Integrerende faktor
En første ordens lineær differensiallikning er på formen Ordet «lineær» henspiller kun på -variabelen, og det betyr at det ikke forekommer - ledd, eller liknende. Derimot er det ingen begrensninger på funksjonene og , de kan være hva som helst.
Definisjon
La være en første ordens lineære differensiallikning og la
Da er uttrykket en integrerende faktor for likningen.
Eksempel 1
Vi løser likningen . Vi ser raskt at likningen ikke er separabel, da vi ikke kan separere variablene til hver sin side av likhetstegnet. Men vi kan angripe likningen ved å utføre et triks: Vi multipliserer på begge sider av likningen med Etter multiplikasjonen ser slik ut: .
Dersom vi stirrer lenge nok på venstresiden, ser vi mirakelet: Det som står der, er den deriverte av én enkelt funksjon, nemlig . Kontroller selv at den deriverte av denne (bruk produktregelen og kjerneregelen) er nøyaktig lik venstresiden i eksempelet over. Høyresiden kan også forenkles litt, så alt i alt har vi at .
Vi integrerer begge sider (uten å glemme konstanten !) og får .
Til slutt er det nå en smal sak å løse med hensyn på . Vi dividerer med og finner at den generelle løsningen er .
Integrerende faktor hjelper oss å løse en første ordens lineær differensiallikning ved at vi multipliserer begge sider av likningen med denne og deretter integrerer. For første ordens lineære differensiallikninger finnes det alltid en integrerende faktor.
teorem
La likningen være gitt. La være en integrerende faktor. Da er
Bevis
Vi ser på uttrykket . Om vi deriverer med hensyn til gir produktregelen Kjerneregelen forteller oss at Dermed er Vi kan trekke ut : Husk at per definisjon, og dermed er , så uttrykk (II) kan skrives som I likningen gitt i satsen kan vi trekke fra på begge sider for å få Om vi setter dette inn for får vi Vi konkluderer med at Om vi integrerer begge sider får vi Resultatet følger av multiplikasjon med :
Når vi regner med integrerende faktor, er det vanlig å ignorere integrasjonskonstanten i integralet Vi kan gjøre dette da konstanten er vilkårlig, og vil allikevel settes sammen med integrasjonskonstanten til integralet Dermed er det like greit å bare se på konstanten som kommer fra dette integralet. Om dette er forvirrende anbefaler vi å regne eksempelet nedenfor hvor du tar med integrasjonskonstanten i begge integralene, for deretter å sjekke at svaret ditt blir det samme for en vilkårlig konstant .
Eksempel 2
Vi løser likningen Med notasjonen ovenfor er og . Vi har at Det følger dermed av teoremet at
Eksempel 3
En arbeider tjener 300 000 kroner i året. Han regner med å ha en lønnsvekst på 1.5 prosent årlig, og ønsker å finne ut hvor mye han vil tjene om femten år.
Vi kan sette dette opp som en differensiallikning hvor er lønnen til arbeideren etter år. Vi kan skrive dette som og vi har dermed en homogen likning. Om og har vi ved Sats 1 at for en konstant . Initialverdien vår gir at Dermed har vi løsningen Setter vi inn har vi at lønnen er omtrent kroner om femten år.
Merk. Hvis er konstant null i en første ordens lineær differensiallikning, vil likningen være separabel og kunne skrives om til Denne typen likninger kaller vi homogene separable likninger. Og likningen er ikke homogen hvis ikke er konstant null.
Del på Facebook