \cos ϕ - ϕ' (θ) r \sin ϕ .$ Om vi setter inn $ϕ = 0$ får vi likheten $r' (θ) = 0$ noe som impliserer at $r (θ)$ er konstant, altså uavhengig av $θ$ . Om vi velger $θ = 0$ får vi det komplekse tallet $1 + 0 i$ som har lengde $1$ , som impliserer at $r$ er konstant $1$ . Om vi gjør det samme for den imaginære delen, har vi likeheten $r \cos ϕ = r' (θ) \sin ϕ + ϕ' (θ) r \cos ϕ .$ Om vi her setter $ϕ = 0$ får vi $r = ϕ' (θ) r$ eller $1 = ϕ' (θ) .$ Når $θ$ er null er $e^{i 0} = 1$ , og vinkelen mellom dette komplekse tallet og den positive $x$ -aksen er null grader, som gir $ϕ (0) = 0$ . Vi har at $θ + C = \int 1 d θ = \int ϕ' (θ) d θ = ϕ (θ) .$ Verdien $ϕ (0) = 0$ gir $C = 0$ , og dermed er $ϕ (θ) = θ$ . Dermed har vi skrevet om likningen $e^{i θ} = r (\cos ϕ + i \sin ϕ)$ til $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ .$

Nå kan vi vise hvordan en differensiallikning $a y ″ + b y ″ + c y = 0$ hvor den karakteristiske likningen ikke har reelle løsninger, kan løses med samme formel som i tilfellet hvor den har reelle løsninger: $y = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x} .$ Anta at den karakteristiske likningen har løsninger $r_{1} = s + t i$ og $r_{2} = s - t i$ . Setter vi dette inn i formelen har vi $y = C_{1} e^{(s + t i) x} + C_{2} e^{(s - t i) x} = C_{1} e^{s x} e^{(t i) x} + C_{2} e^{s x} e^{(- t i) x} .$ Vi kan trekke ut fellesfaktoren $e^{s x}$ : $y = e^{s x} (C_{1} e^{(t i) x} + C_{2} e^{(- t i) x}) .$ Eulers formel gir $e^{(t i) x} = \cos t x + i \sin t x$ og $e^{(- t i) x} = \cos (- t x) + i \sin (- t x) = \cos t x - i \sin t x .$ Dermed er $y = e^{s x} (C_{1} (\cos t x + i \sin t x) + C_{2} (\cos t x - i \sin t x)) .$ Skriver vi dette ut får vi

$y = e^{s x} ((C_{1} + C_{2}) \cos t x + i (C_{1} - C_{2}) \sin t x)$

$y = e^{s x} (K_{1} \cos t x + K_{2} \sin t x)$ for konstanter $K_{1}$ og $K_{2}$ , der $K_{1} = C_{1} + C_{2}$ og $K_{2} = i (C_{1} - C_{2}) .$

Dette er den samme formelen vi hadde for andre ordens differensiallikninger med karakteristisk likning uten løsning.

Ingen løsninger

abc-formelen

Komplekse tall

Eksempel

Bevisskisse

Lynkurs 11.-13.trinn

Differensiallikninger

Består av: