Udempet og dempet svinging
Her skal vi se på en konkret anvendelse av differensiallikninger av andre orden.
Anta at vi har et lodd med masse som henger vertikalt i en fjær. Vi skal nå se hvordan vi kan beskrive posisjonen til loddet med hensyn til tid ved hjelp av differensiallikninger av andre orden. Vi kaller posisjonen til loddet når det henger i ro for likevektspunktet, og vi setter når loddet er her.
Om vi prøver å presse loddet oppover eller dra det nedover, er kraften vi bruker proposjonal med posisjonen til loddet. Fjæret vil gjøre mer motstand jo lenger vekk fra likevektspunktet vi flytter loddet. Dermed er for en konstant . Vi kaller konstanten for fjærkonstanten.
Om vi holder loddet i ro kommer fjæret til å virke med en kraft som er like stor som kraften vi bruker på loddet, men virker i motsatt retning: Da har vi at
Om vi slipper loddet (og ignorerer friksjon) forsvinner kraften vi brukte på loddet, og vi står kun igjen med kraften . Newton’s andre lov forteller oss at , hvor er akselerasjonen til loddet. Dermed er Men vi vet at akselerasjonen er den dobbeltderiverte til posisjonen med hensyn til tid, det vil si at Vi har beskrevet følgende:
Udempet svinging
Anta at vi har et lodd med masse som henger vertikalt i en fjær med fjærkonstant . Om vi presser loddet oppover eller drar det nedover for så å slippe det, er posisjonen til loddet gitt ved likningen Her ignorerer vi friksjon.
Eksempel 1
Anta at vi har et lodd på kilogram som henger i en fjær med fjærkontant på Newton per meter. Vi drar loddet ned meter og slipper det. Formelen for udempet svingning forteller oss at posisjonen til loddet er gitt ved differensiallikningen Den karakteristiske likningen er gitt ved og har løsninger . Da er den generelle løsningen gitt ved Vi vet at ved så er , dermed er Merk at vi også har en initialbetingelse på : i øyeblikket vi slipper loddet, ved , så er farten . Ved kjerneregelen har vi at Setter vi inn får vi som gir at . Dermed er løsningen gitt ved
Om vi tegner grafen til funksjonen i eksempelet ovenfor, får vi følgende:
Grafen beskriver posisjonen til loddet med hensyn til tid. Vi ser at grafen er periodisk, og loddet kommer like langt over og under likevektspunktet hver periode. Dette ville aldri ha skjedd i virkeligheten, hvor loddet vil svinge om likevektspunktet med stadig mindre amplitude. I praksis kommer det vil å virke enda en kraft på loddet: friksjonskraften som vi til nå har ignorert. Når farten blir større vil også friksjonskraften bli større, og dermed er friksjonskraften proposjonal med farten til loddet: hvor er en konstant, friksjonstallet. Her har vi et negativt fortegn siden kraften vil virke i motsatt retning av farten. Om vi drar loddet nedover eller skyver det oppover for så å slippe det, har vi da at hvor er fjærkonstanten og som tidligere. Om vi igjen bruker Newton’s andre lov har vi at hvor er massen til loddet, og vi får at eller Vi har beskrevet følgende:
Dempet svingning
Anta at et lodd med masse henger i en fjær med fjærkonstant . Om vi drar loddet ned eller skyver det opp for så å slippe det ved tid , er posisjonen til loddet gitt ved hvor er friksjonstallet.
Eksempel 2
Gitt en lodd med masse kilogram hengende i en fjær med fjærkonstant Newton per meter og friksjonstall Newtonsekunder per meter som vi trekker ned meter for så å slippe det, får vi differensiallikningen Den karakteristiske likningen har løsninger og . Da vet vi at den generelle løsningen er gitt ved Vi vet at , slik at Da er I øyeblikket vi slipper loddet kommer farten vil å være null: . Om vi deriverer funksjonen ved hjelp av produktregelen og kjerneregelen får vi at
Setter vi inn for får vi at Løser vi for har vi at . Dermed har vi funnet løsningen Om vi nå tegner grafen til funksjonen får vi et mer realistisk bilde:
Vi ser at loddet nærmer seg likevektspunktet veldig raskt. Det er selvsagt også mulig å få dempede svingninger med amplitude som er større i starten og synker saktere: vi oppfordrer leseren til å prøve seg med forskjellige konstanter for så å tegne grafen til løsningen med digitale hjelpemidler.
Del på Facebook